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18 déc. 2012 Ecrire un algorithme qui reçoit en entrée un nombre entier de 1 à 10 et ... de la première occurrence de x dans le tableau s'il est présent ...

Lusage de calculatrices est interdit.

Tournez la page S.V.P. 142. Tournez la page S.V.P.. 2018. 1 programme de premi`ere année pour les trois premi`eres parties et de deuxi`eme année pour la.

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8 mars 2018 4x1. - 5x2. + 4x3. - 11x4. = -6. (E3) . 1) Donner en utilisant avec précision l'algorithme de triangulation du cours un syst`eme triangulé ayant ...

Algebre

Cours Fondements S1 et S2

Exercices Corriges

Fevrier 2018

March 8, 2018

1 Systemes d'equations lineaires 4

1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Matrices26

2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Espaces vectoriels35

3.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Sous-Espaces Vectoriels 49

4.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Applications lineaires83

5.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Matrices Elementaires 112

6.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1 Systemes d'equations lineaires

1.1 Enonces

Exercice 1{K=R. Nous considerons l'equation lineaire :x1+x2+x3+x4= 0.

1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?

2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?

3) Donner les solutions de cette equation.

Exercice 2{K=R. Nous considerons l'equation lineaire : 2x1+x2x34x4= 5.

1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?

2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?

3) Donner les solutions de cette equation comme somme d'une solution particuliere et des combinaisons

lineaires de 3 elements deR4.

4) Ecrire l'equation homogene associee. Quelles sont les solutions de cette equation ?

Exercice 3{K=R. Nous consideron le systeme d'equations lineaires : (E)"x

1+x2x3x4= 1

1+ 2x22x32x4= 0:

1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.

2) Quelles sont les variables libres deE0? Resoudre alorsE0.

Exercice 4{K=R. Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2x3x4= 1 (E1)

1+ 2x22x32x4= 0 (E2)

2x1+x2+x3+x4= 2 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

2) Donner un systeme trianguleE00ayant les m^emes solutions queE. Preciser les variables libres deE00?

3) Resoudre le systeme lineaireE.

4 Exercice 5{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2+x3+x4= 3 (E1)

2x1x2+ 2x33x4= 0 (E2)

4x15x2+ 4x311x4=6 (E3):

1) Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme triangule ayant les

m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres du systeme triangule obtenu ?

2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. Vous exprimerez ces solutions sous

forme de la somme d'un element deR4et de l'ensemble des combinaisons de deux elements deR4que l'on precisera.

3) Quelles sont alors les solutions du systeme sans second membre associe aE?

Exercice 6{Nous considerons le systeme d'equations lineaires a coecients reels : (E)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (E1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (E2)

1x2+x4= 3 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables de ce systeme ? Donner en utilisant avec precision l'algorithme de

triangulation du cours un systeme triangule ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres

du systeme triangule obtenu ?

2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. On exprimera ces solutions sous

forme de la somme d'un element deR4et de l'ensemble des combinaisons d'elements deR4que l'on precisera.

3) M^emes questions avec le systeme d'equations lineaires :

(H)2 6 4x

1x2+x3x4= 2 (S1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (S2)

1+x2+x4= 3 (S3):

Exercice 7{K=R. Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2x3+x4= 1 (E1)

2x1+ 4x2+ 4x34x4= 0 (E2)

3x1+ 2x2+ 2x32x4= 4 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systemeE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

2) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce

systeme triangule ?

3) Resoudre le systeme d'equations lineairesE.

Exercice 8{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6 4x

1+x2x3+x4= 1 (E1)

1+ 2x2+ 3x34x4= 0 (E2)

1+ 2x23x3+x4= 2 (E3):

1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce

systeme triangule ?

2) Resoudre ce systeme en exprimant ses solutions a l'aide des variables libres du systeme triangule ?

Exercice 9{Nous considerons le systeme d'equations lineaires : (E)2 6

4x3+x2+x1= 1 (E1)

2x3+ 2x2+x1= 0 (E2)

3+x2+ 2x1= 2 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE?

2) Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

3) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.

4) Quelles sont les variables libres deE0? Quelles sont les solutions deE0? Quels sont les triplets de reels

(x1;x2;x3) de reels solutions deE?

Exercice 10{

Nous considerons le systeme de 3 equations a 4 inconnues : (E)2 6 664x

1+x2x3x4= 1 (E1)

1+x2+x32x4= 3 (E2)

2x1x2+ 2x3x4= 2 (E3)

3x1+ 3x33x4= 5 (E4):

1) Quel est l'ordre des variablesx1;x2;x3;x4de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de

l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ?

2) Resoudre le systemeE. Verier les calculs.

Exercice 11{Nous considerons le systeme de 4 equations a 4 inconnues a coecients rationnels : (E)2 6 664x

1+ 2x2x3+ 2x4= 1 (E1)

2x1x2+x3+ 3x4= 1 (E2)

3x1+x2+ 5x4= 2 (E3)

13x2+ 2x3+x4= 0 (E4):

1) Quel est l'ordre des variablesx1;x2;x3;x4de ce systeme. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de

l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ?

2) Trouver les quadruplets de nombres rationnels solutions du systeme (E).

3) Verier les calculs en testant une solution particuliere.

4) Resoudre le systeme :

(Eh)2 6 664x

1+ 2x2x3+ 2x4= 0 (E01)

2x1x2+x3+ 3x4= 0 (E02)

3x1+x2+ 5x4= 0 (E03)

13x2+ 2x3+x4= 0 (E04):

1.2 Corrections

Correction de l'exercice 1 :

1) Une solution de l'equationx1+x2+x3+x4= 0 est un quadruplet de reels (s1;s2;s3;s4) tels que

1+s2+s3+s4= 0.

La variablex1est la premiere variable, la variablex2la deuxieme,x3la troisieme etx4la quatrieme. L'equation

commence parx1. elle est d'ordre 1. Comme le systeme est constistue d'une seulle equation d'odre 1, l'ordre

des equations du systeme est strictement croissant. Le systeme est triangule. La variablex1est la seule

7 variable de t^ete. Les variablesx2;x3;x4sont les variables libres.

2) Le quadruplet de reels (x1;x2;x3;x4) est une solution de notre equation si et seulement si :

1=x2x3x4:

Ainsi , l'ensembleSdes solutions est :

S=f(x2x3x4;x2;x3;x4) tels quex2;x3;x42Rg;

=f+x2(1;1;0;0) +x3(1;0;1;0) +x4(1;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg:

Ainsi, les solutions de notre equation sont l toutes les combinaisons lineaires des trois elements deR4:

(1;1;0;0), (1;0;1;0) et (1;0;0;1).

Correction de l'exercice 2 :

1) Une solution de l'equation 2x1+x2x34x4= 5 est un quadruplet de reels (s1;s2;s3;s4) tels que

2s1+s2s34s4= 5.

La variablex1est la premiere variable, la variablex2la deuxieme,x3la trosieme etx4la quatrieme. L'equation

commence parx1. elle est d'ordre 1. Comme le systeme est constistue d'une seulle equation d'odre 1, l'ordre

des equations du systeme est strictement croissant. Le systeme est triangule. La variablex1est la seule

variable de t^ete. Les variablesx2;x3;x4sont les variables libres.

2) Le quadruplet de reels (x1;x2;x3;x4) est une solution de notre equation si et seulement si :

x 1=12 x2+12 x3+ 2x4+52

Ainsi , l'ensembleSdes solutions est :

S=f(12

x2+12 x3+ 2x4+52 ;x2;x3;x4) tels quex2;x3;x42Rg; =f(52 ;0;0;0) +x2(12 ;1;0;0) +x3(12 ;0;1;0) +x4(2;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg: 8 Ainsi, les solutions de notre equation sont les sommes du quadruplet de reels ( 52
;0;0;0) avec toutes les com- binaisons lineaires des trois elements deR4: (12 ;1;0;0), (12 ;0;1;0) et (2;0;0;1).

3) L'equation homogene associee est

2x1+x2x34x4= 5:

Ses solutions sont :

fx2(12 ;1;0;0) +x3(12 ;0;1;0) +x4(2;0;0;1)) tels quex2;x3;x42Rg:

Correction de l'exercice 3 :

1) NotonsEle systeme :

(E)"x

1+x2x3x4= 1 (E1)

1+ 2x22x32x4= 0 (E2):

Les variables de ce systeme sontx1;x2;x3;x4ordonnees naturellement (x1est la premiere variable, ...). Les

equationsE1etE2du systemeEsont d'ordre 1. Notre systeme est donc ordonne. Le systeme suivant a les m^emes solutions que (E) : (E0)"x

1+x2x3x4= 1 (E1)

2x3x4=1 (E2E1):

L'equationE1est d'ordre 1 de variable de t^etex1, l'equationE2E1est d'ordre 2 de variable de t^etex2.

Ainsi, le systemeE0est triangule. Ses variables libres sontx3etx4.

2) Pour resoudreE0, doncE, il sut de remonter les equations deE0. La derniere equation deE0donne

l'expression dex2a l'aide des variables libresx3etx4: xquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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Algebre

Cours Fondements S1 et S2

Exercices Corriges

Fevrier 2018

March 8, 2018

Contents

1 Systemes d'equations lineaires 4

1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Matrices26

2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Espaces vectoriels35

3.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Sous-Espaces Vectoriels 49

4.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Applications lineaires83

5.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Matrices Elementaires 112

6.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1 Systemes d'equations lineaires

1.1 Enonces

1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?

2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?

3) Donner les solutions de cette equation.

1) Qu'est ce qu'une solution de cette equation ?

2) Donner l'ordre des variables ? Ce systeme est-il triangule ? Quelles en sont les variables libres ?

3) Donner les solutions de cette equation comme somme d'une solution particuliere et des combinaisons

4) Ecrire l'equation homogene associee. Quelles sont les solutions de cette equation ?

1+x2x3x4= 1

1+ 2x22x32x4= 0:

1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.

2) Quelles sont les variables libres deE0? Resoudre alorsE0.

1+x2x3x4= 1 (E1)

1+ 2x22x32x4= 0 (E2)

2x1+x2+x3+x4= 2 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

2) Donner un systeme trianguleE00ayant les m^emes solutions queE. Preciser les variables libres deE00?

3) Resoudre le systeme lineaireE.

1+x2+x3+x4= 3 (E1)

2x1x2+ 2x33x4= 0 (E2)

4x15x2+ 4x311x4=6 (E3):

1) Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme triangule ayant les

2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. Vous exprimerez ces solutions sous

3) Quelles sont alors les solutions du systeme sans second membre associe aE?

1x2+x3x4= 2 (E1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (E2)

1x2+x4= 3 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables de ce systeme ? Donner en utilisant avec precision l'algorithme de

2 ) Determiner les solutions dansR4deEa l'aide de ces variables libres. On exprimera ces solutions sous

3) M^emes questions avec le systeme d'equations lineaires :

1x2+x3x4= 2 (S1)

2x12x2+ 3x34x4= 3 (S2)

1+x2+x4= 3 (S3):

1+x2x3+x4= 1 (E1)

2x1+ 4x2+ 4x34x4= 0 (E2)

3x1+ 2x2+ 2x32x4= 4 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systemeE? Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

2) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce

3) Resoudre le systeme d'equations lineairesE.

1+x2x3+x4= 1 (E1)

1+ 2x2+ 3x34x4= 0 (E2)

1+ 2x23x3+x4= 2 (E3):

1) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Quelles sont les variables libres de ce

2) Resoudre ce systeme en exprimant ses solutions a l'aide des variables libres du systeme triangule ?

4x3+x2+x1= 1 (E1)

2x3+ 2x2+x1= 0 (E2)

3+x2+ 2x1= 2 (E3):

1) Quel est l'ordre des variables du systeme lineaireE?

2) Quel est l'ordre des equationsE1;E2;E3?

3) Donner un systeme trianguleE0ayant les m^emes solutions queE.

4) Quelles sont les variables libres deE0? Quelles sont les solutions deE0? Quels sont les triplets de reels

Exercice 10{

1+x2x3x4= 1 (E1)

1+x2+x32x4= 3 (E2)