Algorithmique Récursivité
On appelle récursive toute fonction ou procédure qui s'appelle elle même. Algorithme Fact. Entrée : un entier positif N. Sortie : factorielle de N.
cours 2:Complexité des algorithmes récursifs
Algorithmes récursifs. Calcul de complexité. ?. Exemple 1 : La fonction factorielle. Pour calculer la solution générale de cette équation on peut procéder
Cours No 4 : Fonctions Récursives.
Exemple : l'ensemble des valeurs de la fonction “factorielle” sur les entiers Exemple : Algorithme récursif de calcul du pgcd de deux nombres non nuls :.
Récursivité
4 oct. 2017 2.1 Algorithmes récursifs . ... 4 Complexité d'un algorithme récursif ... Implémentation Python de la factorielle récursive :.
Correction et complexité des algorithmes récursifs
Un algorithme récursif est constitué par une fonction dont la définition contient des appels `a elle même. Un exemple : Calcul de la factorielle d'un nombre.
Complexité
Complexité d'un algorithme récursif (1). Soit l'algorithme : fonction factorielle (n: Naturel) : Naturel début si n=0 alors retourner 1.
Fonctions pile
https://www.dicosmo.org/CourseNotes/Compilation/0506/Cours03/Cours.pdf
Algorithmes et programmation II : La récursivité
return ( n ? factorielle (n?1)) ;. } S. Baarir (Paris10/LIP6). La récursivité. L2 Mia - 2010/2011. 9 / 15. Page 18. Récursivité sur les nombres : exemple (2/4).
ALGO 1.1 œ Correction TD N°5.
Calcul de la factorielle d'un entier naturel (avec une structure Calcul du pgcd de deux nombres a et b strictement positifs par l'algorithme d'Euclide.
Récursivité
La décomposition ci-dessus décrit l'algorithme de résolution du problème en utilisant l'appel int sous_resultat = factorielle (n-1); //appel recursif.
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La complexité d'un algorithme récursif se fait par la résolution d'une équation de récurrence en éliminant la récurrence par substitution de proche en proche
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Moyen simple et élégant de résoudre certain problème Définition On appelle récursive toute fonction ou procédure qui s'appelle elle même Algorithme Fact
[PDF] Algorithmes et programmation II : La récursivité - LIP6
Algorithmes et programmation II : La récursivité Souheib Baarir1 1Université Paris Ouest Nanterre La Défense Laboratoire d'informatique de Paris 6
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Un algorithme récursif est constitué par une fonction dont la définition contient des appels `a elle même Un exemple : Calcul de la factorielle d'un nombre
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4 oct 2017 · Un algorithme est dit récursif quand sa mise en oeuvre utilise ce même algorithme Pour être valide cet algorithme doit impérativement vérifier
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Reprenons le calcul de la factorielle qui nécessitait 3n opérations : Algorithme : Factorielle(n) Données : un entier n Résultat : un entier valant n!
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3 fév 2020 · récursivité s'arrête 1) Programmez la fonction factorielle précédente 2) Programmez la fonction fibonacci dont la définition par
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Une manière récursive de définir la factorielle d'un entier n ? 1 est de poser : n! = { 1 si n = 0 n × (n ? 1)! si n ? 1 Algorithm 4: Algorithme
[PDF] Cours No 4 : Fonctions Récursives - LIRMM
Exemple : l'ensemble des valeurs de la fonction “factorielle” sur les entiers Exemple : Algorithme récursif de calcul du pgcd de deux nombres non nuls :
[PDF] Chapitre 2 – Récursivité
des algorithmes où le nombre d'instructions des boucles peut être réduit La fonction récursive de la factorielle s'écrit donc de la manière suivante :
Comment écrire un algorithme récursif ?
On se propose de reprendre le jeu du Plus-Moins, et d'en écrire un algorithme récursif. Principe : le joueur choisit mentalement un nombre entier entre deux bornes, fixées préala- blement (n et p par exemple), et l'algorithme proc? alors par élimination dichotomique.Comment calculer le factoriel d'un nombre en algorithme ?
Ainsi pour déterminer la factorielle d'un nombre entier, nous pouvons utiliser la formule suivante : = n × ( n ? 1 ) × . . . × 2 × 1 Nous pouvons aussi définir la factorielle d'un nombre par récurrence : = n × ( n ? 1 )Qu'est-ce qui caractérise un algorithme récursif ?
Un algorithme récursif est un algorithme qui résout un problème en calculant des solutions d'instances plus petites du même problème. L'approche récursive est un des concepts de base en informatique.- La complexité d'un algorithme récursif se fait par la résolution d'une équation de récurrence en éliminant la récurrence par substitution de proche en proche.
Universite Montpellier-II
UFR des Sciences - Departement Informatique - Licence InformatiqueProgrammation Applicative et Recursive
Cours No 4 : Fonctions Recursives.
Notes de cours
16 Induction, recurrence, recursion
{ Une denitioninductived'une partie X d'un ensemble consiste a fournir la donnee explicite de certains elements de X (base) et le moyen de construire de nouveaux elements de X a partir d'elements deja construits. Exemple : l'ensemble des valeurs de la fonction \factorielle" sur les entiers peut ^etre donne parinduction(ou parrecurrence)a partir de la donnee de base \fact(0) = 1" et de la regle \fact(n) =n:fact(n1)". { En informatique, une fonction recursive est une fonction realisant un calcul par recurrence. Exemple : une fonction recursive ecrite en Scheme calculant la valeur de la factorielle d'un nombre. 21(define(factn )2(if(=n0)314(?n(fact(-n1)))))3
Une version (partiellement incorrecte) de la fonction recursive factorielle, ecrite en langage C :1intfact (intn )f2if(n== 0)3return1;4else5returnn ?fact(n-1);g4 Apparte : de l'inter^et du type abstrait \GrandNombre" (factorielle calculee avec la fonction C precedente).1factorielle de 5 = 120 2...3factorielle de 10 = 3628800
4...5factorielle de 12 = 479001600
6factorielle de 13 = 1932053504
7factorielle de 14 = 1278945280
8factorielle de 15 = 2004310016
9factorielle de 16 = 2004189184
10factorielle de 17 = -2885222405
7 Iteration et recursion
Rappel :Iterer: repeter n fois un processus en faisant changer la valeur des variables jusqu'a obtention du resultat. Calcul iteratif de factorielle d'un nombre :n! =Qni=1i Un calcul iteratif se programme par une boucle (forouwhileourepeat-until). 6 Exemple de fonction iterative pour le calcul de factorielle (en C).1intfact (n)f//n entier 2inti = 0;3intresult = 1;4while(i aectations et les invariants de boucle. 7 Autre version plus courte en C :
1intfactorielleiterativ e(intn )f2intres = 1;3for(;n>1;n--)res?=n;4returnres ;5gApparte : considerer le sens du calcul entre les versions iteratives et recursives au
vu de l'associativite de la multiplication. 8 8 Exemples de fonction recursives
Multiplication :an=a+a(n1)1(define(multa n )2(if(=n0)304(+a(multa (-n1)))))9 Puissance :an=a:an11(define(expa n )2(if(=n0)314(?a(expa (-n1)))))10 Inverser une cha^ne
Idee :inverse(n) =concatener(dernier(n);inverse(saufDernier(n)))1(define(inverses )2;;string-lengthest une fonction pr efenie3(let((l(string-lengths )))4(if(=l0)5s6(string-append(inverse(substrings 1l)) (substrings 0 1)))))11
9 Autres exemples : Calcul des termes de suites recurrentes
Toute valeur d'une suite recurrente de la forme :
u 0=initialet pourn >1;un= (un1;n)
peut ^etre calculee par une fonction (de n'importe quel langage de programmation autorisant la denition de fonctions recursives) similaire a la fonctionSchemesui- vante :1(define(un )2(if(=n0)3initial4(PHI(u(-n1))n)))Par exemple calcul de factorielle de 5 : 1(defineinitial 1) (definePHI ?)2(u5)-->12012
9.1 Suites arithmetiques
Tout terme d'une suite arithmetique de raisonrde la forme : u 0=initialet pourn >1;un=un1+r
peut ^etre calculee par la fonction1(define(uan r )2(if(=n0)3initial4(+ (ua(-n1)r)r)))Exemple : Multiplication de 4 par 6 :(ua 6 4)avecinitial = 0
13 A noter que le code suivant ne fonctionne pas (voir cours No 3, liaison lexicale) : 1(let((initial0)) (ua3 4))Poureviter de passer par une variable globale ou de passer un parametre
inutile a chaque appel recursif, on peut utiliser une version de la forme speciale letpermettant de denir des fonctions temporaires et possiblement recursives.1(define(uan r initial )2(letf ((nn ))3(if(=n0)4initial5(+r(f(-n1))))))7(ua6 4 0)8= 2414
9.2 Suites geometriques
Tout terme d'une suite geometrique de raisonqde la forme : u 0=initialet pourn >1;un=q:un1peut ^etre calculee par la fonctionug
suivante :1(define(ugq n initial )2(letf ((nn ))3(if(=n0)4initial5(?q(f(-n1))))))Exemple : 4 puissance 3,
1(ug4 3 1)2= 6415
9.3 Calcul de la somme des termes d'une suite
9.3.1 Exemple historique
La eche de Zenon (philosophe paradoxal) n'arrive jamais a sa cible (ou Achille ne rattrape jamais la tortue) si on decrit le mouvement comme une suite d'etapes : parcourir la moitie de la distance puis la moitie de ce qui reste, puis la moitie de ce qui reste, etc. la eche n'arrive jamais car : lim n!+1P ni=11=2i= 1. Ce que l'on peut verier avec :1(definefzenon (lambda(n)2;;la p artde distanc ep arcouruep arl a eche al 'etapen 3(if(=n1)4(/ 1 (expt2n))5(+ (sz(-n1)) (/ 1 (expt2n))))))16 Plus lisible, utiliser une fonction annexe pour calculer \(/1 (expt 2 n))"1(define(fn ) (/ 1 (expt2n)))3(define(fzenon1n )4(if(=n1)5(f1)6(+ (fn ) (fzenon1(-n1)))))Mais la fonctionfainsi isolee est polluante.
17 La solution suivante est plus elegante.
1(definefzenon2 2(let((f(lambda(n) (/ 1 (expt2n)))))3(letfzenon ((nn ))4(if(=n1)5(f1)6(+ (fn ) (fzenon(-n1)))))))Elle suppose un bonne comprehension de la notion de portee et duree de vie des
identicateurs. 18 9.3.2 Generalisation au calcul de la somme des termes de toute suite
1(define(sommeSuiten )2(if(=n0)3(u0)4(+ (un ) (sommeSuite(-n1)))))A essayer avec :(define (u n) (fact n))
19 Optionnel : m^eme fonctionnalite en n'ecrivant qu'une seule fonction recursive, a condition de passer la fonction du calcul d'un terme en argument. La fonction somme devient une fonctionnelle ou fonction d'ordre superieur.1(define(sommeSuiten u )2(if(=n1)3(u1)4(+ (sommeSuite(-n1)u) (un ))))On peut par exemple ecrire :
1(somme10 (lambda(n) (/ 1 (exp2n))))20
10 Interpretation d'un appel recursif
Appel recursif: appel realise alors que l'interpretation d'un appel precedent de la m^eme fonction n'est pas acheve. L'interpretation du code d'une fonction recursive passe par une phase d'expansion dans laquelle les appels recursifs sont \empiles" jusqu'a arriver a un appel de la fonction pour lequel une condition d'arr^et est veriee, alors suivie par une phase de contraction dans laquelle les resultats partiels precedemments empiles sont utilises. 21
11 Decouverte d'une solution recursive a des problemes
Disposer d'une solution recursive a un probleme permet d'ecrire simplement un pro- gramme resolvant (calculant quelque chose de relatif a) ce probleme. La decouverte de telles solutions est parfois complexe mais rentable en terme de simplicite d'ex- pression des programmes. 22
Exemple : Algorithme recursif de calcul du pgcd de deux nombres non nuls : Require:b6= 0
ifb divise athen pgcd(a;b) =b else pgcd(a;b) =pgcd(b;modulo(a;b))) end if Implantation :1(define(pgcda b )2(if(=b0)3(error" bdoit ˆetrenon n ul")4(let((m(moduloa b )))5(if(=m0)6b7(pgcdb m )))))23
12 Recursivite terminale et non terminale
Appel recursif non terminal: appel recursif argument d'un calcul englobant. Exemple : l'appel recursif dans la denition de factorielle est non terminal car sa valeur est ensuite multipliee par n. Appel recursif terminalappel recursif dont le resultat est celui rendu par la fonction contenant cet appel. Exemple : appel recursif apgcddans la fonction precedente. Propriete : l'interpretation d'un appel recursif terminal peut ^etre realisee sans consommer de pile. Il est possible, en terme de memoire, d'interpreter une fonction recursive terminale comme une fonction iterative car la gestion de la memoire se deduit trivialement des transformations sur les parametres. 24
13 Recursivite croisee
Exemple d'ecole \pair-impair" sur les entiers naturels1(define(pairn )2(or(=n0) (impair(-n1))))4(define(impairn )5(and(not(=n0)) (pair(-n1))))25
Interessant de decouvrir \letrec" pour denir des recursions croisees. (letrec )Syntax:shouldha vethe form (( ) ...),andshouldb ea sequence of one or more expressions .Itis an errorfor a toapp earmore than once in the list of variablesb eingb ound.Semantics:Thesare b oundto fresh lo cationsholding undefinedv alues,thesare ev aluatedin the r esultingenvironment(ins omeunsp ecifiedorder ),eachisassigned tothe result of the corresp onding,theise valuatedin theresul tingen vironment,andthe v alue(s)ofthe last expression in is(are)returned.Eachbinding of a hasthe en tireletrecexpression as its region ,makingit p ossibleto define m utuallyrecursivepro cedures.26
1(define(pair?n )2(letrec((est-pair?(lambda(n)3(or(=n0) (est-impair?(-n1)))))4(est-impair?(lambda(n)5(and(not(=n0)) (est-pair?(-n1))))))6(est-pair?n )))27
14 Exemples : dessins de gures fractales
Voir,http://classes.yale.edu/fractals/.
Video : \Fractales a la recherche de la dimension cachee", Michel Schwarz et Bill Jersey, 2010.
Autre cours : \Les images fractales en Scheme, Une exploration des algorithmes recursifs" - Tom Mens - University de Mons-Hainaut (U.M.H.). 28
Programmation avec eets de bord (impressions a l'ecran) : 1;;choisir langage PL T2(require(lib" graphics.ss"" graphics"))3(open-graphics)4(definem ywin(open-viewport" Trianglede Sierpinsky "600 600))5(defineuneCouleur (make-rgb.5 0 .5))29
Exememple des triangles deSierpinski:1(define(s-carr´en x y cote )2;;n nombr ed 'iterations3;;x ,y : c oordoneesdu c oinsup erieurgauche de la gur e4;;c ote: longueur du c arre5(if(= 0n)6((draw-solid-rectanglem ywin) (make-posnx y )cotecote uneCouleur)7(let((moiti´e(/cote2)) (quart(/cote4)))8(s-carr´e(-n1) (+xquart )ymoiti ´e)9(s-carr´e(-n1)x(+ymoiti ´e)moiti´e)10(s-carr´e(-n1) (+xmoiti ´e) (+ymoiti ´e)moiti´e))))30
Figure(1) {(s-carre 8 44 44 600) : sont traces3ninitialcarres de cote \coteinitial=2ninitial", soit pourninitial= 8etcoteinitial= 512,38= 6561 carres, de c^ote512=28= 2. 31
quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
Autre version plus courte en C :
1intfactorielleiterativ e(intn )f2intres = 1;3for(;n>1;n--)res?=n;4returnres ;5gApparte : considerer le sens du calcul entre les versions iteratives et recursives au
vu de l'associativite de la multiplication. 88 Exemples de fonction recursives
Multiplication :an=a+a(n1)1(define(multa n )2(if(=n0)304(+a(multa (-n1)))))9 Puissance :an=a:an11(define(expa n )2(if(=n0)314(?a(expa (-n1)))))10Inverser une cha^ne
Idee :inverse(n) =concatener(dernier(n);inverse(saufDernier(n)))1(define(inverses )2;;string-lengthest une fonction pr efenie3(let((l(string-lengths )))4(if(=l0)5s6(string-append(inverse(substrings 1l)) (substrings 0 1)))))11
9 Autres exemples : Calcul des termes de suites recurrentes
Toute valeur d'une suite recurrente de la forme :
u0=initialet pourn >1;un= (un1;n)
peut ^etre calculee par une fonction (de n'importe quel langage de programmation autorisant la denition de fonctions recursives) similaire a la fonctionSchemesui- vante :1(define(un )2(if(=n0)3initial4(PHI(u(-n1))n)))Par exemple calcul de factorielle de 5 :1(defineinitial 1) (definePHI ?)2(u5)-->12012
9.1 Suites arithmetiques
Tout terme d'une suite arithmetique de raisonrde la forme : u0=initialet pourn >1;un=un1+r
peut ^etre calculee par la fonction1(define(uan r )2(if(=n0)3initial4(+ (ua(-n1)r)r)))Exemple : Multiplication de 4 par 6 :(ua 6 4)avecinitial = 0
13 A noter que le code suivant ne fonctionne pas (voir cours No 3, liaison lexicale) :1(let((initial0)) (ua3 4))Poureviter de passer par une variable globale ou de passer un parametre
inutile a chaque appel recursif, on peut utiliser une version de la forme specialeletpermettant de denir des fonctions temporaires et possiblement recursives.1(define(uan r initial )2(letf ((nn ))3(if(=n0)4initial5(+r(f(-n1))))))7(ua6 4 0)8= 2414
9.2 Suites geometriques
Tout terme d'une suite geometrique de raisonqde la forme : u0=initialet pourn >1;un=q:un1peut ^etre calculee par la fonctionug
suivante :1(define(ugq n initial )2(letf ((nn ))3(if(=n0)4initial5(?q(f(-n1))))))Exemple : 4 puissance 3,
1(ug4 3 1)2= 6415
9.3 Calcul de la somme des termes d'une suite
9.3.1 Exemple historique
La eche de Zenon (philosophe paradoxal) n'arrive jamais a sa cible (ou Achille ne rattrape jamais la tortue) si on decrit le mouvement comme une suite d'etapes : parcourir la moitie de la distance puis la moitie de ce qui reste, puis la moitie de ce qui reste, etc. la eche n'arrive jamais car : lim n!+1P ni=11=2i= 1. Ce que l'on peut verier avec :1(definefzenon (lambda(n)2;;la p artde distanc ep arcouruep arl a eche al 'etapen 3(if(=n1)4(/ 1 (expt2n))5(+ (sz(-n1)) (/ 1 (expt2n))))))16Plus lisible, utiliser une fonction annexe pour calculer \(/1 (expt 2 n))"1(define(fn ) (/ 1 (expt2n)))3(define(fzenon1n )4(if(=n1)5(f1)6(+ (fn ) (fzenon1(-n1)))))Mais la fonctionfainsi isolee est polluante.
17La solution suivante est plus elegante.
1(definefzenon2 2(let((f(lambda(n) (/ 1 (expt2n)))))3(letfzenon ((nn ))4(if(=n1)5(f1)6(+ (fn ) (fzenon(-n1)))))))Elle suppose un bonne comprehension de la notion de portee et duree de vie des
identicateurs. 189.3.2 Generalisation au calcul de la somme des termes de toute suite
1(define(sommeSuiten )2(if(=n0)3(u0)4(+ (un ) (sommeSuite(-n1)))))A essayer avec :(define (u n) (fact n))
19 Optionnel : m^eme fonctionnalite en n'ecrivant qu'une seule fonction recursive, a condition de passer la fonction du calcul d'un terme en argument. La fonctionsomme devient une fonctionnelle ou fonction d'ordre superieur.1(define(sommeSuiten u )2(if(=n1)3(u1)4(+ (sommeSuite(-n1)u) (un ))))On peut par exemple ecrire :
1(somme10 (lambda(n) (/ 1 (exp2n))))20
10 Interpretation d'un appel recursif
Appel recursif: appel realise alors que l'interpretation d'un appel precedent de la m^eme fonction n'est pas acheve. L'interpretation du code d'une fonction recursive passe par une phase d'expansion dans laquelle les appels recursifs sont \empiles" jusqu'a arriver a un appel de la fonction pour lequel une condition d'arr^et est veriee, alors suivie par une phase de contraction dans laquelle les resultats partiels precedemments empiles sont utilises. 2111 Decouverte d'une solution recursive a des problemes
Disposer d'une solution recursive a un probleme permet d'ecrire simplement un pro- gramme resolvant (calculant quelque chose de relatif a) ce probleme. La decouverte de telles solutions est parfois complexe mais rentable en terme de simplicite d'ex- pression des programmes. 22Exemple : Algorithme recursif de calcul du pgcd de deux nombres non nuls :
Require:b6= 0
ifb divise athen pgcd(a;b) =b else pgcd(a;b) =pgcd(b;modulo(a;b))) end ifImplantation :1(define(pgcda b )2(if(=b0)3(error" bdoit ˆetrenon n ul")4(let((m(moduloa b )))5(if(=m0)6b7(pgcdb m )))))23
12 Recursivite terminale et non terminale
Appel recursif non terminal: appel recursif argument d'un calcul englobant. Exemple : l'appel recursif dans la denition de factorielle est non terminal car sa valeur est ensuite multipliee par n. Appel recursif terminalappel recursif dont le resultat est celui rendu par la fonction contenant cet appel. Exemple : appel recursif apgcddans la fonction precedente. Propriete : l'interpretation d'un appel recursif terminal peut ^etre realisee sans consommer de pile. Il est possible, en terme de memoire, d'interpreter une fonction recursive terminale comme une fonction iterative car la gestion de la memoire se deduit trivialement des transformations sur les parametres. 2413 Recursivite croisee
Exemple d'ecole \pair-impair" sur les entiers naturels1(define(pairn )2(or(=n0) (impair(-n1))))4(define(impairn )5(and(not(=n0)) (pair(-n1))))25
Interessant de decouvrir \letrec" pour denir des recursions croisees.(letrec
1(define(pair?n )2(letrec((est-pair?(lambda(n)3(or(=n0) (est-impair?(-n1)))))4(est-impair?(lambda(n)5(and(not(=n0)) (est-pair?(-n1))))))6(est-pair?n )))27
14 Exemples : dessins de gures fractales
Voir,http://classes.yale.edu/fractals/.
Video : \Fractales a la recherche de la dimension cachee", Michel Schwarz et BillJersey, 2010.
Autre cours : \Les images fractales en Scheme, Une exploration des algorithmes recursifs" - Tom Mens - University de Mons-Hainaut (U.M.H.). 28Programmation avec eets de bord (impressions a l'ecran) :
1;;choisir langage PL T2(require(lib" graphics.ss"" graphics"))3(open-graphics)4(definem ywin(open-viewport" Trianglede Sierpinsky "600 600))5(defineuneCouleur (make-rgb.5 0 .5))29
Exememple des triangles deSierpinski:1(define(s-carr´en x y cote )2;;n nombr ed 'iterations3;;x ,y : c oordoneesdu c oinsup erieurgauche de la gur e4;;c ote: longueur du c arre5(if(= 0n)6((draw-solid-rectanglem ywin) (make-posnx y )cotecote uneCouleur)7(let((moiti´e(/cote2)) (quart(/cote4)))8(s-carr´e(-n1) (+xquart )ymoiti ´e)9(s-carr´e(-n1)x(+ymoiti ´e)moiti´e)10(s-carr´e(-n1) (+xmoiti ´e) (+ymoiti ´e)moiti´e))))30
Figure(1) {(s-carre 8 44 44 600) : sont traces3ninitialcarres de cote \coteinitial=2ninitial", soit pourninitial= 8etcoteinitial= 512,38= 6561 carres, de c^ote512=28= 2. 31quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
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