Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables
2) Montrer que f est homogène et préciser son degré d'homogénéité. 3) Calculer les dérivées partielles de f d'ordre 1 et vérifier la relation d'Euler. Exercice
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Une fonction f de n variables est dite continue en xo si lim f(x) = f(xo) Définition 4.19 On dit qu'une fonction f de R" dans R est homogène de.
QUELQUES RÉSULTATS THÉORIQUES CONCERNANT LES
mise sous la forme y — F(X) où X est un bloc factoriel homogène. Cas particulier : les fonctions de production homogènes. Proposition 1 : une fonction de
CHAÎNES DE MARKOV
La chaîne est dite homogène si on a de plus pour tout k ? N et tout x et y second point découle du fait qu'on somme les probabilités sur toutes les ...
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2.2 Homogénéité de degré 0. On dit qu'une fonction f(x) est homog`ene de degré d en x lorsque ?? > 0 : f(?x) = ? d f(x). La demande marshalienne est
Transformation de Fourier des distributions homogènes
La théorie de la transformation de Fourier des fonctions On dit qu'une distribution f(œ) ==/a(^) dans H1 est homogène de degré a.
Introduction aux équations différentielles et aux dérivées partielles
Exemple 7 Montrer que l'équation suivante est homogène donner son degré : où r ? R
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Soient f : Rn {0} ? R une fonction de classe C1 et ? ? R. Montrer qu'on a. ?x ? Rn {0} ?t ? R?. +
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Q < 0 : le système cède de la chaleur au milieu extérieur (processus Mathématiquement on dit que Z est une fonction homogène de degré 1 des quantités ...
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2) Montrer que f est homogène et préciser son degré d'homogénéité 3) Calculer les dérivées partielles de f d'ordre 1 et vérifier la relation d'Euler Exercice
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2) Montrer que l'application f est homogène et préciser son degré d'homogénéité 3) En déduire sans calcul une relation entre ƒ et ses dérivées partielles d'
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On peut donc appliquer tous les résultats d'opérations sur les fonctions dérivables et de classe C1 pour démontrer qu'une fonction de deux variables est
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Montrer que U est homogène de degré 2 et que les dérivées partielles sont homogènes de degré1 1 Thierry Sageaux Page 2 EN1D2 - Lycée Gustave Eiffel
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Soient f : Rn \ {0} ? R une fonction de classe C1 et ? ? R Montrer qu'on a ?x ? Rn \ {0} ?t ? R? + f(tx) = t?f(x) (f est positivement homogène
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Nous allons maintenant montrer que ces deux fonctions engendrent un sous-espace vectoriel de dimension 2 de C?(IR) puis que ce sous-espace est exactement
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Pour s?assurer qu?une équation est homogène il suffit de vérifier que les deux membres de cette dernière ont même dimension Par contraposition si les
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(a) Supposons que f0 est une solution positivement homogène de degré ? de (?) D'après la question 1(b) on a ?(x y) ? R2 x ?f0
Comment prouver qu'une fonction est homogène ?
Définition : Une fonction f : (x,y) ? f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a?R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = akf(x,y).Comment Etudier l'homogénéité d'une fonction ?
Pour vérifier qu'une équation est bien homogène, il faut s'assurer que les deux parties de l'équation utilisent la même dimension. En effet, si ces dernières sont différentes, votre équation sera automatiquement considérée fausse. On appelle cela une analyse dimensionnelle.Qu'est-ce qu'une fonction homogène de degré 1 ?
Une application linéaire est homogène de degré 1. Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes. Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1.Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.
1deux fois plus de produits.2plus de deux fois plus de produits.3moins deux fois plus de produits.
Introduction a l'analyse microeconomique
Complements utiles sur la theorie du consommateur
Marianne Tenand
Monitorat ENS 2014-2015
marianne.tenand@ens.fr1 Preferences : quelques denitions
1.1 Monotonicite des preferences
Monotonicite faible
six≥yalorsx⪰y Au moins autant est au moins aussi bien : garantit que le bien ou le service en question est un ≪bien≫et non un≪mal≫.Monotonicite
six>yalorsx≻y Strictement plus de l'ensemble des biens est strictement mieux.Monotonicite forte
six≥yetx≠yalorsx≻y Strictement plus d'un bien et au moins autant de l'ensemble des autres biens est stricte- ment prefere.Non-satiete locale
Pour toutx?Xet pour tout>0, il existe un panier de consommationy?Xavec ?x-y?2 Proprietes de la demande marshallienne
2.1 Loi de Walras
La loi de Walras dit que, pour des preferences monotones, le consommateur depense entierement son revenu pour acquerir le panier de consommation qui maximise son utilite : ?p;R?X2; x(p;R):p=R2.2 Homogeneite de degre 0
On dit qu'une fonctionf(x)est homogene de degredenxlorsque,?>0 : f(x)=df(x) La demande marshalienne est homogene de degre 0 en(p;R): lorsqu'on multiplie tous les prix et le revenu par une constante strictement positive,, la demande reste inchangee. En eet, l'ensemble de budget (soit l'ensemble des paniers de consommation qui respecte la contrainte budgetaire) reste le m^eme.Formellement :
x(p;R)=0x(p;R)=x(p;R)2.3 Theoreme d'Euler
Soitxun panier de consommation akbiens.?l?{1;:::;k}, si?(p;R)xl(p;R)est ho- mogene de degre 0, alors : k i=1p i@xlp i+@xl@R R=0 2 Ce qui implique, en prenant la denition de l'elasticite-prix (croisee) et de l'elasticite-revenu : k i=1 l;i+l;R=0 Autrement dit, les eets-prix et -revenu sont separables, et l'eet-revenu est egal (mais de sens inverse) a l'ensemble des eets-prix. Demonstration :Soit>0. Par denition de l'homogeneite de degre 0,x(p;R)=x(p;R). Si on derive la fonction de demande marshalienne par rapport a(en considerantRetpicomme des fonctions de) : @x l(p;R)@ =@xl(p;R)@ k i=1p i@xl(p;R)@(pi)@(pi)@ +@xl(p;R)@(R)@(R)@ k i=1p i@xl(p;R)@(pi)pi+@xl(p;R)@(R)R Or par denition de l'homogeneite de degre 0, la demande marshalienne ne variant pas lorsque les prix et le revenu sont multiplies par un m^eme facteur, on a : @x l(p;R)@ =0D'ou :
k i=1p i@xl(p;R)@(pi)pi+@xl(p;R)@(R)R=0 Cette egalite se verie pour toute valeur positive de, en particulier pour=1. Ainsi : k i=1p i@xl(p;R)@p ipi+@xl(p;R)@R R=0 En divisant par la demande marshalienne (x(p;R)≠0 puisque les preferences sont mono- tones etR>0), on obtient : k i=1p i@xl(p;R)@p ip ix(p;R)+@xl(p;R)@RRx(p;R)=0
k i=1 l;i+l;R=0 33 Proprietes importantes
3.1 Le lemme de Shepard
Ce lemme relie la fonction de demande hicksienne a la fonction de depenses, pour un niveau de prixp>0 etu>U(0). ?j={1;:::;k}; hj(p;u)=@e(p;u)@p j3.2 L'identite de Roy
?j={1;:::;k}; xj(p;R)=-@v(p;R)@p j@v(p;R)@R L'identite de Roy relie la demande marshalienne pour un bien donne aux variations dans la fonction d'utilite inidrecte induites par une variation marginale du prix du bien et par une variation marginale du revenu. Elle permet donc de deduire la demande marshalienne de l'expression de la fonction d'utilite indirecte.Demonstration :
Supposons quex?soit solution au PMU pour un revenuR?et un vecteur de prixp?. On noteu?=U(x?). Alors, d'apres les proprietes de la dualite : u ?=v(p;e(p;u?) (?p>0)Donc en particulier :
u ?=v(p?;e(p;u?)) NB : on peut ainsi voir que le second argument de la fonction d'utilite indirecte (le revenu R, qui est egal a la depense minimale necessaire pour atteindre le niveau d'utiliteu?) est une fonction du prix. Si on prend la derivee partielle de cette expression par rapport apj, on obtient (puisque u ?etant une constante, sa derivee par rapport apjvaut 0) :0=@v(p?;R?)@p
j@p j@p j+@v(p?;R?)@R @e(p;u?)@p j En utilisant le lemme de Shepard, on peut donc remplacer la derivee partielle de la fonction de depense par rapport au prixpjpar la fonction de demande hicksienne :0=@v(p?;R?)@p
j+@v(p?;R?)@R h(p?;u?) 4Or, toujours d'apres les proprietes de dualite :
x(p?;R?)=h(p?;u?)Ainsi,
0=@v(p?;R?)@p
j+@v(p?;R?)@R x(p?;R?) En rearrangeant les termes on obtient bien l'identite de Roy.3.3 L'equation de Slutsky
Cette equation permet de quantier les eets de revenu et de substitution observes lors d'un changement dans le prix d'un bien. ?j={1;:::;k};@xi(p;R)@p j=@hi(p;R)@p j-xj(p;R)@xi(p;R)@R Cette propriete se demontre en utilisant les proprietes de la dualite du PMU et du PMD.Dans le cas oui=j:
@xi(p;R)@p iest l'eet-prix total; @hi(p;R)@p iest l'eet de substitution (c'est bien la variation marginale de la demande hicksienne qui est en jeu). Il est toujours negatif (lorsque le prix d'un bien augmente, la demande compensee pour ce bien diminue); - xi(p;R)@xi(p;R)@R est l'eet de revenu : il est d'autant plus fort que la consommation de bienien laquelle est evaluee l'eet d'un changement marginal de prix est elevee. Il est souvent negatif (la hausse du revenu entra^ne une augmentation de la quantite du bieniconsommee); mais il peut ^etre positif (bien inferieur). Si l'eet-revenu (positif) depasse l'eet de substitution (negatif), alors une hausse du prix du bieniva induire une augmentation de sa consommation. Le bieniest alors un bien de Gien. 5quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] theoreme d'euler economie
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