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Comment prouver qu'une fonction est homogène ?
Définition : Une fonction f : (x,y) ? f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a?R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = akf(x,y).
Comment Etudier l'homogénéité d'une fonction ?
Pour vérifier qu'une équation est bien homogène, il faut s'assurer que les deux parties de l'équation utilisent la même dimension. En effet, si ces dernières sont différentes, votre équation sera automatiquement considérée fausse. On appelle cela une analyse dimensionnelle.
Qu'est-ce qu'une fonction homogène de degré 1 ?
Une application linéaire est homogène de degré 1. Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes. Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1.
Q = A K b L a dans laquelle a et b sont des paramètres positifs et a + b mesure le degré d'homogénéité de la fonction.
1deux fois plus de produits.2plus de deux fois plus de produits.3moins deux fois plus de produits.

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Introduction

aux équations différentielles et aux dérivées partielles 1 2

Table des matières

I Equations différentielles 7

1 Méthodes de résolution explicite des équations différentielles "simples" 9

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Réduction à une équation du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Intégration d"équations différentielles d"un certain type - quelques techniques . . .

1.3.1 Equations à variables séparées (ou séparables) . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Equations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Equations de BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.5 Equations de LAGRANGE et de CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Formulation générale -Equa. dif. totales - Facteurs intégrants . . . . . . . .

1.3.7 Equation des facteurs intégrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 "Brève" théorie générale des équations différentielles 21

2.1 Problème de Cauchy en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Localisation des solutions du problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Méthode d"approximation de Picard - Existence et Unicité locale . . . . . . . . . .

2.4 Unicité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Points d"Unicité Locale et Globale d"un problème de Cauchy . . . . . . . . . . . .

2.6 Théorèmes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Equations différentielles d"ordre supérieur 29

3.1 Problèmes avec conditions initiales et conditions aux bords . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Problèmes avec conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Problèmes avec conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Opérateur différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.5 Principe de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.6 Dépendance et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.7 Solution d"équa. diff. pour les solutions linéairement indép. d"équa. diff.

linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.8 Solutions générales d"équations nonhomogènes . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Réduction d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Equation linéaire homogène avec coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
3

3.3.2 Ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Coefficients indéterminés- Approche par superposition . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Coefficients indéterminés- Approche de l"annihilateur . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1 Mise en facteurs d"opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.2 Opérateur annihilateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.3 Coefficients indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Variations des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.1 Ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 Equations d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Equation de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.1 Equation homogène d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Résoudre des systèmes d"équations linéaires par élimination . . . . . . . . . . . .

4 Séries solutions d"équations différentielles linéaires 43

4.1 Solution autour de points ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Rappel sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Solutions sous forme de séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Solutions autour des points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Deux équations spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Transformée de Laplace 47

5.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Définition de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Transformée inverse et transformée de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Transformer une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Résoudre les équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Théorème de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Translation sur l"axe dess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.2 Translation sur l"axe dest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 Propriétés additionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.1 Multiplier une fonction partn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.3 Transformée d"une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.4 Equation intégrale de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.5 Transformée de fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6.6 Fonction±-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Systèmes différentiels linéaires 53

6.1 Théorie préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2 Systèmes non-homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Systèmes linéaires homogènes avec des coefficients constants . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
4

6.3.1 Matrice fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.3 Variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2 Systèmes non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.3 Utilisation de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Equations aux dérivées partielles 61

7 Equation de la chaleur 63

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Construction du modèle de la chaleur dans une time (1D) . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Densité de l"énergie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Energie de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Conservation de l"énergie de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.4 Température et chaleur spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.5 Energie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.6 Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66
5 6

Première partie

Equations différentielles

Chapitre 1

Méthodes de résolution explicite des

équations différentielles "simples"

1.1 Définitions

Donnons tout d"abord quelques définitions essentielles pour commencer sur de bonnes bases.

Définition 1

Equation différentielle ordinaire.Une équation différentielle ordinaire (EDO) est

une relation entre la variable réellet, une fonction inconnuet7!y(t)et ses dérivéesy0,y00, ...,

y (n)au pointtdéfinie par F(t;y(t);y0(t);y00(t);:::;y(n)(t)) = 0 (on notera par abusF(t;y;y0;y00;:::;y(n)) = 0)(1.1) On dit que cette équation est scalaire siFest à valeurs dansR. (N.B. : on pourra utiliserxde temps en temps au lieu det, i.e.y(t)ouy(x))

Définition 2

Equation différentielle normale.On appelle équation différentielle normale d"ordre ntoute équation de la forme y (n)=f(t;y;y0;:::;y(n¡1))(1.2) Donnons un exemple pour mettre les idées au clair.

Exemple 1

Equation du premier ordre sous la forme normale

0=f(t;y) (oudy

dt =f(t;y))(1.3)

Donnons maintenant une classification par linéarité. Une EDO du type (1.1) d"ordrenest linéaire

si elle a la forme suivante : a noter que (1) tous lesy(i)sont de degré1, et (2) tous les coefficients dépendent au plus dex 9

Exemple 2

Dire si les équations différentielles suivantes sont linéaires ou non linéaires, et donner

leur ordre (on justifiera les réponses). i:(y¡x)dx+ 4xdy= 0ii: y00¡2y0+y= 0iii:d3y dx 3+xdy dx

¡5y=ex

iv:(1¡y)y0+ 2y=exv:d2y dx

2+ siny= 0vi:d4y

4+y2= 0

Définition 3

Solution.On appelle solution (ou intégrale) d"une équation différentielle d"ordren sur un certain intervalleIdeR, toute fonctionydéfinie sur cet intervalleI,nfois dérivable en

tout point deIet qui vérifie cette équation différentielle surI. On notera en général cette solution

(y;I).

SiIcontient sa borne inférieure®, (resp. sa borne inférieure¯), ce sont des dérivées à droite

(resp. à gauche) qui interviennent au pointt=®(resp.t=¯). Intégrer une équation différentielle

consiste à déterminer l"ensemble de ses solutions.

Définition 4

Soient(y;I)et(ey;eI)deux solutions d"une même équation différentielle. On dit que (ey;eI)est un prolongement de(y;I)si et seulement siI½eIeteyjI=y.

Définition 5

Solution maximale, solution globale.SoientI1etI2, deux intervalles surRtels que I

1½I2. On dit qu"une solution(y;I1)est maximale dansI2si et seulement siyn"admet pas

de prolongement(ey;eI)solution de l"équation différentielle telle queI1&eI½I2. On dit qu"une

solution(y;I1)est globale dansI2si et seulement siyadmet un prolongementeysolution définie sur l"intervalleI2tout entier.

Remarque 1

Toute solution globale sur un intervalleIest maximale surI, mais la réciproque est fausse.

Exemple 3

(voir figure)W y1 y2 I 10

1.2 Réduction à une équation du premier ordre

Considérons l"EDO d"ordren, (n¸2),

F(t;y;y0;:::;y(n)) = 0;

où,yest à valeurs dansRm(on prendm= 1en général) etF:R£Rm£:::£Rm| {z n+1fois!Rp: On fait le changement d"inconnuesz= (y;y0;:::;y(n¡1)). On a alorsz2(Rm)n. On note alors z= (z1;z2;:::;zn), où chacun deszi=y(i¡1)2Rm,i= 1;:::;n. On se retrouve alors avec des relations entre leszi:

½z0i¡zi+1= 0; i= 1;2;:::;n¡1

F(t;y;y0;:::;y(n)) = 0:

On se ramène alors à une équation du premier ordre, à une variable etninconnues du type

G(t;z1;z2;:::;zn;z01;z02;:::;z0n) = 0:

Cas particulier

:n= 2(Fscalaire)

F(t;y;y0;y00) = 0:

Cette équation peut se ramener à une équation du premier ordre à deux inconnues,z1etz2:

½z01¡z2= 0;

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