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CoursdÕlectroci ntique
EC2-Bobineetcondensateur
1In troduction2
2Le condens ateur2
2.1Const itutionetsymbole...............................2
2.2Relat iontension-intensit ..............................2
2.3Cond ensateuretrgimes...............................3
2.4ner gieetcondensateur...............................3
2.5Assoc iationdecondensateur.............................3
2.5.1Associat ionensrie.............................3
3La bobine3
3.1Const itutionetsymbole...............................3
3.2Relat iontension-intensit ..............................4
3.3Bobi neetrgimes...................................4
3.4ne rgieemmagasineparlabobi ne.........................4
3.5Asso ciationdebobines................................5
3.5.1Associat ionensrie.............................5
4CircuitsRCetRL5
4.1Di rentstypesdergime s.............................54.2che londetension..................................6
4.3Circ uitRC......................................6
4.3.1quation di
4.3.2Casdenot retud e..............................6
4.3.3Chargedu condensateur...........................7
4.3.4Dcharge ducondensateur..........................8
4.3.5Aspect nergtique..............................9
4.4Circ uitRL.......................................10
4.4.1quation di
4.4.2Casdenot retud e..............................10
4.4.3tablis sementducourant..........................10
4.4.4Ruptur educourant.............................11
4.4.5Aspect nergtique..............................12
1 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur1.Int roduction1Int roduction
Nousavion sdonndanslechapit reEC1unedÞ nitionrdu ctric edecequÕestundiple linaire(sacaractristiq ueestune droite).Enrali t,toutdiplepourlequel uetisontrelis parunequationdi≠rentiellelinaire
coe cientsconstantsestun diplelinaire. Lecas leplus simple correspondaucon ducteurohmiqueou=Ri.Nous allonsvoi ricile casducon densat euretdelabobinequisontdoncausside sdiple slinai res.2Le condensate ur
2.1Constit utionetsymbole
Uncon densateurestconstitudedeuxarmatu resconduct ricessparesparunisolantap- peldile ctrique. Ilspeuven ttreplans,cylindriqu esvoirsphriq ues. Lesconde nsateurssontcaractrissparleurcapacit CquisÕexpr imeenFarad.CÕestla capacitquÕilsontacc umulerdeschargeslors quÕils sont soumisunecertainedirencede
potentiel. LÕarmaturequireoitlecour antportela charge+q,lÕ autreportelacharge≠q. Figure1ÐS ymb olisationdÕuncondensateur,convention rcepteur2.2Relat iontension-intensit
Onconna" tlarelationentre lacharge porteparlÕarmatureposi tiveetlatension appliqu e auxborn esducondensateur: q=Cu(1) Onconna" tlarelationentre lÕinte nsitducourantarrivan tsurlecondensate uretlavariation decharge delÕarmaturep ositive : i= dq dt (2)DÕo:
i=C du dt (3) 2 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur2.3C ondensateuretrgimes2.3Compo rtementducondensateursousdi
rentsrgimes
Lecon densateurnÕest"intressant"quÕ enrgimevariable,c Õestdirelorsqueuvarie. Ene et,enrgim eperman ent,latensiont antconstante,ona: i=C du dt =0(4) Lecond ensateursecomportedoncenrgimeperm anentcom meuninterrupteur ouvert.2.4nergie emmagasineparlecondens ateur
LÕnergieemmagasineparlecon densateurentreletempst=0ou=0etle tempsto u=uestdonnep ar: E C 1 2 Cu 2 (5) Attention,la puiss ancereueparuncondensateurp eutchangerdesigneau coursdu temps:ÐSisonn ergieE
C augmente,lapuissancere ue(P=u(t)i(t))e stpositive estleconden- sateursecomportecom meunr cepteur.ÐSisonn ergieE
C diminue,lapuissancereue estngat iveestlecondensateursecomp orte commeungnrate ur.Consquencesurlacontinuitdel afonctionu(t)
LÕnergieemmagasineparuncon densateurdpenddelatensi onses bornes. Cetransfert dÕnergienepouvantpassefaire instant anment,latensi onu(t)auxborn esdÕuncondensateu r estunefonc tioncontinu edutemps.2.5Associa tiondecondensateur
2.5.1Associ ationensrie
Troiscondensate ursdecapacitC
1 ,C 2 ,C 3 placsensriesont quival entsuncondensa- teurdecapacit C eq vriÞantlarelationsuivant e: 1 C eq 1 C 1 1 C 2 1 C 3 (6)Troiscondensate ursdecapacitC
1 ,C 2 ,C 3 sateurdecapacitC eq vriÞantlarelationsuivant e: C eq =C 1 +C 2 +C 3 (7) 3 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur3.Lab obine3La bobine
3.1Consti tutionetsymbole
Unebobin eestconstituedÕ unenroule mentdespiresconductricesautou rdÕunisolant.E lle admetdoncunece rtainersi stanceint ernedufaitdecettegrande longueurdeÞl. Figure2ÐS ymb olisationdÕunebobinerelle,convent ionrcepteur3.2Relati ontension-intensit
variedanslessp iresdela bobinecr unchampmagntiqueBquifaitapp ara"treunet ension
anne). Mathmatiquement,pourunebobineidale(sansrsistance interne) ,cetteauto- induction sÕcrit: u=L di dt (8) oLe stl Õinductan cedelabobinequisÕexprimeenHenry(H). Enten antcomptedelarsi stanceinternede labobin e,late nsionauxbornesdecelle-ci sÕcrit: u=L di dt +ri(9) avecrlarsi stanceinternedelabobinequisÕ exprimeenOhm(≠).3.3Compor tementdelabobinesousdi
rentsrgimes
Lab obinenÕest"intr essante"quÕenr gimevariable,cÕestdirelorsqueivarie. Ene et,enrgim eperman ent,lÕintensit tantconstante,ona: u=L di dt +ri=ri(10) Labobi nesecomportedoncen rgimep ermanentcommeuncondu cteurohmi que defaibl ersistance(r=10≠12≠).3.4nergie emmagasineparlabobi ne
Pourunebobi neidale,l Õnergieemmagasin eparcelle-cientrel etempst=0oi=0et lete mpstoi=iestdonnep ar: E L 1 2 Li 2 (11) Attention,l apuiss ancereueparunebobinepeutc hangerdesigneaucours dutem ps: 4 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur3.5As sociationdebobines ÐSisonn ergieEau gmente,lapuissancer eu e(P=u(t)i(t))es tpositivee stlabobine secompor tecommeunrcepteur . ÐSisonn ergieE diminue,lapuissance re ueestngativeestlabobines ecomport ecomme ungnr ateur. Pourunebobi nerelle, pendantquÕellee mmagasinelÕnergieE L ,el leendissipe aussipar e etJoul e.Consquencesurlacontinuitdel afonctioni(t)
LÕnergieemmagasineparune bobinedpenddelÕintensit ducour antquilat raverse.CetransfertdÕnergienepouvant passefaireinstantanment,lÕ intens itducouranti(t)parcou-
rantunebobi neestunef onctioncontinuedu temps.3.5Associa tiondebobines
conducteursohmiques.3.5.1Assoc iationensrie
Onpeut considrerlec asdesbobinesrelles:
Uneassoc iationdenbobinesrellesident iquescaractrisesparle coupleL,restquival ente un ebobinedÕi nductancenLassocieunconducteurohm iq ueder sistancenr. idales:Soitdeuxbob inesidalesdÕ inductancesL
1 etL 2quivalenteunebobinedÕinductanc eL
eq quivriÞe : 1 L eq 1 L 1 1 L 2 (12)4Ci rcuitslinairesdupremi erordresoumisunchelonde
tension 4.1Direntstypesdergime s
Enlec tricit,onemploiesouventletermedergime def onctionnement:nousall onsen rencontrerdedirentessortesetilnefau tpaslesconfondre.
ÐLer gimecontinuetler gimevariablesontoppose r: ÐEnrgimecontinu,tou teslesgrandeursl ectrique ssontconstantesaucoursdu temps; ÐEnrgimevariable,ce sgrandeursd pendentdutemps. ÐLer gimetransitoireetl ergimepermanentvontdepair: 5 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur4.2c helondetension ÐUnrgimeestpermane ntlorsquependantuncert aintemps,lescaractr istiqu es desgrandeur slectriquesnesontpasm odiÞes. Ler gimecontinuestunc asparticulierdergim epermanen t. Unr gimevariablepeutt repermanent:nousver ronslergimes inusodalquies t variable(lÕintensit etlatensionsontdesfonctionstrigonomtriqu espri odique s), maiscommel escaractristi quesdei(t)etu(t)restentlesmmes,cer gimeestaus si permanent. ÐUnrgimetransitoire estlergim edurant lequelonpassedÕu nrgimepermanentun autre.
4.2chelo ndetension
Nousallons soumettredi
rentscircuitsun
chelondetension:onfai tpasse rlatensionaux
bornesducircuit tudie rdÕunevaleurE 1un eva-
leurE 2Pourcela,de uxpossibilit s:
ÐOnferm eouonouvreuninterr up teu rquirelie
ungnr ateurdetensioncontinueauci rcuittudier.
ÐOnutil iseungnrateurbassefr quence (GBF) quipeutd livrerunete nsioncrneaudefrquence variable. Danscecas,i lfautr glerlafr quence duGBFen fonctiondecequelÕonsou haiteob serv( gnrale- transitoireobserver).Figure3ÐE che lonsdetensions
6 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur4.3C ircuitRC4.3CircuitR C
4.3.1quationd i
rentielle
Ontu dielecircuitRCsoumi sune tensionE=
cste,ons Õin tresselÕalluredelatensionauxbornes duconde nsateuretlÕintensitparcourantle cir- cuit.Onappli quelaloidesmailles:
E=Ri+u(13)
Ori=C du dt ,dÕ o E=RC du dt +u(14)quationquelÕonpeut crire:
du dt +u=E(15) avec≠=RC.Figure4ÐCircuitRC
Cettequationdi
rentielleestdupremierordre,le circuitRC estapp elcircuitdupremier ordre.4.3.2Casdenot retud e
Las olutiondecettequation di
rentielleseradi
renteselonlecastu di.
Pourobteni rlasolutionlaplusgn rale,on additionne: rponseducircuitRCs ansexc itation:cÕestcequelÕonapp ellel ergimelib re; OnsÕin tresseraiciaucircuitsoumisunchelondete nsion:leg nr ateur dlivreEpourlacharge duconde nsateur,0poursadch argedansl arsistance.4.3.3Charged ucondensateur
Ondoit trouverune solutionlÕquation:≠ du dt +u=E. formeu 1 =Ae t avecAunecons tant eet"unre l.Injectonsu
1 ≠#"Ae t +Ae t =0(16)Cequid onne"=≠
1 7 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur4.3C ircuitRC 2 constante. Ona du 2 dt =0doncu 2 =E.SolutionglobaleellesÕcrit:u(t)=Ae
t +E. Utilisationdelaconditioninitial eLÕquationdi≠rentiellequenoustudionsestdup re- mierordre,un eseuleconditioni nitialesu tt rouv erlaseuleconstante dterm iner:At=0,u(t)=0doncA+E=0etA=≠E.
Finalement,latensionauxbornesducon densate ur
quisecharge sÕcri t: u(t)=E1≠e
t (17) Etsonall ureest reprsenteci- contre.Onp eut vriÞerquelafonctionu(t)estbiencon tinue.Figure5ÐAl lur edelatension
auxborn esducondensateurl ors desach arge Commelemontre laÞgure ci-dessus,lacon stanted etemps≠=RCpeuttrefacil ement obtenuegraphiquement .Cetempspermetdecaractriserlavitesse dechar geducondensateur, plusilestfaib leplus lecondens ateursechargevite.Onditau ssisouven tquÕauboutdÕun tempstgal5≠,le condens ateuresttotalementcharg.
Onestp assdurgim etransitoireau rgimep ermanent.Intensitdanslecircuit
Onpeu tfacilementobt enirlÕquationdelÕintensit ducouran tetsonallure. Ene et,i=C du dt dÕo: i(t)= E R e t (18)Lafon ctioni(t)estdiscon tinue.
Figure6ÐAl lur edelÕintensit
danslecirc uitlors delacharge duconde nsateur4.3.4Dcharge ducondensateur
Ondoitt rouverunes olutionlÕquation:≠ du dt +u=0.SolutionOncher cheunesolutiondelaforme u=Ae
t avecAunecons tant eet"unre l.InjectonsudanslÕqu ation:
≠#"Ae t +Ae t =0(19) 8 ElectrocintiqueEC2-Bobineetcondensateur4.3C ircuitRCCequid onne"=≠
1Lasol utionsÕcritdonc:u(t)=Ae
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