ISOTROPIE DE CERTAINES FORMES QUADRATIQUES DE
donné une forme quadratique anisotrope sur F un problème important est de caractériser les formes quadratiques telles queqdevienne isotrope sur le corps.
V-formes-quadratiques.pdf
Formes quadratiques. On se place sur un R-espace vectoriel E de dimension finie n. 1. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques.
FORMES QUADRATIQUES SUR UN CORPS
04/07/2010 — Formes quadratiques corps de fonctions de quadriques
SERIES THETA DES FORMES QUADRATIQUES INDEFINIES Marie
SERIES THETA DES FORMES QUADRATIQUES INDEFINIES. Marie-France VIGNERAS. Introduction. Le but de cet expose est de decrire un critere simple pour la cons-.
Chapitre 2 Formes quadratiques
Il convient également de définir le noyau et le rang d'une forme quadratique. On appelle noyau de b le noyau du morphisme associé ?b : Kerb = Ker?b = {x 2 E :
Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires
de K. 1.2. Notons Qd l'ensemble des formes quadratiques binaires ax2 + bxy + cy2 à coefficients entiers rationnels définies positives
QUELQUES IDEES DE DEVELOPPEMENTS 1. Continuité des
Classification des formes quadratiques sur R C
chapitre 2 formes quadratiques
Son noyau est l'espace des formes bilinéaires alternées. PROPOSITION 13 : Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET FORMES QUADRATIQUES
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET FORMES QUADRATIQUES par. Bruno KAHN. Ces notes rassemblent des résultats sur les formes quadratiques obtenus.
Leçon 06 – Cours : Formes quadratiques
Théorème : Si q est une forme quadratique représentée par la matrice symétrique A : *q est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de A
Formes quadratiques Espaces euclidiens - univ-rennes
2 Formes quadratiques D´e?nition 2 1 Une application q : E ?? K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´eri?´ee : 1 il existe une forme bilin´eaire sym´etrique ? sur E ×E telle que ?x ? E q(x) = ?(xx)
Leçon 06 – Cours : Formes quadratiques
qu'une forme quadratique est représentée par une matrice symétrique puisque c'est toujours possible Pour chaque forme quadratique une telle matrice est alors unique Théorème : Toute forme quadratique peut s'écrire comme une somme de carrés de combinaisons linéaires de ses variables pondérée par les valeurs propres de la matrice
UFR MATH EMATIQUES - univ-rennes
FORMES QUADRATIQUES Une forme quadratique s’ ecrit donc sous la forme : q(x) = X 1 i;j n m ijx ix j = Xn i=1 m iix 2 i + 2 X 1 i
Cours de Mathématiques 3 Aunège - Université Paris Sud 11 - UFR Jean Monnet - Page 79 sur 95
Leçon 06 - Cours : Formes quadratiques
Objectif: Dans cette leçon nous présentons les formes quadratiques et les propriétés desmatrices symétriques réelles qui y sont étroitement associées. Ces notions sont introduites
dans le but de traiter en application les problèmes d'extrema libres et liés, très importants en
économie, c'est l'objet du dernier paragraphe.
Les formes quadratiques jouent un rôle important dans la résolution de certains problèmes économiques comme ceux qui consistent à maximiser une fonction à plusieursvariables, mais aussi en statistique et en économétrie lorsque par exemple on fait de l'analyse
factorielle ou quand on s'intéresse aux propriétés des vecteurs gaussiens.Page 80 sur 95 - Cours de Mathématiques L3 EAD-Canège - Université Paris Sud 11 - UFR Jean Monnet
1. Matrices symétriques
Définition : Une matrice A est symétrique si et seulement si : tA = A. (où
tA désigne la
matrice transposée de A)Si A = (a
ij ) et si A est symétrique, on a donc : (i,j) a ij = a ji . Deux termes symétriques par rapport à la diagonale sont égaux. Théorème : Les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles. Démonstration: Soit une valeur propre de A et P un vecteur propre associé à . Si n'est pas réelle, est aussi une valeur propre de A et P est un vecteur propre associé à .Donc AP = P et en multipliant à gauche par
t P : tPAP = (
tPP) (1).
D'autre part A P
= P et en prenant la transposée, on obtient : t P A = ( t P) Si on multiplie à droite par P l'égalité devient : t PAP = (
tPP) (2)
(1) et (2) donne : ( tP P) =(
t PP) .Si P =
x 1 x n tPP = x
1 x 1 + . + . + x n x n0. Or P est un vecteur propre de A donc P est
différent du vecteur nul et tPP 0 donc = et est donc réelle. C.Q.F.D.
Or si est réelle et A aussi on peut lui associer un vecteur propre réel. On supposera donc par
la suite que tous les vecteurs propres sont réels.Théorème : Si deux vecteurs propres d'une matrice symétrique sont associés à deux valeurs
propres distinctes, ils sont orthogonaux.Démonstration : Soit P
1 et P 2 les vecteurs propres associés respectivement aux deux valeurs propres distinctes 1 et 2 . AP 1 1 P 1 et en multipliant à gauche par t P 2 on a donc : t P 2 AP 1 1t P 2 P 1 . Et transposant chaque membre on a t P 1 AP 2 1 t P 1 P 2 (1)Et puisque P
2 est vecteur propre associé à 2 , AP 2 2 P 2 et l'égalité (1) devient 2 t P 1 P 2 1t P 1 P 2 ou ( 1 2 t P 1 P 2 = 0. Or 1 2 donc nécessairement t P 2 P 1 = 0 et P 1 et P 2 sont orthogonaux. C.Q.F.D.Cours de Mathématiques 3 Aunège - Université Paris Sud 11 - UFR Jean Monnet - Page 81 sur 95 D'autre part si un sous espace propre est de dimension supérieure à un, on peut
toujours trouver une base orthonormée de vecteurs propres pour ce sous espace. Donc si A estsymétrique réelle et possède n vecteurs propres indépendants, on peut considérer qu'il existe
une base orthonormée de R n formée de vecteurs propres de A. Le théorème suivant affirme l'existence de ces n vecteurs propres dans le cas où A est symétrique réelle. Théorème : Toute matrice réelle symétrique est diagonalisable sur R n et admet une base orthonormée de vecteurs propres. La démonstration de ce théorème se fait par récurrence et est assez fastidieuse. Aussi, bien que ce résultat soit fondamental, nous l'admettrons.2. Formes quadratiques
2.1.Définition
Définition : On appelle forme quadratique réelle à n variables, toute applicatio de R n dans R telle que : q(x 1 ,x 2 ,...,x n i=1n j=1n a ij x i x j (a ij R)Si X =
x 1 x 2 x n et si la matrice A = (a ij ), q(X) = t XAX. On dit alors que A représente la forme quadratique q. Remarquons que si aquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] Utilisation du logiciel de cartographie BaseCamp de GARMIN
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