ISOTROPIE DE CERTAINES FORMES QUADRATIQUES DE
donné une forme quadratique anisotrope sur F un problème important est de caractériser les formes quadratiques telles queqdevienne isotrope sur le corps.
V-formes-quadratiques.pdf
Formes quadratiques. On se place sur un R-espace vectoriel E de dimension finie n. 1. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques.
FORMES QUADRATIQUES SUR UN CORPS
04/07/2010 — Formes quadratiques corps de fonctions de quadriques
SERIES THETA DES FORMES QUADRATIQUES INDEFINIES Marie
SERIES THETA DES FORMES QUADRATIQUES INDEFINIES. Marie-France VIGNERAS. Introduction. Le but de cet expose est de decrire un critere simple pour la cons-.
Chapitre 2 Formes quadratiques
Il convient également de définir le noyau et le rang d'une forme quadratique. On appelle noyau de b le noyau du morphisme associé ?b : Kerb = Ker?b = {x 2 E :
Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires
de K. 1.2. Notons Qd l'ensemble des formes quadratiques binaires ax2 + bxy + cy2 à coefficients entiers rationnels définies positives
QUELQUES IDEES DE DEVELOPPEMENTS 1. Continuité des
Classification des formes quadratiques sur R C
chapitre 2 formes quadratiques
Son noyau est l'espace des formes bilinéaires alternées. PROPOSITION 13 : Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET FORMES QUADRATIQUES
EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET FORMES QUADRATIQUES par. Bruno KAHN. Ces notes rassemblent des résultats sur les formes quadratiques obtenus.
Leçon 06 – Cours : Formes quadratiques
Théorème : Si q est une forme quadratique représentée par la matrice symétrique A : *q est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de A
Formes quadratiques Espaces euclidiens - univ-rennes
2 Formes quadratiques D´e?nition 2 1 Une application q : E ?? K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´eri?´ee : 1 il existe une forme bilin´eaire sym´etrique ? sur E ×E telle que ?x ? E q(x) = ?(xx)
Leçon 06 – Cours : Formes quadratiques
qu'une forme quadratique est représentée par une matrice symétrique puisque c'est toujours possible Pour chaque forme quadratique une telle matrice est alors unique Théorème : Toute forme quadratique peut s'écrire comme une somme de carrés de combinaisons linéaires de ses variables pondérée par les valeurs propres de la matrice
UFR MATH EMATIQUES - univ-rennes
FORMES QUADRATIQUES Une forme quadratique s’ ecrit donc sous la forme : q(x) = X 1 i;j n m ijx ix j = Xn i=1 m iix 2 i + 2 X 1 i
EMATIQUESFormes quadratiques
On se place sur unR-espace vectorielEdedimension nien.1.Formes bilineaires symetriques et formes quadratiques
1.1.Formes bilineaires symetriques
Denition 1 {Une forme bilineaire surEest une application':EE!Rlineaire par rapport a chacune de ses variables. Elle est dite symetrique si elle verie de plus :8(x;y)2EE; '(x;y) ='(y;x). Remarque -Si'est une forme bilineaire surE, alors, pour toutx2E,'(0;x) ='(x;0) = 0. Exemple -Soientfetgdeux formes lineaires surE. L'application'deEEdansR denie par'(x;y) =f(x)g(y) est une forme bilineaire denie surE. Proposition 2 {L'ensemble des formes bilineaires (respectivement bilineaires symetriques) sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.1.2.Formes quadratiques Denition 3 {Une forme quadratiqueqsurEest une applicationq:E!Rveriant les deux conditions suivantes :1)8x2E;82R; q(x) =2q(x)
2) L'application (x;y)7!12
[q(x+y)q(x)q(y)] est bilineaire symetrique. Proposition 4 {L'ensemble des formes quadratiques sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.
Theoreme 5 {Il existe un isomorphisme canonique entre l'espace vectoriel des formesquadratiques et l'espace vectoriel des formes bilineaires symetriques.Demonstration :notonsQ(E)l'ensemble des formes quadratiques denies surEetB(E)
l'ensemble des formes bilineaires symetriques.Soitq2Q(E). Posons(q) ='avec'(x;y) =12
[q(x+y)q(x)q(y)].(q)2B(E), ainsi denie, est bien une forme bilineaire symetrique. Soit'2B(E). Denissons0(')par0(')(x) ='(x;x)pour toutx2E. Un calcul montre que0(')2Q(E). Montrons queest inversible et que son inverse est0. Soit'2B(E). On a0(') = (q)avecq(x) ='(x;x). Or(q) ='0avec0(x;y) =12
[q(x+y)q(x)q(y)] 12 ['(x+y;x+y)'(x;x)'(y;y)] ='(x;y) par bilinearite de'. On a donc0=IdB(E). On montre de m^eme que0=IdQ(E). L'applicationest donc bijective et1=0. Elle est lineaire par construction, d'ou le resultat. Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Denition 6 {Soitqune forme quadratique. L'unique forme bilineaire symetrique'telle que'(x;x) =q(x) pour toutx2Es'appelle la forme bilineaire symetrique associee aq. 1.3. Ecriture matricielleSoit (e1;:::;en) une base deE. Soientxetydeux vecteurs deEde coordonnees respectives (xi)1inet (yj)1jndans la base (e1;:::;en). Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. On a alors par bilinearite de': '(x;y) ='0 nX i=1x iei;nX j=1y jej1 A X1i;jnx
iyj'(ei;ej) Reciproquement, soit (aij)1i;jnune famille de reels telle queaij=ajipour 1i;jn; alors l'application (x;y)7!X1i;jna
ijxiyjest bilineaire symetrique. Denition 7 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surEet soit (e1;:::;en) une base deE. La matriceMdeMn(R) denie parMij='(ei;ej) s'appelle la matrice de' dans la base (e1;:::;en). SiXetYdesignent respectivement les matrices-colonnes des coordonnees dexet deydans la base (e1;:::;en), alors on a'(x;y) =tXMY=tY MXProposition 8 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. SiMest la matrice
de'dans la base (e1;:::;en), alors la matriceM0de'dans la base (e01;:::;e0n) estM0=tPAP, ouPest la matrice de passage de la base(e1;:::;en) a la base (e01;:::;e0n).Demonstration :soientxetydes vecteurs deE. NotonsXetY(respectivementX0
etY0) les matrices-colonnes de leurs coordonnees respectives dans la base(e1;:::;en) (respectivement(e01;:::;e0n)). On aX=PX0etY=PY0. On en deduit que '(x;y) =tXMY=t(PX0)M(PY0) =tX0tPMPY0. D'ouM0=tPMP.Denition 9 {Soitqune forme quadratique. La matrice de la forme bilineaire symetrique associee aqdans une baseBs'appelle la matrice deqdans la baseB. Denition 10 {Deux matricesMetM0deMn(K) sont dites congruentess'il existe une matriceP2GLn(K) telle queM0=tPMP. Deux matrices sont donc congruentes si elles representent la m^eme forme bilineaire dans deux bases dierentes deE. Proposition 11 {La congruence est une relation d'equivalence.Demonstration :c'est une relation re exive car, pour toutM2Mn(R),M=tInMIn. Elle est symetrique car, siM0=tPMP, alorsM=tP1MP1. Enn c'est une relation transitive car siM00=tP0M0P0etM0=tPMP, alorsM00=tP0(tPMP)P0=t(PP0)M(PP0)etPP0est bien une matrice inversible.1.4.Recherche de la forme bilineaire associee a une forme quadratique
Soit (e1;:::;en) une base deE. Une forme bilineaire symetrique'est une application deEEdansRdenie par'(x;y) =tXMY=P
i;jmijxiyjouMest la matrice symetrique reelle denie parmij='(ei;ej). { 2 {FORMES QUADRATIQUES
Une forme quadratique s'ecrit donc sous la forme : q(x) =X1i;jnm
ijxixj=nX i=1m iix2i+ 2X1i ijxixj: Reciproquement, si on se donne une forme quadratiqueq, on a alors q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE. On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associee est non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il
existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0. Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant
une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0. Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)
Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetrique associee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont
proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite. Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).
Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.
Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Il existe donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire
symetrique associee a une forme quadratique positive est continue. Theoreme 21 {(Minkowski)
Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel
quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 { FORMES QUADRATIQUES
4.Decomposition en carres d'une forme quadratique : methode de
GaussSoientEun espace vectoriel de dimensionnet (e1;:::;en) une base deE. Six2E, on note (x1;:::;xn) ses coordonnees dans la base (e1;:::;en). Soitqune forme quadratique non nulle denie surE. Pour toutx2E, on a q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Proposition 22 {Il existenformes lineaires (`1;:::;`n) denies surElineairement independantesetnreels1;:::;ntels que, pour toutx2E, q(x) =nX i=1 i`i(x)2:Demonstration :par recurrence surn. Sin= 1, le resultat est evident. Supposons que toute forme quadratique den1variables s'ecrit comme la somme de carres de formes lineaires independantes. 1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.
Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m 1jx1xj+R(x2;:::;xn)
ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m 1jx1xj;
fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE. On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associee est non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il
existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0. Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant
une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0. Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)
Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetrique associee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont
proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite. Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).
Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.
Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Il existe donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire
symetrique associee a une forme quadratique positive est continue. Theoreme 21 {(Minkowski)
Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel
quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 { FORMES QUADRATIQUES
4.Decomposition en carres d'une forme quadratique : methode de
GaussSoientEun espace vectoriel de dimensionnet (e1;:::;en) une base deE. Six2E, on note (x1;:::;xn) ses coordonnees dans la base (e1;:::;en). Soitqune forme quadratique non nulle denie surE. Pour toutx2E, on a q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X 1i ijxixj: Proposition 22 {Il existenformes lineaires (`1;:::;`n) denies surElineairement independantesetnreels1;:::;ntels que, pour toutx2E, q(x) =nX i=1 i`i(x)2:Demonstration :par recurrence surn. Sin= 1, le resultat est evident. Supposons que toute forme quadratique den1variables s'ecrit comme la somme de carres de formes lineaires independantes. 1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.
Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m 1jx1xj+R(x2;:::;xn)
ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m 1jx1xj;
fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar
8y2E; 'x(y) ='(x;y)
8x2E; 'y(x) ='(x;y)
NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associeeest non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il
existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0.Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant
une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0.Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)
Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetriqueassociee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont
proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite.Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).
Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.
Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Ilexiste donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire
symetrique associee a une forme quadratique positive est continue.Theoreme 21 {(Minkowski)
Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel
quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 {FORMES QUADRATIQUES
4.Decomposition en carres d'une forme quadratique : methode de
GaussSoientEun espace vectoriel de dimensionnet (e1;:::;en) une base deE. Six2E, on note (x1;:::;xn) ses coordonnees dans la base (e1;:::;en). Soitqune forme quadratique non nulle denie surE. Pour toutx2E, on a q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X1i ijxixj: Proposition 22 {Il existenformes lineaires (`1;:::;`n) denies surElineairement independantesetnreels1;:::;ntels que, pour toutx2E, q(x) =nX i=1 i`i(x)2:Demonstration :par recurrence surn. Sin= 1, le resultat est evident. Supposons que toute forme quadratique den1variables s'ecrit comme la somme de carres de formes lineaires independantes. 1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.
Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m 1jx1xj+R(x2;:::;xn)
ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m 1jx1xj;
fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.
Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m1jx1xj+R(x2;:::;xn)
ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m1jx1xj;
fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Utilisation du logiciel de cartographie BaseCamp de GARMIN
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