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Cinquième partie

ÉLECTROMAGNÉTISME

3

TABLE DES MATIÈRES

VÉLECTROMAGNÉTISME3

1 ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE9

1.1CHAMP ÉLECTROSTATIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.1Notions générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.2Répartition de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.3Complément mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.1.4Loi de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.1.5Le Champ électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.1.5.1Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle. . . .15

1.1.5.2Champ électrostatique crée par un ensemble de charges ponctuelles17

1.1.5.3Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges19

1.1.6Lignes de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1.2LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

1.2.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

1.2.2Cas d"une charge ponctuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.2.3Relation locale entre le potentiel et le champ. . . . . . . . . . . . . .30

1.2.3.1L"opérateur gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.2.3.2L"expression du gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.2.3.3Relation entre le champ et le potentiel. . . . . . . . . . . . .32

1.2.3.4Surfaces équipotentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

1.2.4Potentiel crée par une distribution de charges. . . . . . . . . . . . . .32

1.3ÉNERGIE POTENTIELLE D"INTERACTION ÉLECTROSTATIQUE. . . . . . .33

1.3.1Énergie potentielle d"une charge placée dans un champs électrostatique33

1.3.2Énergie potentielle d"interaction entre deux charges ponctuelles. . .34

1.4SYMÉTRIE ET INVARIANCE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

1.4.1Symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

1.4.2Invariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1.5THÉORÈME DE GAUSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1.5.1Flux du champ électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1.5.2Énoncé du théorème de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

1.6APPLICATIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

1.6.1Fil infini chargé uniformément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

5

PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES

1.6.2Cylindre infini chargé uniformément en surface. . . . . . . . . . . . .39

1.6.3Cylindre infini chargé uniformément en volume. . . . . . . . . . . . .41

1.6.4Sphère uniformément chargée en volume. . . . . . . . . . . . . . . .43

1.6.5Sphère uniformément chargée en surface. . . . . . . . . . . . . . . .44

1.6.6Plan infini uniformément chargée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

1.7Analogie électromécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

1.7.1Analogie Electrique/mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

1.7.2Théorème de Gauss en mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

1.7.3Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

1.8LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

1.8.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

1.8.2Le potentiel électrostatique crée par un dipôle dans le cadrede l"approximation dipolaire.Surface

1.8.2.1Le potentiel électrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

1.8.2.2Surfaces équipotentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

1.8.3Le champ électrostatique crée par un dipôle dans le cadre de l"approximation dipolaire.Lignes

1.8.3.1L"expression du champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

1.8.3.2Les lignes de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

1.8.4Aspect énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

1.8.4.1Actions subies par un dipole électrostatique rigide. . . . . .60

1.8.4.2l"énergie potentielle d"un dipole électrostatique rigide. . . .60

1.9LE CONDENSATEUR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

1.9.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

1.9.2Le condensateur plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

1.9.3Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

1.9.3.1Condensateur plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

1.9.3.2Condensateur cylindrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

2 MAGNÉTOSTATIQUE69

2.1 Champ et potentiel magnétostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.1.1Distribution de courant électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.1.1.1Vecteur densité de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.1.1.2Équation locale de la conservation de la charge. . . . . . . .72

2.1.1.3Formulation locale de la loi d"Ohm. . . . . . . . . . . . . . . .73

2.1.2Champ magnétostatique : loi de Biot et Savart. . . . . . . . . . . . . .74

2.1.3Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

2.1.3.1Segment traversé par un courant. . . . . . . . . . . . . . . .75

2.1.3.2Champ magnétique sur l"axe d"une spire circulaire. . . . . .76

2.1.3.3Champ magnétique à l"intérieur d"un solénoïde. . . . . . . .77

2.1.4Propriétés du champ magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

2.1.4.1Conservation du flux du champ magnétique. . . . . . . . . .79

2.1.4.2Théorème d"Ampere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

2.1.5Autres Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

2.1.5.1Champ magnétique d"un fil infini traversé par un courant I. .80

2.1.5.2Solénoïde infini traversé par un courant I. . . . . . . . . . . .80

2.1.5.3Cylindre infini traversé par un courant I. . . . . . . . . . . .82

2.1.5.4Ruban infini traversé par un courant surfacique. . . . . . . .82

2.1.5.5Nappe infinie traversé par un courant surfacique. . . . . . .83

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2.1.5.6Bobines de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

2.1.6Relation de passage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

2.1.6.1La composante normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

2.1.6.2La composante tangentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

2.1.7Potentiel vecteur. Forme locale du théorème d"Ampere. . . . . . . .89

2.1.7.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

2.1.7.2Forme locale du théorème d"Ampere. . . . . . . . . . . . . . .91

2.1.8Équation de Poisson de la magnétostatique. . . . . . . . . . . . . . .92

2.1.9Applications (énoncé voir TD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

2.2Dipôle magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

2.2.1Définition. Moment magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

2.2.2L"expression du potentiel vecteur dans l"approximation dipolaire. . .98

2.2.3Le champ magnétique dans l"approximation dipolaire. . . . . . . . .99

2.2.4Actions d"un champ magnétique sur un dipôle. . . . . . . . . . . . . .101

2.2.4.1Résultante des forces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

2.2.4.2Le moment résultant des forces de Laplace. . . . . . . . . . .101

2.2.4.3Énergie potentielle d"interaction d"un dipôle rigide placé dans un champ extérieur

2.2.4.4Actions subies par un dipôle magnétique dans un champ extérieur103

2.2.4.5Comparaison entre les dipoles électrostatique et magnétique103

2.3Le champ magnétique terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

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CHAPITRE1

ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE

On s"interesse aux propriétés physiques des charges immobiles dans un référentielR supposé galiléen, placées dans le vide. 1.1

CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

1.1.1Notions générales

?On classe les corps en deux catégories : d"un atome à un autre. les métaux, les éléctrolytes,···

Exemple

le bois, le verre, le papier, le plastique···

Exemple

?L"électron est une particule "élementaire» de chargeq=-e=-1.6×10-19coulomb ?Toute chargeqest un multiple entier de la charge de l"électron : On dit que la charge est quantifiée|q|=Ne ?La charge est une grandeur extensive , ne dépend pas du référentiel, pour un système isolé, la charge est conservée. ?Une charge élémentairedqoccupant dans l"espace un volume élémentairedτsera considérée comme ponctuelle si les dimensions dedτsont très négligeables devant une distance caractéristique du système, autrement dit le point P où se situe la chargedqest vu du point M situé à grande distance.((dτ)1/3?PM)

P(dτ,dq)PM=rM?

9

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

dqponctuelle=?3⎷dτ?r 1.1.2

Répartition de charge

Soitqune charge occupant un volume (V) :

P(dτ,dq)

(V,q) Soitdqune charge élémentaire occupant le volumedτcentré en P On appelle densité volumique de charge exprimé en (Cm-3)la grandeur

ρ(P)=dq(P)dτ(P)=?q=?

V

ρ(P)dτ

DéfinitionDensité volumique de charge

?Sphère de rayonRchargée uniformément en volume (ρ=cte) dq=ρdτ=?q=43ρπR3 ?cylindre de rayonRet de hauteurhchargée uniformément en volume (ρ=cte) dq=ρdτ=?q=ρπR2h ?Cube d"arrêteachargée uniformément en volume (ρ=cte) dq=ρdτ=?q=ρa3

Exemples

Lorsque une dimension est très négligeable devant les deux autres, on définit la densité surfacique de charge(σ) On appelle densité surfacique de charge exprimé en (Cm-2)la grandeur

σ(P)=dq(P)dS(P)=?q=?

σ(P)dS

DéfinitionDensité surfacique de charge

20 juin 2018Page -10- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

?Sphère de rayonRchargée uniformément en surface (σ=cte) dq=σdS=?q=4πσR2 ?cylindre de rayonRet de hauteurhchargée uniformément en en surface laté- rale (

σ=cte)

dq=σdS=?q=2σπRh ?Disque de rayonRchargé uniformément dq=σdS=?q=σπR2

Exemples

Si

deux dimensions sont négligeables devant la troisième alors on définit la densité linéique

On appelle densité linéique de charge exprimé en (Cm-1)la grandeur

λ(P)=dq(P)d?(P)=?q=?

λ(P)d?

DéfinitionDensité linéique de charge

?segment AB de longueur? dq=λd?=?q=λ?

Exemple

Pour une distribution discrète de charge différentes; Avecqila charge d"une espèce et

Nison nombre, occupant un volumeV

Remarque

Mi(qi)

Soitqla charge totale du système, donc :

q=n i=1q iNi=?ρ=qV=n i=1n iqi

20 juin 2018Page -11- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

Avecn?la densité particulaire , qui représente le nombre de particules par unité de volume n?=NV

1.1.3Complément mathématique

On rappelle que :

?Vecteur position et déplacement élémentaire :

OM----→dOM

Coordonnées cartésiennesx-→ex+y-→ey+z-→ezdx-→ex+dy-→ey+dz-→ez Coordonnées Cylindriquesr-→er+z-→ezr-→er+rdθ-→eθ+dz-→ez Coordonnées sphériquesr-→erdr-→er+rdθ-→eθ+rsinθd?-→e? ?Surface élémentaire :

Soit-→aet-→bdeux vecteurs :

-→a-→ bS la surfaceSdélimitée par le parallélogramme formé par-→aet-→best

S=?-→a?-→b?

On oriente la surfaceSpar un vecteur unitaire-→ndéfini par -→n=-→a?-→b ?-→a?-→b?

Il en résulte que

•Surface élémentaire en coordonnées cartésiennes :

20 juin 2018Page -12- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

•Surface élémentaire en coordonnées cylindriques : Le cylindre présente deux surfaces de bases (A et B)et une surfacelatérale A B -Surface de base :-→dSbase=±rdrdθ-→ez -Surface latérale :-→dSL=rdθ-→eθ?dz-→ez=?-→dSL=rdθdz-→er •Surface élémentaire en coordonnées sphériques : A

Pour une sphèrer=ctedonc

Pour les surfaces fermées (en 3D : délimitant un volume) on oriente toujours la normale-→nvers l"extérieur

Remarque

?On rappelle que la surface :

•de base d"un cylindre de rayonRestSB=πR2

•latérale d"un cylindre de rayonRet de hauteurhestSL=2πRh

•d"une sphère de rayonRestS=4πR2

?Volume élémentaire : On rappelle que le volume délimité par trois vecteurs vaut

V=(-→a?-→b).-→c

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PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

•volume élémentaire en coordonnées cartésiennes : dτ=dxdydz •volume élémentaire en coordonnées cylindriques : dτ=rdrdθdz=? V(cylindre)=πR2h •volume élémentaire en coordonnées sphériques : dτ=r2sinθdrdθd?=? V(sphère)=43πR3

1.1.4Loi de Coulomb

Soit deux chargesponctuellesplacées dans le videq1au point P etq2au point M distant der.

P(q1)M(q2)-→u

Chacune des deux charges exerce sur l"autre une force électrostatique donnée par la loi de Coulomb: -→F1/2=--→F2/1=1

4πεoq

1q2PM3--→PM

Si on pose

-→u=--→PM

PMet r=?--→PM?

alors la loi de Coulomb devient -→F1/2=--→F2/1=1

4πεoq

1q2PM2-→u=14πεoq

1q2r2-→u

Avec :

•εo: permittivité diélectrique du vide sa valeur est o=8.854187817×10-12Fm-1 •1

4πεo=9.109(S.I)•Siq1q2>0=?force repulsive.

•Siq1q2<0=?force attractive.

Remarques

20 juin 2018Page -14- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

?Dans un milieu linéaire homogène et isotrope la loi de Coulomb reste valable à condition de remplacerεoparε=εoεr rest dite permittivité diélectrique relative. ?Analogie entre les interactions coulombienne et gravitationnelle : interactions coulombienneinteractions gravitationnelle

Répulsive/attractiveattractive

1

4πεoq

1q2r2-→u-Gm1m2r2-→u

qm 1

4πεo-G

?Comparaison entre les forces gravitationnelle et électrostatique dans l"atome d"hydro- gène : On donne :me=9.11×10-31kg;e=1.6×10-19C;G=6.67×10-11Nm2kg-2 F e

Fg?4.1042

On retient que la force gravitationnelle est très négligeable devant la force électrosta- tique. 1.1.5

Le Champ électrostatique

1.1.5.1Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle

Soit une chargeqplacé en O et M un point quelconque de l"espace différent de O.

Plaçons une chargeq?en M

O(q)-→

uN-→ uM M(q?) N(q")

La loi de Coulomb s"écrit :

FO→M=1

4πεoqq

?r2M-→ uM=q?-→E(M)

20 juin 2018Page -15- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

de même entreqetq"la loi de Coulomb

FO→N=1

4πεoqq"r2N-→

uN=q"-→E(N) Eest appelé le champ électrostatique créé par la charge ponctuelleqplacé au point O au point considéré On appelle champ électrostatique une région de l"espace ou une particule char- gée est soumise à la force de Coulomb -→E(M)=1

DéfinitionChamp électrostatique

Et Par Suite Si Une ChargeQest placée en M, elle subit la force-→Ftelle que -→F=Q-→E(M)=1

4πεoQqr2-→er

Remarques

?Le champ électrostatique-→E(M)créé par une charge ponctuelle n"est pas défini à l"origine c"est à dire pourr=0 ?Le sens du champ-→E(M)dépend du signe de la chargeqsource de-→E: ?Pourq>0,-→Eprésente le sens de-→er:-→E(M)est un champ divergent. q>0 ?Pourq<0,-→Eprésente le sens opposé de-→er:-→E(M)est un champ convergent. q<0

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PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

1.1.5.2Champ électrostatique crée par un ensemble de charges ponctuelles

Soit une distribution de charges ponctuelleqiplacées aux pointsOi, etqune charge ponctuelle placé au pointM La loi de Coulomb entre la chargeqiplacé enOietqplacé enMs"écrit : Fi=1

4πεoq

iqr2i-→ ui=q-→Ei(M) La résultante des forces appliquées sur la chargeqvaut -→F=i=n? i=1-→

Fi=?-→F=i=n?

i=11

4πεoqq

ir2i-→ ui Si on pose-→F=q-→E(M)alors le champ résultant est -→E(M)=i=n? i=1-→

Ei(M)=?-→E(M)=i=n?

i=11

4πεoq

ir2i-→ ui On dit que le champ résultant-→E(M)vérifie le principe de superposition . Déterminer le champ électrostatique créé par un doublet(qA,qB) placé en A( -a,0,0) et B(a,0,0) au point M(0,y,0) dans les deux cas suivants : 1. qA=qB=q>0

2.qA=-qB=q>0

3. Conclure

ActivitésChamp d"un doublet

1. Champ créé par le doublet (q,q)

A(q) B(q)xOα αα α

yy M

EA-→EB

20 juin 2018Page -17- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

On a :-→E(M)=-→EA(M)+-→EB(M)ainsi :

Acosα

E

Asinα

0-→

E

Bsinα

0

Comme (ABM) triangle isocèle alorsAM=BM=?

a2+y2ce qui donne E

A=EB=1

4πεoqy(a2+y2)3/2

Par conséquent

-→E(M)=1

4πεoqy(a2+y2)3/2-→e

y Soit le système formé par la distribution de charge et le pont M •Le plan (xoy) est un plan de symétrie passant par le point M. •Le plan (xoz) est un plan de symétrie passant par le point M. Il en résulte que le champ électrostatique appartient à l"intersection des plans de symétrie -→E(M)? ∩Πs

Remarque-→Eet les plans de symétrie

2. Champ créé par le doublet (q,-q)

A(q) B(-q)xOα αα

yy M EA EB

On a :

-→E(M)=-→EA(M)+-→EB(M)ainsi :

Acosα

E

Asinα

0-→

Bcosα

-EBsinα 0 0

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PCSI-LYDEX1.1.CHAMP ÉLECTROSTATIQUE

Comme (ABM) triangle isocèle alorsAM=BM=?a2+y2ce qui donne E

A=EB=1

4πεoqa(a2+y2)3/2

Par conséquent

-→E(M)=1

4πεoqa(a2+y2)3/2-→e

x Soit le système formé par la distribution de charge et le point M •Le plan (xoy) est un plan de symétrie passant par le point M. •Le plan (xoz) est un plan d"anti-symétrie passant par le point M. Il en résulte que le champ électrostatique appartient à l"intersection des plans de symétrie perpendiculaire au plan d"antisymétrie -→E(M)? ∩Πs-→E(M)?ΠA •Si M est un centre de symétrie alors-→E(M)=-→0

Remarque-→Eet les plans de symétrie

1.1.5.3Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges

Pour une distribution continue de charge, on subdivise le volumeVen des volumes élémentairesdτcentré en P, portant la charge élémentairedqavec3⎷ dτ?PMet parquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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