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Année universitaire 2016/2017.

U.E. 2P021

TD n o13-14. Équations de Maxwell

Éléments de correction

JohannesBraathen(LPTHE), CédricEnesa(LKB), AndreaMogini(LPNHE)

Exercice IV. Onde plane, notation complexe

Soient

?A(?r,t) =?A0ei(ωt-?k·?r)etV(?r,t) =V0ei(ωt-?k·?r)les potentiels complexes d"une onde plane de

pulsationωet vecteur d"onde?k.

1. Établir le rotationnel et la divergence de

?Aet le gradient et la dérivé temporelle deV.On a : ? ·?A=-i(kxAx+kyAy+kzAz) =-i?k·?A, ? ??A=? xêyêz x∂y∂z A xAyAz? (-ikyAz+ikzAy -ikzAx+ikxAz -ikxAy+ikyAx) )=-i?k??A, ?V=( xV yV zV) (-ikxV -ikyV -ikzV) )=-i?kV, tV=iωV.2. Écrire la jauge de Lorentz en termes de

?ketωet en déduire que?E??B.On applique les résultats précédents à la jauge de Lorentz et on utilise la relation de dispersion

pour l"onde plane (ck=ω) : ? ·?A+1c

2∂tV= 0

?k·?A+kc V= 0. Par ailleurs, et indépendamment de la jauge choisie :

B=?? ??A=-i?k??A,

E=-??V-∂t?A=-i(?kV+ω?A)

?E·?B= 0 ?E??B.1

Exercice V. Onde dans un conducteur ohmique

3. Résoudre l"équation∂tρ(?r,t)+γ?-10ρ(?r,t) = 0dans l"hypothèse d"une distribution de chargesρ0(?r)

pourt= 0. Quel est le temps caractéristique au delà duquel le conducteur est localement neutre?On a :

tρ(?r,t) =-γ?

0ρ(?r,t)

?ρ(?r,t) =ρ0(?r)e-γt? 0. Le temps caractéristique du système est doncτ=?0γ

devant à celui des charges la pulsation de l"onde satisfait à la conditionω?0γ-1?1.On a :

0??j? ?1c

2∂t??E?

?μ0γE?μ0?0ωE

ω?0γ

?1.Exercice VI. Potentiels

1. Rappeler les relations liant le potentiel scalaireVet le potentiel vectoriel?Aaux champs?Eet?B.?

E=-??V-∂t?A,

B=?? ??A.2. Montrer que la transformationV→V?=V-∂tf,?A→?A?=?A+??flaisse les champs

électrique et magnétique invariants.?

B?=?? ??A?=?? ??A+?? ???f=?? ??A=?B.3. Montrer que si les potentiels satisfont la condition dejauge de Lorenzle champ scalairefest

solution d"une équation d"onde.La condition dejauge de Lorenzs"écrit : ? ·?A+1c

2∂tV= 0.

En imposant la condition de jauge à (

?A,V) et (?A?,V?) on a : ? ·?A?+c-2∂tV?= 0 ?? ·(?A+??f) +c-2∂t(V-∂tf) ?? ·?A+c-2∂tV+Δf-c-2∂2tf =Δf-c-2∂2tf. Le champ scalairefest bien solution d"une équation d"onde.2

4. En utilisant l"identité opératorielle

???(?????) =??(??·??)-Δ??et en imposant lajauge de Lorenz établir les équations vérifiées par les potentiels dans le vide.On a : ? ?(?? ??A) =?? ??B 1c

2∂t?E

1c

2∂t(-??V-∂t?A)

??(-1c

2∂tV)-1c

2∂2t?A

??(?? ·?A)-1c

2∂2t?A

? ?(?? ??A) =??(?? ·?A)-Δ?A ?Δ?A-1c

2∂2t?A= 0.

Par ailleurs,

? ·?E=?? ·(-??V-∂t?A) =-ΔV-∂t(?? ·?A) =-ΔV-∂t(-1c

2∂tV)

=-ΔV+∂t(1c

2∂tV)

? ·?E= 0 ?ΔV-∂t(1c

2∂tV) = 0.Exercice VII. Relation de dispersion

On considère le champ électrique

?E=E0eαt-βxêzdans le vide (αetβ?C).

1. Calculer la divergence et le rotationnel de ce champ.On a :

? ·?E=∂zEz= 0, ? ??E=? xêyêz x∂y∂z E xEyEz? ??????=-∂xEzêy=βEzêy.2. En déduire ?B. Calculer ses rotationnel et divergence. 3

De l"équation sur le rotationnel du champ électrique et du point précédent on déduit :

? ??E=βEzêy=-∂t?B ?B=-βα

Ezêy.

Où le terme indépendent du temps dû à l"intégration endtdoit être nul pour que la moyenne

temporelle du champ dans le vide soit elle aussi nulle. On peut alors calculer : ? ·?B=∂yBy= 0, ? ??B=? xêyêz x∂y∂z B xByBz? ??????=∂xByêz=β2α

?E.3. Quelle est donc la relation entreαetβ?On ajoute aux informations des points précédents celle obtenue de l"équation de

Maxwell-Faraday :

? ??B=β2α ?E=1c

2∂t?E=αc

2?E?α2= (cβ)2.4. Cette relation est dite relation de dispersion. Que valentαetβpour l"onde plane? En déduire

la relation de dispersion dans ce cas particulier.Pour l"onde plane :

α=iω,

β=ik.

?ω=ck.4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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