Cours et Exercices dElectromagnétisme et Ondes pour les Master
Il est présenté sous forme de cours détaillé avec des exercices corrigés et Les équations de Maxwell sont les postulats de base de l'électromagnétisme.
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5. INTERPRETATION PHYSIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL. 47. Exercices. 49. Corrigés. 52. CHAPITRE III : PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES.
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Année universitaire 2016/2017.
U.E. 2P021
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JohannesBraathen(LPTHE), CédricEnesa(LKB), AndreaMogini(LPNHE)Exercice IV. Onde plane, notation complexe
Soient
?A(?r,t) =?A0ei(ωt-?k·?r)etV(?r,t) =V0ei(ωt-?k·?r)les potentiels complexes d"une onde plane de
pulsationωet vecteur d"onde?k.1. Établir le rotationnel et la divergence de
?Aet le gradient et la dérivé temporelle deV.On a : ? ·?A=-i(kxAx+kyAy+kzAz) =-i?k·?A, ? ??A=? xêyêz x∂y∂z A xAyAz? (-ikyAz+ikzAy -ikzAx+ikxAz -ikxAy+ikyAx) )=-i?k??A, ?V=( xV yV zV) (-ikxV -ikyV -ikzV) )=-i?kV, tV=iωV.2. Écrire la jauge de Lorentz en termes de?ketωet en déduire que?E??B.On applique les résultats précédents à la jauge de Lorentz et on utilise la relation de dispersion
pour l"onde plane (ck=ω) : ? ·?A+1c2∂tV= 0
?k·?A+kc V= 0. Par ailleurs, et indépendamment de la jauge choisie :B=?? ??A=-i?k??A,
E=-??V-∂t?A=-i(?kV+ω?A)
?E·?B= 0 ?E??B.1Exercice V. Onde dans un conducteur ohmique
3. Résoudre l"équation∂tρ(?r,t)+γ?-10ρ(?r,t) = 0dans l"hypothèse d"une distribution de chargesρ0(?r)
pourt= 0. Quel est le temps caractéristique au delà duquel le conducteur est localement neutre?On a :
tρ(?r,t) =-γ?0ρ(?r,t)
?ρ(?r,t) =ρ0(?r)e-γt? 0. Le temps caractéristique du système est doncτ=?0γdevant à celui des charges la pulsation de l"onde satisfait à la conditionω?0γ-1?1.On a :
0??j? ?1c
2∂t??E?
?μ0γE?μ0?0ωEω?0γ
?1.Exercice VI. Potentiels1. Rappeler les relations liant le potentiel scalaireVet le potentiel vectoriel?Aaux champs?Eet?B.?
E=-??V-∂t?A,
B=?? ??A.2. Montrer que la transformationV→V?=V-∂tf,?A→?A?=?A+??flaisse les champsélectrique et magnétique invariants.?
B?=?? ??A?=?? ??A+?? ???f=?? ??A=?B.3. Montrer que si les potentiels satisfont la condition dejauge de Lorenzle champ scalairefest
solution d"une équation d"onde.La condition dejauge de Lorenzs"écrit : ? ·?A+1c2∂tV= 0.
En imposant la condition de jauge à (
?A,V) et (?A?,V?) on a : ? ·?A?+c-2∂tV?= 0 ?? ·(?A+??f) +c-2∂t(V-∂tf) ?? ·?A+c-2∂tV+Δf-c-2∂2tf =Δf-c-2∂2tf. Le champ scalairefest bien solution d"une équation d"onde.24. En utilisant l"identité opératorielle
???(?????) =??(??·??)-Δ??et en imposant lajauge de Lorenz établir les équations vérifiées par les potentiels dans le vide.On a : ? ?(?? ??A) =?? ??B 1c2∂t?E
1c2∂t(-??V-∂t?A)
??(-1c2∂tV)-1c
2∂2t?A
??(?? ·?A)-1c2∂2t?A
? ?(?? ??A) =??(?? ·?A)-Δ?A ?Δ?A-1c2∂2t?A= 0.
Par ailleurs,
? ·?E=?? ·(-??V-∂t?A) =-ΔV-∂t(?? ·?A) =-ΔV-∂t(-1c2∂tV)
=-ΔV+∂t(1c2∂tV)
? ·?E= 0 ?ΔV-∂t(1c2∂tV) = 0.Exercice VII. Relation de dispersion
On considère le champ électrique
?E=E0eαt-βxêzdans le vide (αetβ?C).1. Calculer la divergence et le rotationnel de ce champ.On a :
? ·?E=∂zEz= 0, ? ??E=? xêyêz x∂y∂z E xEyEz? ??????=-∂xEzêy=βEzêy.2. En déduire ?B. Calculer ses rotationnel et divergence. 3De l"équation sur le rotationnel du champ électrique et du point précédent on déduit :
? ??E=βEzêy=-∂t?B ?B=-βαEzêy.
Où le terme indépendent du temps dû à l"intégration endtdoit être nul pour que la moyenne
temporelle du champ dans le vide soit elle aussi nulle. On peut alors calculer : ? ·?B=∂yBy= 0, ? ??B=? xêyêz x∂y∂z B xByBz? ??????=∂xByêz=β2α?E.3. Quelle est donc la relation entreαetβ?On ajoute aux informations des points précédents celle obtenue de l"équation de
Maxwell-Faraday :
? ??B=β2α ?E=1c2∂t?E=αc
2?E?α2= (cβ)2.4. Cette relation est dite relation de dispersion. Que valentαetβpour l"onde plane? En déduire
la relation de dispersion dans ce cas particulier.Pour l"onde plane :α=iω,
β=ik.
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