Cours et Exercices dElectromagnétisme et Ondes pour les Master
Il est présenté sous forme de cours détaillé avec des exercices corrigés et Les équations de Maxwell sont les postulats de base de l'électromagnétisme.
POLYCOPIE DE C EXERCICES C POLYCOPIE DE COURS AVEC
5. INTERPRETATION PHYSIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL. 47. Exercices. 49. Corrigés. 52. CHAPITRE III : PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES.
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Par ailleurs et indépendamment de la jauge choisie : B = ? ? A = ?i k ? A
Electromagnétisme
Jan 31 2018 Exercices corrigés. Analyse vectorielle ... Réalisation des exercices ... Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide.
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On donne les équations de Maxwell que doivent vérifier respectivement le vecteur champ électrique E et le vecteur champ magnétique B en notant ? la densité
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Chapitre 3. Onde électromagnétique dans le vide. 3.1 Equation de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. 1. Rappeler les équations de maxwell.
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équations de Maxwell dont une conséquence importante est l'existence d'ondes Électromagnétisme re Partie – exercices et problèmes corrigés;.
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3.2 Equations différentielles et intégrales de l'électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 3.2.1 Forme locale du théorème de Gauss .
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1 4??0 q z2 ?pzq o`u ?pzq“`1 si z ? 0 et ?pzq“´1 si z ? 0; q “ 2?a? est la charge totale de la spire Comme attendu `a tr`es grande distance la spire est
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3 1 Equation de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide 1 Rappeler les équations de maxwell 2 Simplifier ces équations dans le cas du vide 3
Année universitaire 2016/2017.
U.E. 2P021
TD n o13-14. Équations de MaxwellÉléments de correction
JohannesBraathen(LPTHE), CédricEnesa(LKB), AndreaMogini(LPNHE)Exercice IV. Onde plane, notation complexe
Soient
?A(?r,t) =?A0ei(ωt-?k·?r)etV(?r,t) =V0ei(ωt-?k·?r)les potentiels complexes d"une onde plane de
pulsationωet vecteur d"onde?k.1. Établir le rotationnel et la divergence de
?Aet le gradient et la dérivé temporelle deV.On a : ? ·?A=-i(kxAx+kyAy+kzAz) =-i?k·?A, ? ??A=? xêyêz x∂y∂z A xAyAz? (-ikyAz+ikzAy -ikzAx+ikxAz -ikxAy+ikyAx) )=-i?k??A, ?V=( xV yV zV) (-ikxV -ikyV -ikzV) )=-i?kV, tV=iωV.2. Écrire la jauge de Lorentz en termes de?ketωet en déduire que?E??B.On applique les résultats précédents à la jauge de Lorentz et on utilise la relation de dispersion
pour l"onde plane (ck=ω) : ? ·?A+1c2∂tV= 0
?k·?A+kc V= 0. Par ailleurs, et indépendamment de la jauge choisie :B=?? ??A=-i?k??A,
E=-??V-∂t?A=-i(?kV+ω?A)
?E·?B= 0 ?E??B.1Exercice V. Onde dans un conducteur ohmique
3. Résoudre l"équation∂tρ(?r,t)+γ?-10ρ(?r,t) = 0dans l"hypothèse d"une distribution de chargesρ0(?r)
pourt= 0. Quel est le temps caractéristique au delà duquel le conducteur est localement neutre?On a :
tρ(?r,t) =-γ?0ρ(?r,t)
?ρ(?r,t) =ρ0(?r)e-γt? 0. Le temps caractéristique du système est doncτ=?0γdevant à celui des charges la pulsation de l"onde satisfait à la conditionω?0γ-1?1.On a :
0??j? ?1c
2∂t??E?
?μ0γE?μ0?0ωEω?0γ
?1.Exercice VI. Potentiels1. Rappeler les relations liant le potentiel scalaireVet le potentiel vectoriel?Aaux champs?Eet?B.?
E=-??V-∂t?A,
B=?? ??A.2. Montrer que la transformationV→V?=V-∂tf,?A→?A?=?A+??flaisse les champsélectrique et magnétique invariants.?
B?=?? ??A?=?? ??A+?? ???f=?? ??A=?B.3. Montrer que si les potentiels satisfont la condition dejauge de Lorenzle champ scalairefest
solution d"une équation d"onde.La condition dejauge de Lorenzs"écrit : ? ·?A+1c2∂tV= 0.
En imposant la condition de jauge à (
?A,V) et (?A?,V?) on a : ? ·?A?+c-2∂tV?= 0 ?? ·(?A+??f) +c-2∂t(V-∂tf) ?? ·?A+c-2∂tV+Δf-c-2∂2tf =Δf-c-2∂2tf. Le champ scalairefest bien solution d"une équation d"onde.24. En utilisant l"identité opératorielle
???(?????) =??(??·??)-Δ??et en imposant lajauge de Lorenz établir les équations vérifiées par les potentiels dans le vide.On a : ? ?(?? ??A) =?? ??B 1c2∂t?E
1c2∂t(-??V-∂t?A)
??(-1c2∂tV)-1c
2∂2t?A
??(?? ·?A)-1c2∂2t?A
? ?(?? ??A) =??(?? ·?A)-Δ?A ?Δ?A-1c2∂2t?A= 0.
Par ailleurs,
? ·?E=?? ·(-??V-∂t?A) =-ΔV-∂t(?? ·?A) =-ΔV-∂t(-1c2∂tV)
=-ΔV+∂t(1c2∂tV)
? ·?E= 0 ?ΔV-∂t(1c2∂tV) = 0.Exercice VII. Relation de dispersion
On considère le champ électrique
?E=E0eαt-βxêzdans le vide (αetβ?C).1. Calculer la divergence et le rotationnel de ce champ.On a :
? ·?E=∂zEz= 0, ? ??E=? xêyêz x∂y∂z E xEyEz? ??????=-∂xEzêy=βEzêy.2. En déduire ?B. Calculer ses rotationnel et divergence. 3De l"équation sur le rotationnel du champ électrique et du point précédent on déduit :
? ??E=βEzêy=-∂t?B ?B=-βαEzêy.
Où le terme indépendent du temps dû à l"intégration endtdoit être nul pour que la moyenne
temporelle du champ dans le vide soit elle aussi nulle. On peut alors calculer : ? ·?B=∂yBy= 0, ? ??B=? xêyêz x∂y∂z B xByBz? ??????=∂xByêz=β2α?E.3. Quelle est donc la relation entreαetβ?On ajoute aux informations des points précédents celle obtenue de l"équation de
Maxwell-Faraday :
? ??B=β2α ?E=1c2∂t?E=αc
2?E?α2= (cβ)2.4. Cette relation est dite relation de dispersion. Que valentαetβpour l"onde plane? En déduire
la relation de dispersion dans ce cas particulier.Pour l"onde plane :α=iω,
β=ik.
?ω=ck.4quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] courant induit dans une bobine
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