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Exercices d'electromagnetisme

PC

Philippe Ribiere

Annee Scolaire 2013-2014

Ph. Ribiere PC 2013/2014 2

Lycee Marceau Chartres'http://ribiere.regit.org/

Chapitre 1

Equations de Maxwell.

1.1 Bilan energetique de la charge d'un condensateur.

Un condensateur est constitue de deux disques metallique de rayon a, distante de e. La premiere armature enz= 0 porte une charge =q(t) et la seconde enz=eporte une chargeq(t). La capacite de ce condensateur estC=0Se (comme nous l'avons montre en electrostatique). Initialement decharge, ce condensateur est mis en serie d'un generateur de Thevenin reel de f.e.m.e0 et de resistance interne r. On neglige les eets de bords (tout se passe comme si le condensateur etait inni) et les champs electromagnetiques sont de la forme : !E=E(t)~uzpourr < aet nul a l'exterieur !B=B(r;t)~u

1. En utilisant les lois de l'electrocinetique (valable dans l'approximation des regimes quasi sta-

tionnaires), etudier la tensionuC(t) et montrer que l'enegie emmagasinee par le condensateur

C estEC=12

Ce20.

2. En vous servant du fait que le champ electrique exterieur au condensateur est nul, montrer par

le theoreme de Gauss que le champ electrique!E=E(t)~uz=q(t)

0a2~uz

3. Calculer par le theoreme d'Ampere generalise le champ magnetique

!B=B(r;t)~u=0r_q(t)20a2~u

4. En deduire le vecteur de Poynting et la puissance recue par le champ electromagnetique. Quelle

energie est donc emmagasinee dans le condensateur lors de sa charge?

5. Calculer la densite d'energie electromagnetique. Faire alors le bilan d'energie electromagnetique

totale entre l'instant initial et t1.

Commentaire :

Un grand classique qui permet l'uutilisation du theoreme de Gauss et du theoreme d'Ampere generalise.

Il montre que l'energie stockee dans le condensatuer l'est sous forme d'energie electrique. Neanmoins

l'utilisation des lois de l'electrocinetique repose sur l'approximation des regimes quasi stationnaires or

l'exercice utilise le theoreme d'ampere generalise. 3

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1.2 Emission isotrope de charges.

Un element de matiere de centre 0 et de rayon a emete- par unite de temps de maniere isotrope a partir de l'instantt= 0. Ces electrons quittent la matiere avec un vitessev0. On neglige dans la

suite les interactions electromagnetiques entre les particules chargees, si bien que les e- sont consideres

comme isoles du point de vue mecanique.

1. Calculer la charge dq entre la sphere de rayon r et celle de rayon r+dr. En deduire que la charge

volumique est : (r;t) = 0 pourr > v0tet(r;t) =e4r2v0pourr < v0t et que la densite de courant electrique est j(r;t) =!0 pourr > v0tet!j(r;t) =e4r2~urpourr < v0t

2. Montrer alors le champ electrique dans tout l'espace est

E(r;t) =!0 pourr > v0tet!E(r;t) =e4r2(trc

)~urpourr < v0t Commenter sa forme. Montrer qu'il derive d'un potentiel.

3. Montrer qu'un champ magnetique nul associe au champ electrique ci-dessus satisfait aux

equations de Maxwell.

4. En deduire le vecteur de Poynting et la puissance transmise par le champ electromagnetique a

travers une sphere de rayon r.

5. Calculer la densite d'energie electromagnetiqueuem.

6. Calculer la puissance cedee par le champ electromagnetique aux porteurs de charges.

7. Mettre en relation les deux grandeurs energetiques precedentes. Commenter.

Commentaire :

Un extrait de concours. L'exercice ainsi pose donne beaucoup de resultats, en particulier la necessite

de distingerr < v0tetr > v0t. Le fait que le champ cede de l'energie aux porteurs de charge est neglige dans l'exercice puisque les e- sont consideres comme des points materiels isoles.

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Chapitre 2

Electromagnetisme dans l'ARQS,

Induction.

2.1 Inductance propre et induction mutuelle de bobine.

2.1.1 Etude d'une unique bobine.

Dans cette premiere partie, on s'interesse a une bobine de N spires, de longueur l, de rayon a, parcourue par un courant i(t) lentement variable.

1. Rappeler le champ magnetique dans la bobine en negligeant les eets de bord.

2. Calculer le

ux de ce champ magnetique a travers la bobine. Montrer que ce ux est pro- portionnel a i(t). Le coecient de propotionnalite entre et i est appelee L, coecient d'au- toinduction.

3. En deduire la fem induite dans la bobine par son propre champ magnetique.

4. Calculer l'energie magnetique relative a l'existence du champ magnetique et comparer a l'energie

de la bobine.

2.1.2 Etude du couplage entre deux bobines.

Dans cette partie, on s'interesse a deux bobines deN1etN2spires, de longueur l, de rayona, parcourue par des courantsi1(t) eti2(t). On suppose l'in uence totale entre les bobines, ce qui signie

que toutes les lignes de champ magnetique d'une bobine traversent la seconde. (Ceci est possible gr^ace

a un materiau qui canalise les lignes de champ).

1. Rappeler le champ magnetique total cree par les deux bobines en negligeant les eets de bord.

2. Calculer le

ux

1de ce champ magnetique a travers la bobine. Montrer que ce

ux est d'une part proportionnel ai1(t) et d'autre part ai2(t). Le coecient de propotionnalite entre et i

1est appelee L, coecient d'autoinduction et celui entre eti2est appele M, coecient

d'inductance mutuelle.

3. En deduire la fem induite dans la bobine 1.

5

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2.1.3 Une application : le transformateur.

Dans cette partie, la bobine 1, d'inductance propreL1et de resistance interneR1est alimentee par un generateur de tension idealee(t) =e0cos(!t). Cette bobine est couplee a une seconde d'inductance

propreL2et de resistance interneR2qui est elle fermee sur une resistante d'utilisationRu. Le couplage

entre les deux bobines est caracterise par le coecient d'inductance mutuelle M. Calculer les courants dans chacune des deux bobines.

Commentaire :

D'apres oraux. Cet exercice est un exercice de cours, sur la denition des inductances mutuelles et des

inductances propres. Le calcul est simple dans la mesure ou le champ magnetique d'un solenode est

connu. La derniere partie sur le transformateur est un classique mais auncune connaissance n'est exi-

gible dans le domaine. Les lignes de champs magnetiques sont canalisees par un milieu ferromagnetique

doux qui est feuillete pour eviter l'echauement par courant de Foucault et mis sous forme d'un cadre qui traverse les deux bobines.

2.2 In

uence d'une spire sur une autre spire. Deux spires de m^eme rayon a sont placee sur un axe z. La spire 1 xe, situee en z=0 est parcourue par un couranti1(t). La spire 2, situee enz= 10a, est elle parcourue par un courati2(t).

1. Calculer le champ magnetique cree par une spire un point M de son axe.

2. En deduire le

ux magnetique du champ magnetique de la spire a travers elle m^eme. En deduire le coecient d'inductance propre L.

3. En deduire le

ux magnetique du champ magnetique de la spire 1 a travers la spire 2. En deduire le coecient d'inductance mutuelle M.

Commentaire :

D'apres oral CCP. Cet exercice est un exercice de cours, sur la denition des inductances mutuelles

et des inductances propres. Le calcul est lie au calcul du champ magnetique cree par une spire qui doit

^etre parfaitement maitrise.

2.3 Pince amperemetrique

Une pince amperemetrique est constituee d'un tore de section carree de c^ote a=5cm, de rayon interieur a, et donc de rayon exterieur 2a, avec N=10000 spires. Ce circuit est de resistance R=0,2 et est mis en parallele d'un amperemetre de resistance interneri=0,3 Cette pince sert a mesurer "sans contact" l'intensite i circulant dans un l innie, parcourue par un courantI=IMcos(!t) de frequence f=5OHz. On notei(t) =iMcos(!t) le courant dans le tore (la pince amperemetrique).

1. Justier que le champ magnetique total

~B=B(r)~u. Calculer le en tout point M a l'interieur du tore.

2. Calculer le

ux a travers les N spires.

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Figure2.1 { La pince amperemetrique.

3. En deduire le rapport

iMI M.

Commentaire :

D'apres oral CCP. Cet exercice est un exercice tres classique et dont l'application est importante. Ici

le calcul du champ magnetique est a faire par le theoreme d'ampere et le champ magnetique dans un systeme torique est identique a celui a d'un solenode inni.

2.4 Freinage electromagnetique : le rail de Laplace

On considere le dispositif experimental des rails de Laplace. Un rail metallique de resistance interne

negligeable roule sans glisser sur un circuit electrique ferme par une resistance R (non presentee sur

la photo). Ce rail de longueur utile l, est lance avec une vitessev0~uxselon la direction des deux ls

paralleles du circuit. L'ensemble est place dans un champ magnetique uniforme et stationnaire dirige selon la verticale ascendante~B=B0~uz.

1. Expliquer qualitativement la nature des phenomenes mis en jeu et l'evolution a priori du

mouvement de la barre.

2. Calculer la force electromotrice induite dans la barre.

3. Etudier le schema electrique equivalent au circuit en precisant avec soin la convention.

4. Calculer les forces de Laplace dans la barre.

5. Etudier l'evolution mecanique de la barre.

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Figure2.2 { Le dispositif des rails de Laplace.

6. En deduire l'equation dierentielle regissant la vitesse de la barre. Conclure et commenter.

Commentaire :

D'apres oraux. Ainsi pose, cet exercice est un exercice de cours. La premiere question, bien rarement

posee, a un inter^et fort. Une fois l'encha^nement des idees physiques compris, la logique de l'exercice est

claire, et comme la loi de Lenz permet de presentir le comportement, cette analyse peut ^etre et doit ^etre

proposee spontanement. La demarche est ensuite classique : etablir la fem induite et donc en deduire le

schema electrique equivalent; etablir les forces de Laplace et l'equation mecanique. Regrouper ces deux

equations pour etudier la grandeur souhaitee par l'enonce. Il est a noter que cet exercice se decline

aux concours sous de multiples formes : le circuit est ferme par un condensateur et/ou une bobine

et/ou un generateur...Ici l'aspect freinage du rail est aussi interessant puisque l'induction permet de

freiner les camions, les TGV et les velos d'appartement.

2.5 Rail de Laplace alimente.

On considere le dispositif experimental des rails de Laplace. Un rail metallique de resistance interne

R roule sans glisser sur un circuit electrique ferme par une resistance R, identique a la resistance de

la barre, et un genetareur de tension delivrant une fem constante E. Le rail de longueur utile l, est

immobile initialement. L'ensemble est place dans un champ magnetique uniforme et stationnaire dirige selon la verticale ascendante~B=B0~uz.

1. Expliquer pourquoi le rail se met en mouvement et quel peut ^etre son mouvement ulterieur.

2. Trouver l'equation mecanique de la barre.

3. Trouver l'equation electrique de la barre.

4. En deduire l'equation dierentielle regissant la vitesse de la barre. Conclure et commenter.

Commentaire :

D'apres oral CCP. un exercice tres proche du cours, sans diculte.

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2.6 Deux rails de Laplace

Le dispositif experimental est constitue de deux rails de Laplace. Chaque rail metallique de longueur

utile l et de resistance interne R roule sans glisser sur un circuit electrique ferme par une resistance

R, identique a la resistance de la barre. Le rail 1, initialement enx1(0) =lest immobile initialement

alors que le rail 2, initialement enx2(0) = 2l, est lance avec une vitessev0~ux. L'ensemble est place

dans un champ magnetique uniforme et stationnaire dirige selon la verticale ascendante ~B=B0~uz. On constate experimentalement que les deux rails se mettent en mouvement.

1. Calculer la fem induite dans chaque barre.

2. Dessiner alors le circuit electrique equivalent au circuit avec soin.

3. En deduire l'equation electrique du circuit.

4. Etablir les forces de Laplace dans chaque barre

5. Trouver l'equation mecanique de chaque barre.

6. Etudier le mouvement de chacune des barres a l'aide deS(t) =x1(t) +x2(t) et deD(t) =

x

2(t)x1(t). Commenter.

7. Faire une etude energetique du mouvement.

Commentaire :

D'apres oral Mines. un exercice proche du cours, sans grande diculte mais qui repose sur le dessin

propre du circuit electrique equivalent. Comme le systeme comprend plusieurs mailles, l'etude est plus

longue mais reste calculatoirement facile. La n de l'exercice est guidee pour parvenir a resoudre les

deux equations dierentielles couplees.

2.7 Rail de Laplace dans un champ magnetique non uni-

forme.

On considere le dispositif experimental des rails de Laplace. Un rail metallique de resistance interne

negligeable roule sans glisser sur un circuit electrique ferme par une resistance R et une capacite C.

Ce rail de longueur utile l, est lance avec une vitessev0~uxselon la direction des deux ls paralleles du

circuit. L'ensemble est place dans un champ magnetique cree par un l inni, situe a une distance l en dessous des rails de Laplace, parcouru par un courantI0. stationnaire.

1. Calculer le champ magnetique cree par le l inni.

2. Calculer la force electromotrice induite dans la barre mobile.

3. Etudier le schema electrique equivalent au circuit en precisant avec soin la convention.

4. Calculer les forces de Laplace dans la barre.

5. Etudier l'evolution mecanique de la barre.

6. En deduire l'equation dierentielle regissant la vitesse de la barre. Conclure et commenter.

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Commentaire :

D'apres oral Mines. un exercice de plus sur les rails de Laplace. Celui diere un peu dans la mesure ou le champ magnetique est bien stationnaire mais non uniforme. Tous les points de la barre ne sont

pas soumis au m^eme champ. Il est a noter que cela pourrait faire pivoter la barre mais cela n'est pas

pris en compte dans cette exercice. Enn la presence du condensateur complique un peu le calcul.

2.8 Chute d'une spire au dessus d'une autre spire.

Deux spires de m^eme rayon a sont placee sur un axe z. La spire 1 xe, situee en z=0 est parcourue par un couranti1. La spire 2, qui se translate librement sur l'axe Oz, est initialement situee en z= 100:a. Elle est de masse m, de resistance R et on neglige sont auto inductance L. Cette spire 2 tombe sous l'eet de son poids.

1. Que se passe-t-il qualitativement?

2. Calculer le champ magnetique cree par la premiere spire en un point M de coordonnee z de

l'axe.

3. Calculer la fem induite dans la spire 2.

4. Calculer le courant dans la spire 2 (le courant est orientee par l'axe Oz)? Quelle serait la

direction du champ magnetique 2 creee par cette spire? Commenter? Pourquoi le neglige-t- on?

5. Quelle est la force de Laplace sur la spire 2? Quel est le probleme rencontree?

6. En utilisant le fait que le

ux du champ magnetique sur une surface fermee est nulle, en considerant une surface cylindrique de rayon r et de hauteur dz, montrer que B r=r2 @B z@z

En deduireBr

7. Calculer alors la force de Laplace sur la spire 2 en tenant compte de la composante du champ

magnetique calculee ci dessus.

8. Trouver alors l'equation dierentielle de z. Commenter. La levitation magnetique est elle pos-

sible?

Commentaire :

D'apres oral X, Mines. Cet exercice est plus dicile dans la mesure ou il n'est pas possible de se contenter du champ magetique cree par la spire sur l'axe, il faut donc avoir (indirectement, sous forme integrale) recours a la div ~B=0. Neanmoins, la demarche de l'exercice est toujours la m^eme, equation electrique, equation mecanique et l'interpretation avec la loi de Lenz riche en physique.

2.9 La Roue de Barlow

Une roue de Barlow est modelisee comme un disque metallique homogene de centre O et de rayon a, de moment d'inertie J par rapport a son axe Oz horizontal autour duquel il peut tourner sans

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frottement. Cette roue, equivalente a un dip^ole, entre dans un circuit electrique ferme. Les bornes de

ce dip^ole etant le centre O et un point de la peripherie I. La totalite de la surface du disque est placee

dans un champ magnetique uniforme et constant parallele a l'axe Oz. On negligera tout phenomenequotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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