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Toute ellipse d'axe focal parall`ele `a un axe du rep`ere a pour équation : (x ? x0)2 a2 + (y ? y0)2 b2 = 1 o`u a et b sont les demi-axes de l'ellipse et (
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Dans le repère défini par le demi grand axe et le demi petit axe de l'ellipse son équation est (si l'axe focal est x) : ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 {\
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¿'ellipse d'équation réduite x² + Y² = 1 de réflexion orthogonaex ses axes la seule différence étant que dans ce cas (le plan étant "plus incliné"
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Théorème Toute ellipse peut être considérée comme l'image d'un cercle par affinité orthogonale Soit en axes orthonormés le cercle d'équation x2 + (y ? y0)2
Quelle est l équation d'une ellipse ?
3.1 Théor`eme. Une équation de la forme : F(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 définit une ellipse si et seulement si on a les relations : ac ? b2 > 0 et A := (bd ? ae)2 ? (d2 ? af)(b2 ? ac) > 0. Réciproquement, si V (F) es une ellipse, on montre d'abord que a est non nul (sinon, V (F) est vide ou non borné).Est-ce qu'un cercle est une ellipse ?
Elle est obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution (non dégénéré à une droite ou un plan) lorsque ce plan traverse de part en part le cône. Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (quand le plan de coupe est perpendiculaire à l'axe du cône, sans passer toutefois par son sommet).Comment trouver les points d'une ellipse ?
- diviser la coordonnée x par la longueur de l'ellipse, - diviser la coordonnée y par la largeur de l'ellipse, - calculer la quantité r=x*x+y*y. Si r>1, le point est a l'exterieur de l'ellipse.- 1Placer le centre de l'ellipse.2Placer les 2 sommets situés sur l'axe horizontal à l'aide de la valeur du paramètre a. Voici les coordonnées des sommets. 3Placer les 2 sommets situés sur l'axe vertical à l'aide de la valeur du paramètre b. Voici les coordonnées des sommets. 4Tracer l'ellipse en reliant les 4 sommets.
Les ´equations des ellipses
On travaille dans le planE=R2muni de sa forme euclidienne canonique x 2+y2.1 Formes quadratiques
Rappelons que siq(x,y) =ax2+ 2bxy+cy2est une forme quadratique, sa forme polaire?est d´efinie par : ?((x,y),(x?,y?)) =axx?+b(xy?+x?y) +cyy? et qu"on a, sie,fsont deux vecteurs etλ,μdeux scalaires,q(λe+μf) =2q(e) + 2λμ?(e,f) +μ2q(f). Une basee,fdeEest dite orthogonale pour
q(ou?) si elle v´erifie?(e,f) = 0. La formeqest dite d´efinie positive si on aq((x,y))>0 pour (x,y)?= (0,0).1.1 Proposition.Sie,fest orthogonale pourq, et six,ysont les coor-
donn´ees dans la basee,f, on aq(x,y) =Ax2+By2.1.2 Proposition.Il existe une base deEorthogonale `a la fois pourqet
pour la forme euclidienne. D´emonstration.On chercheeetfsous la formee= (x,y),f= (y,-x) ce qui assure leur orthogonalit´e pour la forme euclidienne. On doit donc r´esoudre (a-c)xy+b(y2-x2) = 0. Sibest nul le vecteur (1,0) convient. Sinon, on prendx= 1 et on chercheytel queby2+ (a-c)y-b= 0. Comme le discriminant de cette ´equation est (a-c)2+ 4b2>0, il en existe.1.3Remarque.Ce que nous avons fait revient `a diagonaliser la matrice
sym´etrique?a b b c? dans une base orthogonale (voire orthonorm´ee).2 Ellipses
On suppose qu"on a d´efini g´eom´etriquement les ellipses et qu"elles sont caract´eris´ees par le fait d"avoir une ´equation de la forme x2a 2+y2b2= 1 dans
un rep`ere orthonorm´e.2.1 Proposition.SoitO,i,jun rep`ere cart´esien (pas n´ecessairement or-
thonorm´e),x,yles coordonn´ees associ´ees et soitq(x,y)une forme d´efinie positive. L"ensemble des points d´efinis par l"´equationq(x,y) =λavecλ >0 est une ellipse. D´emonstration.En vertu de 1.2 il existe une base orthonorm´ee dans laquelle qest diagonale :AX2+BY2et, commeqest d´efinie positive,A/λ,B/λsont >0, de sorte qu"on peut les ´ecrire sous la forme 1/a2, 1/b2.2.2 Th´eor`eme.Les ellipses sont exactement les images des cercles par les
applications affines bijectives. D´emonstration.Il est clair que tous les cercles sont dans la mˆeme orbite sous GA(E) et qu"une ellipse est l"image d"un cercle par une affinit´e orthogonale. Il reste `a voir que l"image d"un cercle par une bijection affine est une ellipse et on peut se limiter au cercle unit´e Γ et supposer que l"origine est fixe. On a alors une application lin´eaireu, dont on peut supposer que l"inverse est donn´ee par u -1(x,y) = (αx+βy,γx+δy) = (X,Y). Si (X,Y) est sur le cercle unit´e on aX2+Y2= 1, etu(Γ) est donn´e par l"´equation (αx+βy)2+(γx+δy)2= 1. Comme le premier membre est une forme quadratique d´efinie positive, il s"agit bien d"une ellipse. 3´Equations des ellipses
3.1 Th´eor`eme.Une ´equation de la forme :
F(x,y) =ax2+ 2bxy+cy2+ 2dx+ 2ey+f= 0
d´efinit une ellipse si et seulement si on a les relations :ac-b2>0etA:= (bd-ae)2-(d2-af)(b2-ac)>0.
D´emonstration.Si on a les conditions, on aa?= 0 et on peut supposera >0.On ´ecrit alorsFsous la forme :
F(x,y) =a?x+ba
y+da ?+ac-b2a ?y+ae-bdac-b2?2-Aa(ac-b2)
et on conclut par 2.1 R´eciproquement, siV(F) es une ellipse, on montre d"abord queaest non nul (sinon,V(F) est vide ou non born´e). On peut alors supposera >0 et on commence `a ´ecrireFsous la forme ci-dessus. On montre alors que siac-b2 est n´egatif ou nulV(F) est vide ou non born´e. On finit l"´ecriture et siAest <0 (resp. = 0)V(F) est vide (resp. r´eduit `a un point).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] ellipse narrative exercices
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