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Dans le repère défini par le demi grand axe et le demi petit axe de l'ellipse son équation est (si l'axe focal est x) : ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 {\
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¿'ellipse d'équation réduite x² + Y² = 1 de réflexion orthogonaex ses axes la seule différence étant que dans ce cas (le plan étant "plus incliné"
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Soient P et P' les intersections de la tangente à l'ellipse en M0 avec les droites d'équations x = – a et x = a a) Montrer que AP × A'P' est indépendant de M0
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Théorème Toute ellipse peut être considérée comme l'image d'un cercle par affinité orthogonale Soit en axes orthonormés le cercle d'équation x2 + (y ? y0)2
Quelle est l équation d'une ellipse ?
3.1 Théor`eme. Une équation de la forme : F(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 définit une ellipse si et seulement si on a les relations : ac ? b2 > 0 et A := (bd ? ae)2 ? (d2 ? af)(b2 ? ac) > 0. Réciproquement, si V (F) es une ellipse, on montre d'abord que a est non nul (sinon, V (F) est vide ou non borné).Est-ce qu'un cercle est une ellipse ?
Elle est obtenue par l'intersection d'un plan avec un cône de révolution (non dégénéré à une droite ou un plan) lorsque ce plan traverse de part en part le cône. Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (quand le plan de coupe est perpendiculaire à l'axe du cône, sans passer toutefois par son sommet).Comment trouver les points d'une ellipse ?
- diviser la coordonnée x par la longueur de l'ellipse, - diviser la coordonnée y par la largeur de l'ellipse, - calculer la quantité r=x*x+y*y. Si r>1, le point est a l'exterieur de l'ellipse.- 1Placer le centre de l'ellipse.2Placer les 2 sommets situés sur l'axe horizontal à l'aide de la valeur du paramètre a. Voici les coordonnées des sommets. 3Placer les 2 sommets situés sur l'axe vertical à l'aide de la valeur du paramètre b. Voici les coordonnées des sommets. 4Tracer l'ellipse en reliant les 4 sommets.
Travaux d'élèves Math.en.Jeans 2011
Les ombres chinoises
BAUDOIN Alexis (5ème) LEWONCZUK Louise (4ème), SOURDON Jérôme (4ème), CROS Baptiste (3ème), PEYROUSE Robin (3ème), RICHARD Célia (3ème) et BAUDOIN Clément (2de), GALLIERE Anaïs (2de), REDA Clémence (2de), JACOBS Anaïs (1èreS) Collège Bernard de Ventadour et Lycée Albert Einstein de Bagnols sur Cèze Enseignants : BUFFET Gaëlle, LACOUSSE Véronique et CHARDENON AnnabelChercheur : FRIZON Fabien, CEA Marcoule
Sujet Les ombres formées par un objet suivant trois direc- tions orthogonales sont des disques.Mots-clés
OMBRE, CERCLE, SPHÈRE, CÔNE, SURFACE MINIMALEIntroduction
La recherche des réponses à ces questions s'est faite par deux approches différentes : Deux solutions évidentes ont rapidement été trouvées : directions orthogonales. [Note : Les trois disques n'ont pas même centre à moins que les sources de lumière ne soient placées à l'infini. Il s'agit en fait des trois disques délimités par les trois lignes sépara- trices ombre-lumière] Pour déterminer lequel des deux objets utilise le moins de matière, on compare leurs aires : Ainsi, des solutions au problème posé existent, il reste à essayer d'en déterminer de plus performantes. La recherche d'autres solutions nécessite de préciser le cadre de travail et de fixer certaines contraintes :Vers une mathématisation du problème
En s'appuyant sur ces choix, les faisceaux de lumière h et de rayon R. L'hypothèse principale de travail est que, pour qu'un objet ait une ombre en forme de disque selon trois directions orthogonales, il doit être tangent à l'inter- section des trois cônes. Le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore tangents à une même sphère de rayon ] : résoudre le système suivant : (i) (ii) (iii)Travaux d'élèves Math.en.Jeans 2011
12 ombres chinoises
déterminée.Intersection de deux cônes
Les équations (i) et (ii) constituent un système qui z et en y». L'élimination de x 2 en faisant (i)-(ii), puis une factorisation des termes en y et en z conduisent à l'équation :Cette équation donne deux solutions :
[Ces équations sont celles de deux plans qui équations de deux ellipses en substituant ces deux expressions dans (i) ou (ii) : [Disque et ellipse] La recherche expérimentale a également permis de triques, dont les axes sont orthogonaux et concourent à mis en évidence : un disque imbriqué avec une ellipse inclinée (Figure 1). Figure 1. Un autre objet répondant [apparemment] au problème : ellipse et disque imbriqués. En vérifiant expérimentalement, il semble que cet objet a pour ombre un disque suivant trois directions orthogo- nales. [A condition que les sources de lumière soient très loin, que l'on accepte des diamètres différents et que l'on néglige les morceaux d'ombres réduits à un segment] Afin d'envisager quel objet utilise le moins de matière, les aires des objets trouvés sont comparées :Où r2r est
le grand axe et 2a le petit axe de l'ellipse. Les trois disques imbriqués donnent donc une solution qui répond à la première question et qui utilise moins utilise encore moins de matière.Intersection de trois cônes
x» aux raisonnements menés précédemment uniquement sur z et en y». L'objet recherché doit être tangent en huit points aux (Figure 2) :Conclusions et perspectives
Par une démarche expérimentale, les collégiens ont trouvé, par intuition, un objet "disque + ellipse» qui semble répondre au problème. Par un raisonnement mathématique, les lycéens ont trouvé des conditions sur un objet qui pourrait répondre à la première question, sans pouvoir le décrire précisément. Ainsi, une réponse a été proposée, mais le problème n'est pas résolu : l'inclinaison entre le disque et l'ellipse doit être précisée et il est peut-être encore possible de trouver un nouvel objet qui utilise moins de matière. De plus, un lien direct doit encore être établi entre les résultats expérimentaux et les résultats théoriques. [Note. En fait, il s'avère que l'hypothèse de travail aboutit à des résultats contradictoires dès lors que les sources de lumière sont à distance finie.] etquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] ellipse narrative exercices
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