Limites et asymptotes PDF Définition 4 : Soit f

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N 2

Cité scolaire Claude Monet - Troisième 4. Année scolaire 2016-2017. Mathématiques Comme AC < 25 alors Corentin pourra faire monter Alix en haut de la.

GUIDE PÉDAGOGIQUE

Les 8 unités de ce troisième volume accompagnent les élèves dans l'acquisition des compétences 4. très ; Jean est le meilleur en maths de sa classe.

DNB - Brevet des Collèges 2017 Amérique du Nord - 7 juin 2017

7 jun 2017 On veut tirer une boule au hasard. 1. Est-il plus probable d'obtenir un numéro pair ou bien un multiple de 3 ? • Les 12 boules sont numérotées ...

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT

Alors est l'ensemble des couples possibles pour deux dés. On a par exemple : Page 3. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et

Calcul mental - Mathématiques du consommateur

Alix a-t-elle marqués? Exprime 9 comme la somme de trois nombres consécutifs. Lorsqu'on joue au « tic tac toe » quelle position est la plus.

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FatogomaDIAKITEet Alix MIGNOT pour mavoir accueilli au sein de l'OLP ainsi que II semble bien que la bonne reponse soit la troisieme proposition

FRANÇAIS 7e

Il ne voulait pas me laisser partir. Je crois qu'il Il m'a fait grimper ... Mais la troisième écriture est alors l'un des grands.

Corrigé BB n°1

CORRIGE BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES. Janvier 2015 – Durée : 2h. Exercice n°1. (6 points). Six affirmations sont données ci-dessous.

Chapitre n°6 : « Le parallélogramme »

On suppose les points A B et C déjà placés. On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. • On prend l'écartement entre A et B et on.

Limites et asymptotes

Définition 4 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en 0 : Si f(x) est aussi grand (positif) que l'on veut dès que x est assez

Année 2005-20061èreS

Chap V :Limites et asymptotes

I. Limites en l"infini

1) Limite infinie à l"infini

Définition 1 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite+∞en+∞et on notelimx→+∞f(x) = +∞sif(x)est aussi grand que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit grand, on sous-entend positif ). faire le lien avec tableau de variations

Exemple :limx→+∞x= +∞;limx→+∞x2= +∞;limx→+∞x3= +∞;limx→+∞⎷x= +∞

On définit de mêmelimx→+∞f(x) =-∞parf(x)est aussi grand dans les négatifs que l"on veut dès

quexest assez grand.

On définit encore de manière analoguelimx→-∞f(x) = +∞,limx→-∞f(x) =-∞

(attention toutefois à l"ensemble de définition). Exemple :limx→-∞x=-∞;limx→-∞x2= +∞;limx→-∞x3=-∞

2) Limite finie à l"infini

Définition 2 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite0en+∞et on notelimx→+∞f(x) = 0sif(x)est aussi petit que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit petit, on sous-entend proche de zéro ). On définira de même :limx→-∞f(x) = 0.

Exemple :limx→+∞1

x= 0;limx→+∞1x2= 0;limx→+∞1x3= 0;limx→+∞1⎷x= 0

Exemple :limx→-∞1

x= 0;limx→-∞1x2= 0;limx→-∞1x3= 0

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Année 2005-20061èreS

On peut à présent définir une limite quelconque en l"infini : Définition 3 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: Avoirlimx→+∞f(x) =lest équivalent à avoirlimx→+∞[f(x)-l] = 0 Remarque :limx→+∞f(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→+∞ε(x) = 0. -→démonstration Remarque :Une fonction n"a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsquextend vers fdéfinie surRparf(x) = cos(x)n"a de limite ni en-∞ni en+∞.

II. Limite en un pointa

1) Limite en0

Définition 4 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi grand (positif) que l"on veut dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite+∞en0et on notelimx→0f(x) = +∞. (On définit de mêmelimx→0f(x) =-∞.)

Exemple :limx→01

x2= +∞limx→01⎷x= +∞. Remarque :Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de0, on notera alors : lim x→0 x >01 x= +∞etlim x→0 x <01x=-∞ou encorelim x→0 x >01x3= +∞etlim x→0 x <01x3=-∞

On note également parfois :lim

x→0+1 x3= +∞. Définition 5 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi petit que l"on veut (proche de0) dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite0en0et on notelimx→0f(x) = 0. Exemple :limx→0x= 0;limx→0x2= 0;limx→0x3= 0;limx→0⎷ x= 0 Définition 6 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: On dit quefa pour limitelen0lorsque la fonctionx?→f(x)-la pour limite0 en0. Remarque :On peut traduire mathématiquement cette définition par lim x→0f(x) =l?limx→0?f(x)-l?= 0

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2) Limites ena?R

Définition 7 :Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert ena, on dit quefa une limite enasi la fonctionh?→f(a+h)a une limite en0et alors : lim x→af(x) = limh→0f(a+h)

Exemple :On alimx→1?

1 +1 (x-1)2? = lim h→0?

1 +1h2?

Remarque :limx→af(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→aε(x) = 0. Remarque :Sia?Dfet silimx→af(x)existe, alorslimx→af(x) =f(a).

Exemple :Sia >0,limx→a⎷

x=⎷a.

SiPest un polynôme,limx→aP(x) =P(a).

SiRest une fraction rationnelledéfinie ena,limx→aR(x) =R(a).

III. Opérations sur les limites

Dans toute cettte partie les limites des fonctionsfetgsont??aux mêmes points??à savoir+∞, -∞oua?R.

1) Somme

On a le tableau récapitulatif suivant :

limf(x) =lll+∞-∞+∞ limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞ lim?f(x) +g(x)?=l+l?+∞-∞+∞-∞F.I

2) Produit

On a le tableau récapitulatif suivant :

limf(x) =ll >0l <0l >0l <0+∞-∞+∞0 limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞+∞ou-∞

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3) Quotient

On a le tableau récapitulatif suivant :

limf(x) =+∞-∞±∞l <0ou-∞l >0ou+∞0 limg(x) =l?>0l?<0l?>0l?<0±∞0+0-0+0-0 lim?f(x)g(x)? Remarque :0+(resp.0+) indique que la limite est nulle et que la fonction reste positive (resp. négative). Il y a quatre formes indéterminées :+∞ - ∞;0× ∞;∞ ∞;00 Remarque :Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n"importe quelle limite. Exemple :On cherchelimx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?. Si on voit ce polynôme comme une somme de monômes on obtient une F.I. du type +∞ - ∞mais on peut toujours écrirex3-3x2+ 4x+ 1 =x3? 1-3 x+4x2+1x3? aveclimx→+∞x3= +∞etlimx→+∞? 1-3 x+4x2+1x3? = 1-0 + 0 + 0 = 1par somme des limites. On a donc, par produit des limites,limx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?= +∞vu comme??1×+∞??. -→A faire en TD : cas des polynômes et des fractions rationnelles.

IV. Interprétation graphique et asymptotes

1) Asymptote horizontale

Silimx→+∞f(x) =l,

pourMetPles points d"abscissesx, lorsquexprend des valeurs de plus en plus grandes, la distance

PMtend vers0:

On dit alors que la droiteDd"équationy=lest

asymptote horizontaleà la courbeCfau voisinage de+∞. Interprétation graphique pourlimx→-∞f(x) =l 0123

0 1 2 3 4 5 6 7 8

xyx lD Cf PM

Remarque :On peut définir de même l"asymptote d"équationy=len-∞silimx→-∞f(x) =l

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2) Asymptote verticale

Silimx→af(x) =±∞,

on dit que la droiteDd"équationx=aest asymptote verticaleà la courbeCf. PetMsont ici les deux points de même ordonnée et la distancePMtend vers zéro lorsque cette ordonnée dePetMtend vers+∞. Interprétation graphique pourlimx→af(x) =-∞ 01234

0 1 2 3

xyaD Cf

P M

3) Asymptote oblique

Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un intervalle du type[α;+∞[, s"il existe deux réelsa

etbtels quelimx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0on dira que la droiteDd"équationy=ax+b est asymptote obliqueàCfau voisinage de+∞. Remarque :La méthode de détermination est H.P. On a nécessairementlimx→+∞f(x) = +∞

Interprétation graphique, avecPet

Mles deux points d"abscissesx, pour

limx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 01234

0 1 2 3 4 5 6 7 8

xyx

DCf

On peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de-∞silimx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0.

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Chap V :Limites et asymptotes

I. Limites en l"infini

1) Limite infinie à l"infini

2) Limite finie à l"infini

Exemple :limx→+∞1

Exemple :limx→-∞1

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II. Limite en un pointa

1) Limite en0

Exemple :limx→01

On note également parfois :lim

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2) Limites ena?R

Exemple :On alimx→1?

1 +1h2?

Exemple :Sia >0,limx→a⎷

SiPest un polynôme,limx→aP(x) =P(a).

III. Opérations sur les limites

1) Somme

On a le tableau récapitulatif suivant :

2) Produit

On a le tableau récapitulatif suivant :

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3) Quotient

On a le tableau récapitulatif suivant :

IV. Interprétation graphique et asymptotes

1) Asymptote horizontale

Silimx→+∞f(x) =l,

PMtend vers0:

On dit alors que la droiteDd"équationy=lest

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2) Asymptote verticale

Silimx→af(x) =±∞,

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3) Asymptote oblique

Interprétation graphique, avecPet

Mles deux points d"abscissesx, pour

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