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Corina Reischer

Raymond Leblanc

Bruno Rémillard

Denis Larocque

2002

Presses de l'Université du Québec

Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bur. 450

Sainte-Foy (Québec) Canada G1V 2M2

Données de catalogage avant publication (Canada)

Vedette principale au titre :

Théories des probabilités ; problèmes et solutions

ISBN 2-7605-1197-9

1. Probabilités - Problèmes et exercices. 2. Statistique mathématique - Problèmes et

exercices. 3. Variables aléatoires - Problèmes et exercices. 4. Probabilités.

I. Reischer, Corina, 1931-

QA273.25.T43 2002 519.2'076 C2002-941248-X

Nous reconnaissons l'aide financière du gouvernement du Canada par l'entremise du Programme d'aide au développement de l'industrie de l édition (PADIÉ) pour nos activités d'édition. Conception graphique de la couverture : RICHARD HODGSON

1 2 3 4 5 6 7 8 9 PUQ 2002 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Tous droits de reproduction, de traduction et d'adaptation réservés ©

2002 Presses de l

Université du Québec

Dépôt légal - 4

e trimestre 2002 Bibliothèque nationale du Québec / Bibliothèque nationale du Canada

Imprimé au Canada

Liste de notations

Symbole Usage Signification

viii Liste de notations

Abréviations standard Signification

Liste de notations ix

Lettres avec une Signification

signification fixe x Liste de notations

Alphabet Grec

xi

20. On considère l'expérience qui consiste à tirer une boule d'une urne contenant

4 boules blanches numérotées 1, 2, 3 et 4, et une boule noire numérotée 5.

i) ii) iii) iv Décrire l'espace probabilisable relié à cette expérience. Combien d'événements y-a-t-il dans l'espace des événements ? Énumérer les événements élémentaires. ) Énumérer les implications de l'événement {1}. Solution. i) L'espace probabilisable est (, A) où = {1, 2, 3, 4, 5} et A = P() est donc donné par l'ensemble {0, {k}, {i, j}, {i, j, k}, {i, j, k, l}, {1, 2, 3, 4, 5}} où i, j, k, l prennent indépendamment les valeurs de 1 à 5, mais avec la restriction que dans le cadre d'un même groupe tous les indices soient différents et deux groupes avec le même nombre d'indices diffèrent au moins par un indice. On a noté par {k} la sélection de la boule numérotée k, par {i, j} la sélection des boules numérotées i et j, etc. et {1, 2, 3, 4, 5} = représente l'événement certain. ii) Le nombre d'événements dans l'espace des événements est

20 Chapitre 1. Espace fini d'événements

iii) Les événements élémentaires sont : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}.

1.3 Problèmes proposés

1. On lance deux pièces de monnaie (une de 1 cent et une de 10 cents) et on

considère les résultats qui apparaissent. i) Quelles sont les épreuves de l'expérience ? ii) Soit les événements : A l - "l'apparition d'une face sur une des pièces de monnaie", A 2 - "l'apparition de face sur la pièce de 10 cents".

Les événements A

l et A 2 sont-ils compatibles ou incompatibles? 2. 3. D'une urne contenant 20 boules dont 6 sont blanches et 14 sont noires, on extrait, au hasard sans remise, deux boules. Soit Al'événement "parmi les deux boules choisies, il y a au moins une boule blanche" et B l'événement "les deux boules sont blanches . Les événements A et B sont compatibles ou incompatibles ? S'agit-il d'événements élémentaires ou composés ? On lance un dé. Notons A l'événement "l'apparition de la face 1 ou 4" et B l'événement "l'apparition de la face 2 ou 3 ou 5 ou 6." Quelle est la relation entre les événements A et B ?

4. On pige 10 pièces d'un lot de pièces fabriquées par une machine. Représentons

par A l'événement "toutes les pièces choisies sont bonnes" et par B l'événement "au moins une pièce est défectueuse . Quel est le type d'événement de

1.3. Problèmes proposés 21

i) ii)

A U B,

A ŀ B ?

5. Deux étudiants jouent une partie d'échec. Soit A l'événement "le premier étudiant

gagne la partie" et soit B l'événement "le deuxième étudiant gagne la partie". La partie se termine sur une nulle. i) ii) i) ii) iii) iv) Est-ce qu'un des événements A ou B s'est réalisé ? Écrire l'événement réalisé en utilisant les événements A et B.

6. Soit = {a, b, c, d}, A = {a, b} et B = {d}. Énumérer les éléments des

événements suivants :

A c A U B c

A n B,

A c n B.

7. On lance un dé deux fois de suite.

i) Préciser les événements suivants : A l - "on obtient la face 1 suivi d'un nombre pair" , A 2 - "la somme est 5 A 3 - "les deux chiffres obtenus sont égaux". ii) Que pouvez-vous dire des événements A, B, C tels que

A est réalisé quand A

l et A 2 sont réalisés,

B est réalisé quand A

2 et A 3 sont réalisés,

C est réalisé quand A

2 est réalisé et que A l ne l'est pas.

8. L'espace échantillonnal étant un jeu de 52 cartes. Soit T le sous-ensemble des

trèfles, Q celui des carreaux, C celui des coeurs, P celui des piques, Ncelui des cartes nobles (dix, valet, dame, roi et as). Décrire les sous-ensembles suivants et donner le nombre d'éléments qu'ils contiennent : i) T ŀ N, ii) (T ŀ P) U N,

22 Chapitre 1. Espace fini d'événements

iii) (T n Q) U N c iv) (P n C c ) u (P C n C).

9. De l'ensemble des nombres naturels de l'intervalle [1, 499] on choisit au hasard

un nombre. Soit A l'événement "le nombre choisi est divisible par 5" et soit B l'événement "le nombre choisi se termine par le chiffre 0". Décrire l'événement

A \ B ?

10. On écrit au hasard un polynôme, disons P(x), de l'ensemble des polynômes dont

les coefficients sont des entiers de l'intervalle [-10, 20]. Considérons les

événements :

A l - "le polynôme P(x) est divisible par x - 2", A 2 - "le polynôme dérivé P'(x) est divisible par x - 2", A 3 - "la dérivé seconde P"(x) est divisible par x - 2", B - "2 est au moins une racine triple du polynôme P(x)", C - "2 est une racine double pour le polynôme P(x)". Exprimer les événements B et C à l'aide des événements A i , i = 1, 2, 3.

1.3. Problèmes proposés 23

24 Chapitre 1. Espace fini d'événements

21.
22.
On lance une pièce de monnaie. Décrire l'espace des événements rattachés à cette expérience.

Décrire l'espace des événements rattachés à l'expérience qui consiste à lancer un

dé.

23. Décrire l'espace des événements rattachés à l'expérience qui consiste à lancer

simultanément une pièce de monnaie et un dé et à observer les faces supérieures présentées après le lancer. 24.
Décrire l'espace des événements rattachés à l'expérience suivante : on écrit un nombre de deux chiffres choisis au hasard, parmi les chiffres 1, 5, 8.

1.4 Indications et réponses

1. i) Les épreuves sont :

sur les deux pièces apparaissent des piles, sur les deux pièces apparaissent des faces, sur la pièce de monnaie de 1 cent apparat pile et sur la pièce de monnaie de 10 cents apparat face, sur la pièce de monnaie de 1 cent apparat face et sur la pièce de monnaie de

10 cents apparat pile.

Symboliquement on peut écrire (P, P), (F, F), (P, F), (F, P). ii) A l et A 2 sont des événements aléatoires, car en effectuant l'expérience, ils peuvent ou non se produire. Ce sont des événements composés, car chacun peut être réalisé par plusieurs épreuves. Les événements A l et A 2 sont compatibles, car ils peuvent se produire simultanément par l'épreuve (F, F). 2. 3. A et B sont des événements compatibles, car ils peuvent se produire en même temps, à savoir quand on extrait de l'urne deux boules blanches. A et B sont des

événements composés.

Les événements A et B sont contraires, car si A se réalise, alors

B ne peut pas se

réaliser et réciproquement, B = A c et A = B e . Les événements A et B sont incompatibles.

Chapitre 2

Espace fini de probabilité

2.1 Notions de base - Définitions et propriétés

2.1.1 Définition classique de probabilité

où m est le nombre d'épreuves qui réalisent A et n le nombre total d'épreuves dans l'espace échantillonnal rattaché à l'expérience. Ainsi P(A) est le rapport entre le nombre de cas favorables à la réalisation de l'événement Aet le nombre de cas possibles, tous cas possibles étant également vraisemblables. Pour calculer la probabilité d'un événement quelconque A, il faut donc déterminer le nombre de cas favorables, c'est-à-dire, le nombre d'éléments de l'ensemble des épreuves rattachées à l'événement A, cas possibles, c'est-à-dire, le nombre d'éléments de l'ensemble des épreuves rattachées à l'événement certain . La probabilité P(A) est le rapport de ces deux nombres. 31

32 Chapitre 2. Espace fini de probabilité

où card(A), card() représentent la cardinalité respective des ensembles A et . Remarque 2. On peut utiliser cette définition classique ou fréquentiste de probabilité

seulement pour les expériences où les événements élémentaires sont équiprobables,

c'est-à-dire également vraisemblables. On dit que les épreuves sont équiprobables, c'est-à-dire que les probabilités des événements élémentaires sont égales. La probabilité d'un événement élémentaire d'une telle expérience est 1/n

(n étant le nombre total d'épreuves). Cette probabilité est la même pour tout événement

élémentaire, car le nombre de cas favorables est nécessairement égal à 1. Exemple 3. Quand on lance une pièce de monnaie bien équilibrée, on présume que les épreuves "pile" et "face" sont également possibles. Dans ce cas les probabilités

classiques seraient 1/2 pour les événements élémentaires. On dit que ces événements

sont équiprobables. De même, quand on lance un dé bien équilibré, les différents résultats possibles sont tous également probables et les probabilités pour les événements

élémentaires sont toutes 1/6.

Remarque 4. En considérant la définition 1, on constate que la notion de probabilité d'un événement a les propriétés suivantes :

2.1. Notions de base - Définitions et propriétés 33

2.1.2 Définition axiomatique de probabilité

Définition 1. Une mesure de probabilité, ou une probabilité P définie sur un espace probabilisable (, A) est une fonction P : A ĺ R qui associe à tout événement A de A un nombre réel P(A), A ĺ P(A) qui satisfait les axiomes suivants : 1 1

Cette définition axiomatique de probabilité a été donnée en 1933 par Andreï Nikolaïevitch

Kolmogorov (1903-1987), mathématicien russe.

34 Chapitre 2. Espace fini de probabilité

Pour tout A ȯ A, P(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent l'événement A. Signalons que la définition classique de probabilité satisfait bien sûr tous les axiomes de la définition axiomatique car on obtient la première de la seconde comme cas particulier où p l = ··· = p n = 1 / n

2.1.3 Espace probabilisé

Définition 1. Un espace probabilisé est un triplet (, A, P), où (, A) est un espace probabilisable, et P est une probabilité sur (, A). Définition 2. Un système complet d'événements est un ensemble d'événements {A k ; k = 1, . . . , m} qui satisfait les conditions suivantes : En fait un système complet d'événements est une partition de 52 en événements disjoints.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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