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Sujets et corrigés des DS

de mathématiques et d"informatique

BCPST1A lycée Hoche 2020-2021

Sébastien Godillon

Table des matières

Sujet du DS n

o1 (mathématiques, 3h) 3

Corrigé du DS n

o15

Exercice 1 (étude de fonctions, ensembles, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Problème 1 (nombres complexes, logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercice 2 (nombres réels, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Problème 2 (ensembles, logique, quantificateurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Exercice 3 (logique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Sujet du DS n

o2 (mathématiques et informatique, 3h) 21

Corrigé du DS n

o223

Exercice 1 (étude de fonctions, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Exercice 2 (sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Exercice 3 (informatique, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Exercice 4 (suites, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Exercice 5 (trigonométrie, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Exercice 6 (informatique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Exercice 7 (suites, logique, quantificateurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Sujet du DS n

o3 (mathématiques et informatique, 3h) 38

Corrigé du DS n

o343

Exercice 1 (informatique, suites, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Exercice 2 (suites, nombres réels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Problème (logique, informatique, dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 1 sur 136 Sébastien Godillon

Sujet du DS n

o4 (mathématiques et informatique, 3h) 56

Corrigé du DS n

o458

Exercice 1 (matrices, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Exercice 2 (intégrales, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Exercice 3 (informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Exercice 4 (matrices, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Exercice 5 (primitives, étude de fonctions, équations différentielles) . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Sujet du DS n

o5 (mathématiques et informatique, 3h) 72

Corrigé du DS n

o576

Problème A (suites, limites, informatique, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Exercice (limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Problème B (géométrie, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Sujet du DS n

o6 (mathématiques, 3h) 93

Corrigé du DS n

o697

Exercice (informatique, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Problème A (intégrales, étude de fonctions, dérivées, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . .

99

Problème B (probabilités, informatique, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

Sujet du DS n

o7 (mathématiques et informatique, 3h à distance) 113

Corrigé du DS n

o7115

Exercice 1 (continuité, suites, limites, logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

Exercice 2 (informatique, probabilités, sommes, étude de fonctions, continuité) . . . . . . . . . .

117

Sujet du DS n

o8 (mathématiques et informatique, 3h) 122

Corrigé du DS n

o8124

Exercice 1 (sous-espace vectoriel, famille de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

Problème 1 (polynômes, intégrales, informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

Exercice 2 (développements limités, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

Problème 2 (variables aléatoires, probabilités, sommes, informatique) . . . . . . . . . . . . . . .

132 BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 2 sur 136 Sébastien Godillon

DS n o1 de mathématiques durée : 3 heures

Exercice 1

On considère la fonctionf:x7!x2+ 7x+ 3. Déterminer les ensembles suivants : E

1=f(x)jx2]11;5[etE2=x2Rjf(x)2[4;6[:

Problème 1On notel"unique réel appartenant à[0;]tel quecos() = 1=3. Le but de ce problème est de prouver que

n"est pas une "fraction de», c"est-à-dire que= =2Q(on dit alors queetsont incommensurables). Pour cela, on raisonne par l"absurde en supposant qu"il existe deux entierspetqtels que=p=q. 1. (a) Calculer sin()puis donner la forme algébrique deei. (b) En déduire qu"il existe un en tiern2Ntel que1 +i2p2 n= 3n: 2. Démontrer que pour toutk2N, il existe(ak;bk)2Z2tel que1 +i2p2 k=ak+ibkp2. On donnera les expressions deak+1etbk+1en fonction deaketbkpour toutk2N. 3. Mon trerque ak+2= 2ak+19akpour toutk2Net déterminer une relation similaire pour(bk)k2N. 4.

Que v alenta0,b0,a1,b1,anetbn?

5. On rappelle que la somme de deux multiples de3est un multiple de3et que si un multiple de3est de la forme2moùm2Zalorsmest un multiple de3. Prouver que pour toutk2N,akn"est pas un multiple de3. 6.

Conclure.

Exercice 2

Résoudre les inéquations suivantes d"inconnuexréelle. (I1)jx2+ 5x2j6j2x+ 2j (I2)x(x2)>(xx)2 (I3)j

2x+px1k

= 3 (I4)sin(7 x) + sin(3x)<0

(I5)2x+mx1<1oùm2Rest un paramètre fixé.BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 3 sur 136 Sébastien Godillon

Problème 2

On considère l"ensemble suivant :

E=7k+ 8`j(k;`)2N2:

1. (a)

Mon trerque 8et37appartiennent àE.

(b)

Mon trerque 1et19n"appartiennent pas àE.

(c)Déterminer un autre exemple d"entier naturel appartenant àEet un autre exemple d"entier naturel n"appartenant pas àE. 2. (a) Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln, il existe deux entiers naturelsqetr tels quer66etn= 7q+r, c"est-à-dire :

8n2N;9(q;r)2N f0;1;2;3;4;5;6g; n= 7q+r:

(b) Dans cette question, on supp osequ"il existe quatre en tiersnaturels q1,r1,q2etr2tels que : (r1;r2)2 f0;1;2;3;4;5;6g2et7q1+r1= 7q2+r2: Montrer queq1=q2etr1=r2. Que peut-on en déduire pour le résultat de la question 2(a)? 3. (a)

À l"aide du résultat de la question 2(a), montrer que tout entier naturel supérieur ou égal à42

appartient àE. Indication : on pourra utiliser quer=7r+ 8r. (b) Déterminer les élémen tsde Estrictement inférieurs à42et montrer qu"il y en a21. (c)

En déduire tous les élémen tsde E.

4.

On p oseA=p2Nj 8n2N; n>p=)n2E.

(a) Dire, sans justifier, si c hacunedes assertions suiv antesest vraie ou fausse. i.8p2A; p2E ii.9p2N; p2A iii.8p2A;9n>p; n2E iv.8p2A;9n > p; n2E v.8p2A; p+ 12Avi.8p2A;8n2N; n>p=)n2A vii.8p2N;(p2Eetp+ 12A) =)p2A viii.8p2N; p =2A()(9n2N; n>petn =2E) ix.8m2N; m =2E=)(8p2A; p > m) x.9m2N; m =2Eet(8p2N; p > m=)p2A) (b) À l"aide du résultat de la question 3(c), déterminer tous les élémen tsde A.

Exercice 3

On considère la suite(un)n>0définie par

u

0= 0; u1= 1et8n>0; un+2= 7un+112un:

Montrer qu"il existe(a;b;c)2R3tel que pour tout entiern>0,un=a:bn+cn.BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 4 sur 136 Sébastien Godillon

Corrigé du DS n

o1 de mathématiques

Exercice 1

On considère la fonctionf:x7!x2+ 7x+ 3. Déterminer les ensembles suivants : E

1=f(x)jx2]11;5[etE2=x2Rjf(x)2[4;6[:

ILa fonctionfest définie et dérivable surRnf3gcomme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s"annule pas. On a :

8x2Rn f3g; f0(x) =2x(x+ 3)(x2+ 7)1(x+ 3)2=x2+ 6x7(x+ 3)2:

On reconnaît au numérateur un polynôme du second degré de discriminant = 624(7) = 64>0. Donc le numérateur s"annule en(6 +p64)=2 = 1et en(6p64)=2 =7. De plus, il est strictement négatif sur]7;1[et strictement positif sur] 1;7[[]1;+1[. Puisque(x+ 3)2>0pour toutx6=3, on en déduit le tableau des variations def.x f

0(x)f(x)1731+1+00+

1114141+122+1+1111651632p5

6145

43 + 2

p5 6 car : lim x!1f(x) = limx!1x+7x 1 + 3x =1f(7) =(7)2+ 77 + 3=564=14lim x!3f(x) = lim x!3x

2+ 7x+ 3=1lim

x!+1f(x) = limx!+1x+7x 1 + 3x = +1f(1) =12+ 71 + 3 =84 = 2lim x!3+f(x) = lim x!3+x

2+ 7x+ 3= +1

On af(11) =(11)2+ 711 + 3=1288=16etf(5) =(5)2+ 75 + 3=322=16. On déduit du tableau des variations defque : E

1=f(x)jx2]11;5[= ]16;14]:

Soyez précis avec les bornes des intervalles :16est exclus car]11;5[est un

intervalle ouvert mais14est inclus car72]11;5[.Pour déterminerE2, on résout les deux équations suivantes :

f(x) = 4()x2+ 7x+ 3= 4()x2+ 7 = 4(x+ 3)()x24x5 = 0 On obtient une équation du second degré de discriminant = (4)24(5) = 36>0qui admet

pour solutionsx= (4 +p36)=2 = 5etx= (46)=2 =1.BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 5 sur 136 Sébastien Godillon

f(x) = 6()x2+ 7x+ 3= 6()x2+ 7 = 6(x+ 3)()x26x11 = 0On obtient une équation du second degré de discriminant = (6)24(11) = 80>0qui admet

pour solutionsx= (6 +p80)=2 = (6 + 4p5)=2 = 3 + 2p5etx= 32p5.

On déduit du tableau des variations defque :

E

2=x2Rjf(x)2[4;6[=i

32p5;1i

[h

5;3 + 2p5

h:

Problème 1

On notel"unique réel appartenant à[0;]tel quecos() = 1=3. Le but de ce problème est de prouver que

n"est pas une "fraction de», c"est-à-dire que= =2Q(on dit alors queetsont incommensurables). Pour cela, on raisonne par l"absurde en supposant qu"il existe deux entierspetqtels que=p=q. 1. (a) Calculer sin()puis donner la forme algébrique deei.

IOn a d"après le théorème de Pythagore :

cos

2() + sin2() = 1doncsin2() = 1cos2() = 113

2 = 119 =89

En passant à la racine, on en déduit que :

jsin()j=r8 9 =p42p9 =2p2 3 N"oubliez pas les valeurs absolues! En toute généralité,px

2=jxjsix2R.

Il faut ensuite étudier le signe dexpour se débarasser des valeurs absolues.

Or2[0;]d"après l"énoncé, doncsin()>0d"après le cercle trigonométrique. On en déduit

quejsin()j= sin()et donc quesin() = 2p2=3. (b) En dé duirequ"il existe un entier n2Ntel que1 +i2p2 n= 3n.

IOn cherche un entiern2Ntel que1 +i2p2

n= 3n. On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse. On a :

1 +i2p2

n= 3n()

1 +i2p2

3 n = 1 13 |{z} =cos()+i2p2 3 |{z} =sin() n= 1 cos() +isin()n= 1d"après le résultat de la question précédente ()ein= 1par définition deei ()ein= 1 ()einp=q= 1car=p=qd"après l"hypothèse de l"énoncé ()einq p= 1:

Il suffit donc de choisirntel quen=q= 2.

Synthèse. On posen= 2q. Alorsn2N(carq2Nd"après l"énoncé) et : e inq p=ei2p= 1d"après le cercle trigonométrique: En reprenant les calculs effectués dans l"analyse, on en déduit que1 +i2p2 n= 3n. On a donc bien prouvé l"existence d"un entiern2Ntel que1 +i2p2 n= 3n. BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 6 sur 136 Sébastien Godillon

2.Démontrer que pour toutk2N, il existe(ak;bk)2Z2tel que1 +i2p2

k=ak+ibkp2. On donnera les expressions deak+1etbk+1en fonction deaketbkpour toutk2N.

IOn raisonne par récurrence.

Il faut penser à la récurrence pour ce type de question. En effet, on connaît le résultat à démontrer pour toutk2Net on a une relation de récurrence évidente entre le rangk+ 1et le rangk:

1 +i2p2

k+1=

1 +i2p2

k

1 +i2p2

De plus, il faut comprendre qu"il n"y a pas besoin de déterminer explicitement toutes les valeurs deaketbk. Il suffit de les exprimer à l"aide des termes précédents, c"est- à-dire de construire les suites(ak)k2Net(bk)k2Npar récurrence, d"où la deuxième partie de la question de l"énoncé qui donne une indication supplémentaire sur la méthode à utiliser.Initialisation. Pourk= 0, on cherche(a0;b0)2Z2tel que1 +i2p2

0=a0+ib0p2. Or on a :

1 +i2p2

0= 1 = 1 +i0p2:

Il suffit donc de posera0= 1etb0= 0.

Hérédité

. On fixek2Net on suppose qu"il existe(ak;bk)2Z2tel que1 +i2p2 k=ak+ibkp2. On cherche(ak+1;bk+1)2Z2tel que1 +i2p2 k+1=ak+1+ibk+1p2. On raisonne par analyse-synthèse.

Analyse. On a :

1 +i2p2

k+1=

1 +i2p2

k

1 +i2p2

a k+ibkp2

1 +i2p2

d"après l"hypothèse de récurrence =ak+i2akp2 +ibkp22bk2 = (ak4bk)|{z} =ak+1+i(2ak+bk)|{z} =bk+1p2: Synthèse. On poseak+1=ak4bketbk+1= 2ak+bk. D"après les calculs effectués dans l"analyse, on obtient :

1 +i2p2

k+1=ak+1+ibk+1p2: Par conséquent, on a bien démontré que s"il existe(ak;bk)2Z2tel que1 +i2p2 k=ak+ibkp2 alors il existe(ak+1;bk+1)2Z2tel que1 +i2p2 k+1=ak+1+ibk+1p2, et cette implication est vraie pour toutk2N. Conclusion. D"après le principe de récurrence, on en déduit que :

8k2N;9(ak;bk)2Z2;

1 +i2p2

k=ak+ibkp2: 3. Montr erque ak+2= 2ak+19akpour toutk2Net déterminer une relation similaire pour(bk)k2N. ISoitk2N. On a d"après les résultats de la question précédente : a k+1=ak4bk|{z} (1)etbk+1= 2ak+bk|{z} (2):BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 7 sur 136 Sébastien Godillon Puisque ces relations sont vraies pour toutk2N, on a aussi que : a k+2=ak+14bk+1|{z} (3)etbk+2= 2ak+1+bk+1|{z} (4): En injectant l"expression(2)dans la relation(3), on obtient : a k+2=ak+14(2ak+bk) =ak+18ak4bk: Or on a4bk=ak+1akd"après la relation(1), d"où : a k+2=ak+18ak+ak+1ak= 2ak+19ak: De même, en injectant l"expression(1)dans la relation(4), on obtient : b k+2= 2(ak4bk) +bk+1=bk+18bk+ 2ak: Or on a2ak=bk+1bkd"après la relation(2), d"où : b

k+2=bk+18bk+bk+1bk= 2bk+19bk:Puisque ces relations sont vraies pour unk2Nfixé, elles sont vraies pour tous lesk2N. On a donc

montré :

8k2N;ak+2= 2ak+19ak

b k+2= 2bk+19bk: 4.

Que valent a0,b0,a1,b1,anetbn?

ID"après l"initialisation de la récurrence utilisée à la question 2, on a obtenu que : a

0= 1etb0= 0:

D"après les résultats de la question 2, on sait quea1=a04b0= 140 = 1etb1= 2a0+b0=

21 + 0 = 2, donc :

a

1= 1etb1= 2:

On peut bien sûr vérifier ce résultat à l"aide de :

1 +i2p2

1= 1|{z}

=a1+i2|{z} =b1p2:D"après le résultat de la question 1(b), on a :

1 +i2p2

n= 3n= 3n|{z} =an+i0|{z} =bnp2:

Donc :

a n= 3netbn= 0: 5. On rappelle que la somme de deux multiples de3est un multiple de3et que si un multiple de3est de la forme2moùm2Zalorsmest un multiple de3. Prouver que pour toutk2N,akn"est pas un multiple de3.

IOn raisonne par récurrence double.

Il faut penser à la récurrence double ici. En effet, on connaît le résultat à démontrer

pour toutk2Net on a obtenu une relation de récurrence double à la question 3.BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 8 sur 136 Sébastien Godillon

Initialisation. D"après les résultats de la question précédente,a0= 1eta1= 1ne sont pas des

multiples de3. Le résultat est donc vrai aux rangsk= 0etk= 1.

Hérédité

. On suppose queaketak+1ne sont pas des multiples de3pour un rangk2Nfixé. Montrons queak+2n"est pas un multiple de3. Par l"absurde, on suppose queak+2est un multiple de3. D"après le résultat de la question 3, on a : a k+2= 2ak+19akdonc2ak+1=ak+2+ 9ak: Or9akest un multiple de3(car9ak= 33ak). On en déduit que2ak+1est un multiple de3comme

somme de deux multiples de3, et donc queak+1est un multiple de3(d"après le rappel de l"énoncé).

Ceci est absurde d"après l"hypothèse de récurrence. Par conséquent,ak+2n"est pas un multiple de3.

On a donc montré que le résultat est vrai au rangk+ 2dès qu"il est vrai aux rangsketk+ 1. Et

cette implication est vraie pour tout rangk2N.

Conclusion

. D"après le principe de récurrence double, on en déduit que le résultat est vrai pour tout

rangk2N, c"est-à-dire queakn"est pas un multiple de3pour tout rangk2N. 6.

Conclur e.

I D"après le résultat précédent,akn"est pas un multiple de3pour toutk2N. En particulier,an

n"est pas un multiple de3. Oran= 3nd"après le résultat de la question 4 et3nest bien un multiple

de3(carn2N?). Donc l"hypothèse de l"énoncé est absurde : il n"existe pas d"entierspetqtels que

=p=q. Par conséquent,l"unique réel2[0;]tel quecos() = 1=3n"est pas une fraction de.

Exercice 2

Résoudre les inéquations suivantes d"inconnuexréelle. (I1)jx2+ 5x2j6j2x+ 2j I

L"inéquation(I1)est bien définie pour toutx2R. À gauche de l"inéquation, on reconnaît un

polynôme du second degré de discriminant = 5241(2) = 33>0qui admet pour racines x 1 = (5 +p33)=2etx2= (5p33)=2. À droite de l"inéquation, on reconnaît un polynôme du premier degré qui admet pour racine évidente1. Puisquep33>p25= 5, on ax1>0>1et x2<5<1. On obtient donc le tableau des signes suivant :x x 2 + 5x2

2x+ 21x

21x

1+1+00+

0++

On raisonne par disjonction de cas.

1ercas:x2] 1;x2]. Alors :

(I1)()x2+ 5x26(2x+ 2) ()x2+ 7x60 ()x(x+ 7)60: De plus,p33(56)=2 =11=2>7. D"où le tableau des signes suivant :x x + 7x (x+ 7)17x

20+10+++

+00+ BCPST1A lycée Hoche 2020-2021 9 sur 136 Sébastien Godillon

On en déduit que dans le cas oùx2] 1;x2]:

(I1)()x2[7;x2]:

2ecas:x2[x2;1]. Alors :

(I1)() (x2+ 5x2)6(2x+ 2) ()x2+ 3x4>0:On reconnaît un polynôme du second degré de discriminant = 3241(4) = 25>0qui admet pour racines(3 +p25)=2 = 1et(3p5)=2 =4. Puisquex2<5<4, on a le tableau des signes suivant :x x 2 + 3x41x

2411+1++00+

On en déduit que dans le cas oùx2[x2;1]:

(I1)()x2[x2;4]:

3ecas:x2[1;x1]. Alors :

(I1)() (x2+ 5x2)62x+ 2 ()x2+ 7x>0 ()x(x+ 7)>0: Puisquex1>0, on a en reprenant le tableau des signes obtenu dans le 1ercas :x x (x+ 7)1710x

1+1+00++

On en déduit que dans le cas oùx2[1;x1]:

(I1)()x2[0;x1]:quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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