[PDF] Probabilités et statistiques La loi de probabilité d'

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Jean-Marc Fédou

L objet de ce cours est d une part de réviser les bases de probabilités et de statistiq ues de l an dernier, en complétant les rappels et compléments de mathématiques. Nous aborderons également des problèmes de corrélaton et d apprentissage.

Variables aléatoires discrètes (rappels)

Variables aléatoires continues (rappels)

Vecteurs aléatoires-Algèbre linéaire

Estimation statistique

Tests statistiques

Apprentissage

On utilisera le logiciel

Mathematica

comme outil d aide et de test.

2 M1Cours1.nb

évènement aléatoire

réalisé

M1Cours1.nb 3

4 M1Cours1.nb

M1Cours1.nb 5

p()=1 L'évènement impossible est l'ensemble vide et p()=0

Si AB, alors p(A)p(B)

Si A et B sont incompatibles, c'est à dire lorsque AB=, alors p(A

B)=p(A)+p(B)

L'évènement contraire de A est A, complémentaire de A dans , et vérifie p A 1 p A

Si A et B ne sont pas incompatibles, alors

p(A

B)=p(A)+p(B)-p(A

B)

6 M1Cours1.nb

Deux évènements sont dits indépendants lorsque le résultat de l un ne dépend pas du résultat de l autre.

Exemples

. Tous les problèmes de tirage avec remise Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Quelle est la probabilité d obtenir deux boules blanches en 2 tirages avec remise.

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Définition.

Soient A et B deux évènements avec p(A)

0. La probabilité conditionnelle de B sachant A est p(BA)= p A B p A

Exemples

. Tous les problèmes de tirage sans remise Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Quelle est la probabilité d obtenir deux boules blanches en 2 tirages sans remise.

8 M1Cours1.nb

M1Cours1.nb 9

Definition

. Une variable aléatoire est une fonction de l'ensemble des évènements dans (pour le moment).

[_] = [ [ {}] ] /

0.000960.00980.044440.115650.20426

0.24574

0.20472

0.11936

0.04467

0.00949

0.00091

0.20.40.60.81.0

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

10 M1Cours1.nb

Definition

. La loi de probabilité d'une variable aléatoire X sur un univers est la fonction de dans [0,1] définie par f(x)=p(X=x) .

Certains auteurs l

appellent également fonction de densité, ici nous réserverons le terme de fonction de densités aux var iable aléatoires continues. La loi de probabilité de la variable aléatoire somme de deux dés est définie par le tableau suivant [_] = [{ }] + [{ }]

24681012

0.05 0.10 0.15

M1Cours1.nb 11

12 M1Cours1.nb

1 36
1 18 1 12 1 9 5 36
1 6 5 36
1 9 1 12 1 18 1 36

2 3 4 56 7 8 910 11 12

M1Cours1.nb 13

Definition

. La fonction de répartition d'une variable aléatoire X sur un univers est la fonction de dans [0,1] définie par F(x)=p(Xx) .

La fonction de répartition de la variable aléatoire somme de deux dés est définie par le tableau suivant

14 M1Cours1.nb

1 36
1 12 1 6 5 18 5 12 7 12 13 18 5 6 11 12 35
36
1

2 3 4 56 7 8 910 11 12

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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Une loi de probabilité prend des valeurs entre 0 et 1 La somme des valeurs de la loi de probabilité est égale à 1 : i 1N f x i 1 La fonction de partition est positive ou nulle, croissante, et sa plus grande valeur est 1

16 M1Cours1.nb

L

'espérance E(X) d'une variable aléatoire X correspond à la moyenne des valeurs que l'on obtiendrait en faisant une infinité de tirages. C'est la moyenne

des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leur probab ilité E(X)= i 1N x i p X x i i 1N x i f x i

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La variance Var(X) d'une variable aléatoire X correspond à la moyenne de carrés des distances à l'espérance E(X), que l'on obtiendrait en faisant une

infinité de tirages. Var X E X E X 2 i 1N x i E X 2 p X x i i 1N x i E X 2 f x i L 'écart-type d'une variable aléatoire X est la racine carrée de la variance =Var(X)

18 M1Cours1.nb

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Var X E X 2 E X 2

20 M1Cours1.nb

Le problème est, à partir de deux variables aléatoires discrèt es X et Y, indépendantes, de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire S=X+Y. Pour simplifier, on supposera que X et Y sont à valeurs dans

La loi de probabilité de S est alors

P(S=x)=P

i 0x X i Y x i ) ces évènements sont disjoints donc i 0x P X=i

Y=x-i)

X et Y sont indépendantes donc

i 0x P

X=i)P(Y=x-i)

par définition de f et g i 0x f i g x i i x f i g x i

M1Cours1.nb 21

i x f i g x i X= n i n X i X i X n

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Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle.

Remarque

. Si X est une variable aléatoire d espérance E(X) alors X-E(X) est centrée Une variable aléatoire est dite réduite si son écart type est égal à 1.

Remarque

. Si X est une variable aléatoire de variance 2 alors X est réduite Une variable aléatoire réduite et centrée est dite standardisée

Remarque

. Si X est une variable aléatoire d espérance E(X) et de variance 2 alors X E X est réduite

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Une variable aléatoire de Bernouilli est une variable aléatoire discrète qui ne peut prendre que les

deux valeurs 1 et 0 avec probabilité p et q=1-p. p X p X

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Si X est une variable de Bernouilli de paramètre p,

E(X)=p

V(X)=pq

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On appelle Distribution Binomiale la répétition de n épreuves de Bernouilli indépendantes où

la variable aléatoire est le nombre de succès (obtention de la valeur 1).

Cela revient à tirer au hasard un mot de longueur n sur l'alphabet {0,1}, chaque 0 ayant une probabilité q d'apparaitre et chaque 1 un

probabilité p.

La probabilité qu

un mot particulier w w 1 w 2 w n apparaisse ne dépend que du nombre de 0 et de 1 dans w et est égal à p w 1 q w 0

Il y a

n k mots de longueur n ayant exactement k lettres égales à 1et on en déduit que p(X =k)= n k p k q n k

26 M1Cours1.nb

M1Cours1.nb 27

28 M1Cours1.nb

Si X suit une Distribution Binomiale de paramètres n et p,

E(X)=np

V(X)=npq

M1Cours1.nb 29

On appelle Distribution géométrique la répétition d'épreuves de Bernouilli indépendantes jusqu'à obtention d'un succès (obtention de la valeur 1), où

la variable aléatoire est le nombre de répétitions. Dire que X=k signifie que les (k-1)premiers tirages ont été déf avorables et qu un succès au k-ième tirage a été réalisé, on a donc p X k q k 1 p

30 M1Cours1.nb

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0

M1Cours1.nb 31

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

32 M1Cours1.nb

Si X suit une Distribution Géométrique de paramètres n et p, E(X)= 1 p V(X)= q p 2 La somme de deux Distributions Géométriques de paramètres n 1 p et n 2 p est la distribution géométrique de paramètre n 1 n 2 ,p

M1Cours1.nb 33

La distribution de Poisson intervient dans tous les problèmes d occurences d évènements rare en un laps de temps fixé.On peut considérer soit le nombre d occurences de ces évènements dans un laps de temps fixé, soit l intervalle de temps entre deux évènements consécutifs.

À titre d

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