[PDF] BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1

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Les calculatrices sont autorisées.

L"orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1

1. On donne : A = 2 113 4

( )- +( )( ) et B = 532
115

Calculer les nombres A et B. Écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions

irréductibles.

2. Calculer les quatre cinquièmes de 35

8. On appellera C le résultat donné sous forme de fraction irréductible.

3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2

En faisant apparaître les étapes, calculer D = ()

2300 52 10 5 10

2 18

Donner

l"écriture scientifique de D.

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3

On donne la fonction f définie par : f (x) = ( ) ( )( )24 1 3 2 4 1x x x+ - - +

1. a) Développer et réduire f (x) . Démontrer que f (x) = 4x2 + 13x + 3.

b) La fonction f est elle une fonction affine ? Justifier.

2. Factoriser f (x) .

3. Résoudre l"équation ()()4 1 3 0x x+ + =.

4. Calculer l"image de -10 par la fonction f.

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4

Aujourd"hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.

Dans combien d"années l"âge de Pierre sera-t-il le double de l"âge de Marc. Votre démarche sera bien détaillée sur la copie. (aide : appeler x le nombre d"années cherché...).

Activités numériques (12 points)Activités numériques (12 points)Activités numériques (12 points)Activités numériques (12 points)

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1

Janvier 2008 Janvier 2008 Janvier 2008 Janvier 2008 ---- durée durée durée durée : 2 heures: 2 heures: 2 heures: 2 heures

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1

Un skieur descend une piste noire [AB] suivie d"une piste rouge [BC]. On donne : BH = 50 m ; BK = 135 m ; CH = 200 m ; aABK = 26°.

1. Calcule la longueur AB de la piste noire.

Arrondis au décimètre.

2. Calcule la mesure de l"angle aBCH que fait

la piste rouge avec l"horizontale.

Arrondis au degré.

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2

On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm.

La figure ci-contre n"est pas en vraie grandeur.

1. Démontrer que ce triangle est rectangle en N.

2. Calculer le sinus de l"angle aDBN. Arrondir le résultat au millième.

3. En déduire la mesure de l"angle aDBN arrondie au degré.

Exercice 3

Exercice 3Exercice 3Exercice 3

La figure ci-dessous n"est pas à refaire sur la copie. Elle n"est pas donnée en vraie grandeur.

On donne AM = 5 cm ; AB = 15 cm ; AN = 4 cm ; AC = 12 cm et AH = 7,5 cm. Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D. 1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

2. Calculer AD. Justifier.

3. Pourquoi peut-on dire que les angles aABC et aAMN ont la même mesure ? Justifier.

4. Prouver que le triangle AHB est rectangle en H.

5. Prouver que l"aire du triangle ABC est égale à 9 fois l"aire du triangle AMN. Bien expliquer.

Activités géométriques (1Activités géométriques (1Activités géométriques (1Activités géométriques (12 points)2 points)2 points)2 points)

C B A HL K 135 m
50 m

26°

200 m
B D N

Au cours d"une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole a le choix entre 3 formules de

salaire :

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois 5 11 15

Salaire mensuel en euros avec la formule A

Salaire mensuel en euros avec la formule B

Salaire mensuel en euros avec la formule C

2. Si on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer en fonction de x le salaire

correspondant à chacune des formules.

3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par :

f(x) = 930 g(x) = 40 x + 310 h(x) = 80 x

4. a) Un ouvrier ayant choisi la formule B a gagné 490 € en un mois. Lire graphiquement le

nombre de tonnes de pêches qu"il a ramassé. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture.

b) Retrouver ce résultat par un calcul.

5. a) Lire sur le graphique combien de tonnes de pêches faut-il ramasser pour obtenir le même

salaire avec les formules B et C. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture. b) Retrouver ce résultat par un calcul.

6. Donner, en fonction du nombre de tonnes de pêches cueillies, le tarif le plus intéressant pour

l"ouvrier. Problème(12 points)Problème(12 points)Problème(12 points)Problème(12 points)

FORMULE A: un salaire mensuel de 930 €.

FORMULE B: une somme mensuelle de 310 € à laquelle s"ajoutent 40 € par tonne de pêches cueillies.

FORMULE C: un salaire uniquement basé sur la cueillette : 80 € par tonne de pêches cueillies.

On prendra une page entière, en plaçant l"origine en bas à gauche.

Unités :

? En abscisses : 1 cm pour une tonne de pêches ? En ordonnées : 1 cm pour 100 €

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1

1.

2. Calculer les quatre cinquièmes de 35

8. C = 4 5

´ 35

8 C =

45´7

5

4´2´

C = 7 2

3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier.

A + B + C = 1

12 + 5

12 + 7

2

A + B + C =

1 12 + 5

12 + 4212

A + B + C =

48
12

A + B + C = 4

A + B + C est donc bien un nombre entier !

Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2

D = ()

2300 52 10 5 10

2 18 D =

300 102 10 5 10

20 D =

300 1010 10

20

Activités numériques (12 points)Activités numériques (12 points)Activités numériques (12 points)Activités numériques (12 points)

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1

Janvier 2008 CORRECJanvier 2008 CORRECJanvier 2008 CORRECJanvier 2008 CORRECTIONTIONTIONTION

A = 34

4 3 121
3 4

A = 8 3112 12

A = 1 -

11 12 A = 12 12 - 1112 A = 1 12 B = 532
115
B = 6 5 2 2 5 1 5 5 B = 1 2

÷ 6

5 B = 1 2

´ 5

6 B = 5 12

D = 2900,5 10´

D =

2895 10´

Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3

1. a) Développer et réduire f (x) . Démontrer que f (x) = 4x2 + 13x + 3.

f (x) = ( ) ( )( )24 1 3 2 4 1x x x+ - - + f (x) = ()2 216 8 1 12 3 8 2x x x x x+ + - + - - f (x) = 2 216 8 1 12 3 8 2x x x x x+ + - - + + f (x) = 24 13 3x x+ + b) La fonction f est elle une fonction affine ? Justifier. La fonction f n"est pas AFFINE puisqu"elle n"est pas de la forme x ï ax + b.

2. Factoriser f (x) .

f (x) = ( ) ( )( )24 1 3 2 4 1x x x+ - - + f (x) = ()()4 1 4 1 3 2x x x? ?+ + - -? ? f (x) = ()()4 1 4 1 3 2x x x? ?+ + - -? ? f (x) = ()[]4 1 4 1 3 2x x x+ + - + f (x) = ()()4 1 3x x+ +

3. Résoudre l"équation ()()4 1 3 0x x+ + =.

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul, donc :

4x + 1 = 0 ou x + 3 = 0

4x = - 1 x = - 3

x = - 0,25 Les solutions de l"équation sont - 0,25 et - 3

4. Calculer l"image de -10 par la fonction f.

f (- 10) = 4 ´ (- 10)2 + 13 ´ (- 10) + 3 f (- 10) = 4´ 100 - 130 + 3 f (- 10) = 400 - 130 + 3 f (- 10) = 273 l"image de -10 par la fonction f est 273.

Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4

Aujourd"hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.

Dans combien d"années l"âge de Pierre sera-t-il le double de l"âge de Marc.

J"appelle x le nombre d"années cherché

? Actuellement Marc a 11 ans. Dans x années il aura 11 + x ans ? Actuellement Pierre a 26 ans. Dans x années il aura 26 + x ans L"âge de Pierre sera le double de celui de Marc si : 26 + x = 2 ´ (11 + x )

Je résous cette équation :

26 + x = 22 + 2 x

26 - 22 = 2x - x

4 = x

Conclusion : dans 4 ans, l"âge de Pierre sera

le double de celui de Marc

Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1

Un skieur descend une piste noire [AB] suivie d"une piste rouge [BC]. On donne : BH = 50 m ; BK = 135 m ; CH = 200 m ; aABK = 26°.

1. Calcule la longueur AB de la piste noire.

Arrondis au décimètre.

Dans le triangle ABK rectangle en K :

cos aABK = BKAB cos 26° = 135
AB AB = 135
cos26°

AB » 150,2 m

2. Calcule la mesure de l"angle aBCH que fait

la piste rouge avec l"horizontale.

Arrondis au degré.

Dans le triangle BCH rectangle en H :

tan aBCH = BHCH tan aBCH = 50 200
aBCH » 14°

Exercice 2

Exercice 2Exercice 2Exercice 2

On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm.

1. Démontrer que ce triangle est rectangle en N.

Calculons d"une part : BD2 = 132 = 169

Calculons d"autre part : BN

2 + ND2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169

On a donc BD

2 = BN2 + ND2

Donc le triangle DNB est rectangle en N d"après la réciproque du théorème de Pythagore.

2. Calculer le sinus de l"angle aDBN. Arrondir le résultat au millième.

Dans le triangle DNB rectangle en N :

sin aDBN = DN BD sin aDBN = 5 13

Activités géométriques (12 points)Activités géométriques (12 points)Activités géométriques (12 points)Activités géométriques (12 points)

C B A HL K 135 m
50 m

26°

200 m
B D N sin aDBN » 0,385

3. En déduire la mesure de l"angle aDBN arrondie au degré.

On a donc :

aDBN » 23°

Exercice 3

Exercice 3Exercice 3Exercice 3

On donne AM = 5 cm ; AB = 15 cm ; AN =

4 cm ; AC = 12 cm et AH = 7,5 cm.

Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires

en D.

1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

a. Calculons d"une part : AM

AB = 5

15 = 1

3 b. Calculons d"autre part : AN AC = 4

12 = 1

3

On a donc

AM AB = AN AC

De plus, les points A,M,B et A,N,C sont

alignés dans le même ordre. Donc

les droites (MN) et (BC) sont parallèles d"après la réciproque du théorème de Thalès.

2. Calculer AD. Justifier.

c. Les droites (BM) et (HD) sont sécantes en A. d. Les droites (MD) et (BH) sont parallèles (puisque (MN) et (BC) le sont, et que D (MN) et H

Î (BC) )

Donc d"après le

théorème de Thalès : AM AB = AD AH 5 15 = AD 7,5

AD = 5 ´ 7,5 ÷ 15

AD = 2,5 cm

3. Pourquoi peut-on dire que les angles aABC et aAMN ont la même mesure ? Justifier.

Les angles aABC et aAMN sont correspondants, et comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors ces deux angles ont la même mesure (propriété de 5ème)

4. Prouver que le triangle AHB est rectangle en H.

e. Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires. f. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l"une est perpendiculaire à l"autre. Donc (AH) et (BC) sont perpendiculaires, donc AHB est rectangle en H.

5. Prouver que l"aire du triangle ABC est égale à 9 fois l"aire du triangle AMN. Bien expliquer.

Comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, on a une configuration de Thalès.

Le triangle ABC est donc un

agrandissement du triangle AMN de coefficient k = 15 5 = 3 Or dans un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par k 2. Donc l"aire du triangle ABC est égale à 9 fois l"aire du triangle AMN

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois 5 11 15 Salaire mensuel en euros avec la formule A 930 930 930 Salaire mensuel en euros avec la formule B 510 750 910 Salaire mensuel en euros avec la formule C 400 880 1200

2. Si on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer en fonction de x le salaire

correspondant à chacune des formules. ? Avec la formule A : le prix sera 930 € ? Avec la formule B : le prix sera 40x + 310 € ? Avec la formule C : le prix sera 80x €

3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par :

f(x) = 930 g(x) = 40 x + 310 h(x) = 80 x Problème(12 points)Problème(12 points)Problème(12 points)Problème(12 points)

4. a) Un ouvrier ayant choisi la formule B a gagné 490 € en un mois. Lire graphiquement le

nombre de tonnes de pêches qu"il a ramassé. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture.

Graphiquement, je lis qu"il a ramassé 4,5 tonnes de pêches (voir les pointillés). b) Retrouver ce résultat par un calcul.

Je résous l"équation 40 x + 310 = 490

40 x = 490 - 310

40 x = 180

x = 180 40
x = 4,5 il a ramassé 4,5 tonnes de pêches

5. a) Lire sur le graphique combien de tonnes de pêches faut-il ramasser pour obtenir le même

salaire avec les formules B et C. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture. Graphiquement, je lis qu"il faut ramasser 7,7 tonnes de pêches (voir les pointillés). b) Retrouver ce résultat par un calcul.

Je résous l"équation 40 x + 310 = 80 x

310 = 80 x - 40 x

310 = 40 x

x = 310 40
x = 7,75 il faut ramasser 7,75 tonnes de pêches

6. Donner, en fonction du nombre de tonnes de pêches cueillies, le tarif le plus intéressant pour

l"ouvrier.

? Pour moins de 11,5 tonnes environ de pêches ramassées, c"est le tarif A le plus intéressant

(droite rouge) pour l"ouvrier. ? Pour plus de 11,5 tonnes environ de pêches ramassées, le tarif C (droite verte) est le plus intéressant.quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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