[PDF] 1 Famille libre PDF

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Familles libres génératrices et bases. Question 1. Comment montrer qu'une famille U est libre ? Méthode 1. Si U comprend un unique élément u

Familles libres génératrices

http://math.univ-lille1.fr/~doeraene/svsem4/bases.pdf

Espaces vectoriels de dimension finie

est donc égal à sans que tous les coefficients ne soient nuls. Ce qui montre que la famille n'est pas une base. 1.3) Dimension d'un espace vectoriel.

Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base

Dans R3 donner un exemple de famille libre qui n'est pas génératrice. nous devons montrer qu'alors les coefficients a

Dimension finie

La famille {v1 v2} est génératrice de 2 car tout vecteur de 2 se Montrer qu'une famille de vecteurs contenant une famille génératrice est encore une ...

Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

Ceci montre que est une famille libre. est donc une base de ?1. 2. Étude des suites (

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

18 mar. 2015 Méthode : Pour montrer qu'une famille de vecteurs est génératrice on peut montrer un des points suivants a) Montrer que chaque vecteur ...

1. Famille libre

M = aM1 + bM2 + cM3 + dM4. (4) C'est un bon exercice de prouver que les quatre matrices suivantes forment aussi une base de M2(R)

Espaces vectoriels

Montrer que est un sous-espace vectoriel de ?. 3 . 2. Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base.

Rappels sur les applications linéaires

? Une base étant une famille libre et génératrice et une application bijective étant injective et surjective le troisi`eme item est un corollaire des deux

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Noter que 0 est combili de n'importe quelle famille de vecteurs { v1 vn} corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur v ? V est combili de

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(1) Montrer qu'une famille de vecteurs contenant une famille génératrice est encore une famille génératrice de E (2) Montrer que si f : E ? F est une

[PDF] MATHS ESPACES VECTORIELS 1 MyPrepa

Pour montrer que U est une famille génératrice de E on prend un x quelconque dans E et on cherche à l'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la

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1 fév 2017 · b) Une famille libre maximale dans E est une base Libre maximale signifie que si on ajoute un vecteur de E on obtient une famille liée c) Une

[PDF] Chapitre 4 Base et génératrice

On prend un vecteur quelconque b ? Rn Puisque la famille est une famille génératrice ce b s'exprime en combinaison linéaire des vi Unicité : Si jamais on

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3 Montrer que toute famille inclue dans une famille libre est libre 4 Montrer que si f : E ? F est une application linéaire et que

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C'est comme dans R3 sauf qu'ici les coefficients sont des nombres complexes Indication pour l'exercice 5 ? Il suffit de montrer que la famille est libre (

[PDF] Fiche méthode 3 : Montrer quune famille est libre - Florian HECHNER

Montrer qu'une famille est libre Dans toute la suite E désigne un espace vectoriel (pas forcément de dimension finie) 1 La méthode générale

[PDF] Chapitre 2 : Familles libres familles génératrices bases

et donc on voit bien que ?1 = ?2 = ?3 = 0 donc la famille (u1u2u3) est bien libre Méthode : Soit (u1 un) une famille de vecteurs i Pour montrer que

[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

Problème : montrer que ? est génératrice Soit un vecteur quelconque de La famille ? ? { } à + 1 éléments devient liée vu

Comment démontrer si une famille est génératrice ?
Définition 3 Une famille F = { v1,, vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur v ? V est combili de ses vec- teurs. Ainsi par exemple le vecteur (0, 1, 2) est combili de (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4) avec les coefficients ? = ?1,µ = 1,? = 0.
Quand Dit-on qu'une famille est génératrice ?
En alg?re linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace. d'éléments de E (vecteurs) est dite génératrice de E si : . Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de E.
Comment montrer qu'un ensemble est générateur ?
On dit qu'un système S=(u₁,u₂,.,u_n) est 'générateur' pour l'espace E si tout vecteur de E peut s'écrire comme une combinaison linéaire des u_i. Cela revient à dire que E est le plus petit sous-espace contenant tous les u_i.
1. Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la famille {v1,v2,v3} est génératrice.

1v1+2v2++pvp= 0

1= 0; 2= 0; ::: p= 0:

3P1(X)P2(X) + 2P3(X) = 0:

8x2Rcos(x) +sin(x) = 0:

? ???? ?????= 0?

1= 1;2= 1;3=1?

1v1+2v2++pvp= 0;

????k6= 0???? ?? ????? ?? ??????k? ??????? ???? ??? ?????? ?????? ? ?????? ?? ????? kvk=1v12v2 pvp; ??vk?? ????? ??? ?? ?????? ??????? ?????k6= 0? ?? ???? ??????? ????? ??????? ??? k?? ???? ??????? v k=1 kv12 kv2 p kvp; v k=1v1+2v2++pvp; ??vk?? ????? ??? ?? ?????? ??????? ???????vk?? ?????? ??????? ?? ?????

0 =1v1+2v2+ vk++pvp;

F??? ?????

???? ??E? ?????ff(v1);:::;f(vp)g??? ??? ??????? ???? ??F? ??????? ????? ??E? ?????ff(v1);:::;f(vp)g??? ??? ??????? ????? ??F? v

1;:::;vp?

8v2E91;:::;p2Kv=1v1++pvp

v=1v1++pvp: v p=1v1++p1vp1: ?????? ?? ???????v??????? ? v=1v1++p1vp1+p(1v1++p1vp1): v= (1+p1)v1++ (p1+pp1)vp1; 2v2 1v1v 2v E? v=1v1+2v2++nvn: :Kn!E (1;2;:::;n)7!1v1+2v2++nvn

K???? ???

v=1v1+2v2++nvn:

11= 0; 22= 0; :::; nn= 0?? ????1=1; 2=2; :::;n=n:

e 1=0 B BB@1 0 01 C

CCAe2=0

B BB@0 1 01 C

CCA::: en=0

B BB@0 0 11 C CCA ? ????? ??????? ???? ?? Rn[X]?(1;1 +X;1 +X+X2;:::;1 +X+X2++Xn)? M 1=1 0 0 0 M 2=0 1 0 0 M 3=0 0 1 0 M 4=0 0 0 1 c d

M=aM1+bM2+cM3+dM4:

??M2(R)? M

01=1 0

1 0 M

02=1 0

0 1 M

03=0 1

1 0 M

04=1 3

4 2

L B G?

??? ???? ??E? ???? ????? ??? ????? ??B? ???? ??? ????? ?????B??? ?????? ????? ??? ?? ??????? ??????g??? ???? ??E? ?????CardL6CardG? ?? ????? ????B??? ???? ??E????? ???CardB=n? ??????CardL6CardB=n? ???F??? ??? ???? ??E? ????F??? ??? ??????? ????? ??E? ???? ??E? n= CardB6CardF=n? ????B=F??F??? ???? ??? ????? R 3? v 1=0 @1 1 41
A v2=0 @1 3 t1 A v3=0 @1 1 t1 A

1+2+3= 0

1+ 32+3= 0

41+t2+t3= 0:

1+2+3= 0

22= 0
(t4)2+ (t4)3= 0()8

1+3= 0

2= 0 (t4)3= 0 0 ???? ????? ???? ?? ???????fv1;v2g??? ????? 1;j

2;:::;jn

v j=j 1g1+j

2g2++jngn:

v n+1=n+11g1+n+12g2++n+1ngn: w j=n+1nvjjnvn+1=nX k=1(n+1nj kjnn+1 k)gk:

1w1+2w2++nwn= 0:

n+1n1v1+n+1n2v2++n+1nnvn(11n++nnn)vn+1= 0E E? ???dimF6dimE? ???F=E()dimF= dimE? K=n k2Nj 9fv1;v2;:::;vkg F??fv1;v2;:::;vkg??? ??? ??????? ????? ??Fo ??????? ??F??? ????? ??? ????Vect(v1;:::;vp)? ????? ?? ???????fv1;:::;vp;wg?? ???? ??? ???? ????? ??????p?? ?????? ??? ?? ??????? ??K?? ?? ???????fv1;:::;vp;wg??? ????

F=G()dimF= dimG

F=xyz

2R3j2x3y+z= 0??G= Vect(u;v)??u=111

??v=211 ?????? ???F=G? ??R3????? ??? ????F?? ????

Card(A[B) = CardA+ CardBCard(A\B):

B ????BG=fu1;:::;up;wp+1;:::;wrg??G? fu1;:::;up;vp+1;:::;vq;wp+1;:::;wrg pX i=1 iui+qX j=p+1 jvj+rX k=p+1 kwk= 0 ?? ????u=Pp i=1iui?v=Pq j=p+1jvj?w=Pr k=p+1 kwk? ????? ????? ????u+v2F v=Pq ???? ??F\G?? i=1iui+Pr k=p+1 kwk= 0? ??BG??? ??? ???? ??G? ????i= 0?? k= 0???? ????i;k? ?????BF+G=fu1;:::;up;vp+1;:::;vq;wp+1;:::;wrg ??? ??? ???? ??F+G? CardBF\G=p?dimF= CardBF=q?dimG= CardBG=r?dim(F+G) = CardBF+G= q+rp? ?? ??? ?????? ????dim(F+G) = dimF+ dimGdim(F\G)? ????dimF= 3??dimG= 4? ??? ??????? ???? ??F\G? ??F+G? ??????? ?????FG=E? dimGdim(F+G) = 3 + 4dim(F+G) = 7dim(F+G)? ?????F+G??? ?? ??G?? ???? ?????? ?? ????? ??????? ????E? ????? ?F= Vect123 ;312 ??G= Vect770 ;6511 ? ??????? ???F=G? ;t11 ?G= Vect111 dimF= 3??dimG62? ??? ??????? ???? ????dim(F\G)? ?? ????dim(F+G)? ????F+G=E??dimF+dimG= dimE? ?????F\G=f0Eg??dimF+dimG= dimE? ?????rgfv1;:::;vpg? ????? 06rgfv1;:::;vpg6p? fv1;:::;vpg??? ?????? 1010
?v2= 0111
??v3= 1101
??R4? ?? ???? ?? ?? ???????fv1;v2;v3g??? ???? ??????? ????? ? ?? ?? ?? ???? ?? ???????fv1;v2g??? ????? ???? ??? ?? ???????fv1;v2;v3g??? ????? ?? ????? ??v1=v2v3? ???? ?? ???? ??fv1;v2;v3g??? ???? ? 0 B

BBBBBB@+ 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

+ 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 + 0 01 C

CCCCCCA

??????? ????? ???????0 @1 0 0 0

0 2 0 0

K???? ???

1C1++rCr= 0:

1tC1++rtCr= 0:

1010
?v2= 0111
??v3= 1101
B

B@1 01

0 1 1 1 1 0

0 1 11

C CA: 0 B

B@1 01

0 1 1 1 1 0

0 1 11

CAC3!C3+C10

B@1 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 11

CAC3!C3C20

B@1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 1 01

C CA v 1=0 B B@1 1 1 11 C

CAv2=0

B B@1 2 0 11 C

CAv3=0

B B@3 2 1 31
C

CAv4=0

B B@3 5 0 11 C

CAv5=0

B B@3 8 1 11 C CA 0 B

B@11 3 3 3

1 2 2 5 8

1 01 0 1

1 131 11

C CA 0 B

B@1 0 0 0 0

11 0 0 0

1411 0 0

1616 0 01

C CA? ???3?

Vect(v1;v2;v3;v4;v5) = Vect

1111
0146

001116

???? ??? ?? ???? ?? ?? ??????? ?? ? ???????f121 ;342 ;021 ;221 g? 0 @1 2421

02 4 2 0

1 121 11

A ??? ? ???????v1=101 ?v2=011 ??v3=111 ??? ? ???????v1= 1010
?v2= 0111
?v3= 1101
??v4=quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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Comment démontrer si une famille est génératrice ?

Quand Dit-on qu'une famille est génératrice ?

Comment montrer qu'un ensemble est générateur ?

1v1+2v2++pvp= 0

1= 0; 2= 0; ::: p= 0:

3P1(X)P2(X) + 2P3(X) = 0:

8x2Rcos(x) +sin(x) = 0:

1= 1;2= 1;3=1?

1v1+2v2++pvp= 0;

0 =1v1+2v2+ vk++pvp;

F??? ?????

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8v2E91;:::;p2Kv=1v1++pvp

K???? ???

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F=G()dimF= dimG

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Card(A[B) = CardA+ CardBCard(A\B):

BBBBBB@+ 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

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0 2 0 0

1 11 01

0 2 1 0

1 11 11

B@11 3 3 3

1 2 2 5 8

1 01 0 1

1 131 11

B@11 3 3 3

1 2 2 5 8

1 01 0 1

1 131 11

B@1 0 0 0 0

1 31 2 5

1 1432

1 26421

B@1 0 0 0 0

1 31 2 5

1 1432

1 26421

B@1 0 0 0 0

11 3 2 5

14 132

16 2421

B@1 0 0 0 0

11 3 2 5

14 132

16 2421

B@1 0 0 0 0

11 0 0 0

14111122

161616321

B@1 0 0 0 0

11 0 0 0

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