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Chapitre6Espaces vectoriels

Remarque

•Attention!Les espaces vectoriels sont séparés en deux parties dans le programme. Une "introduction

aux espaces vectoriels" est d"abord traitée en cours, puis plus tard dans l"année sont ajoutés des "Com-

pléments sur les espaces vectoriels" avec notamment la notion d"espace vectoriel de dimension finie. Par

soucis de cohérence, nous avons souhaité mettre tous ces points dans le même chapitre. Chaque question

ou méthode faisant partie de ces "Compléments sur les espaces vectoriels" abordés plus tard au cours

de la 1ère année est accompagnée du symbole?. Si vous n"avez pas encore étudié ces compléments, ne

vous attardez donc pas sur ces questions et méthodes.

•Dans tout le chapitre,KdésigneRouC.

6.1. Sous-espaces vectoriels

Question 1Comment montrer qu"un espaceFest un sous-espacevectoriel d"un espace vectorielE?

Méthode 1

En montrant les 3 points définissant un sous-espace vectoriel •Kn,K[X],Kn[X],Mn,p(K),F(I,R) (l"ensemble des fonctions deI(I?RouI?N) dans

R) sont des espaces vectoriels.

•Fest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si :

1.Fest inclus dansE

2. 0

E?Fi.e.Fest non vide

3.?α?K,?(u,v)?F2,(αu+v)?F

RAPPEL DE COURS

Cette méthode sera le plus souvent utilisée pour montrer queFest un sous-espace vectoriel deE. C"est un classique.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"ESSEC 2015

SoitE=C0([0,1],R) l"ensemble des fonctions continues sur [0,1] et à valeurs dansR. Soitqune fonction continue sur [0,1] et à valeurs dansR, on noteF(q) l"ensemble défini par :F(q) ={f? C2([0,1],R),?t?[0,1], f??(t) =q(t)f(t)}

Montrer queF(q) est un sous-espace vectoriel deE.

Corrigé•F(q)?E

•Soitf= 0E?t?[0,1],f??(t) = 0 =q(t)f(t)

Doncf?F(q) etF(q)?=∅.

•Soientα?Ret (f,g)?(F(q))2. On poseh=αf+g. On a :?t?[0,1]h??(t) =αf??(t)+g??(t) =αq(t)f(t)+q(t)g(t) =q(t)(αf+g)(t) =q(t)h(t)

D"où?t?[0,1],h??(t) =q(t)h(t)

Donch?F(q) i.e.αf+g?F(q).

AinsiF(q) est un sous-espace vectoriel deE

1 Méthode 2En montrant queF= vect(U)oùUest une famille de vecteurs deE

SoientEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.

On appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille (u1,u2,...,up) et on note vect(u1,u2,...,up) l"ensemble des combinaisons linéaires de la famille (u1,u2,...,up).

On a : vect(u1,...,up) =?

p? i=1λ iui,(λ1,...,λp)?Kp? vect(u1,...,up) est un sous-espace vectoriel deE.

RAPPEL DE COURS

Pour montrer qu"un ensembleFest un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE, on peut

chercher à exprimerFsous forme d"un vect d"éléments deE. L"interêt de cette méthode est

de pouvoir ensuite facilement trouver une base.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitF={P?R4[X], P(-1) =P(0) =P(1) = 0}

Montrer queFest un sous-espace vectoriel deR4[X].

CorrigéF={P?R4[X]/ P(-1) =P(0) =P(1) = 0}

={(X-1)X(X+ 1)(aX+b),(a,b)?R2}={(X3-X)(aX+b),(a,b)?R2} ={a(X4-X2) +b(X3-X),(a,b)?R2}= vect(X4-X2,X3-X)

DoncFest un sous-espace vectoriel deR4[X]

Question 2Comment montrer qu"un espaceFn"est pas un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE?

Méthode

En montrant qu"un des 3 points définissant un sous-espace vectoriel n"estpas vérifié Pour montrer qu"une partieFdeEn"est pas un sous-espace vectoriel deEon peut :

•Montrer que 0En"appartient pas àF

•Trouverλ?Ketu?Ftel queλun"appartient pas àF. •TrouveruetvdansFtel queu+vn"appartient pas àF.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"ESCP 2004On noteEl"ensemble des fonctionsfdeRdansRpour lesquelles il existe une suite réelle

s= (sn)n?N?, dite adaptée àf, telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =snf(nx)

1. Montrer que les fonctions constantes appartiennent àE.

2. SoitAla fonction deRdansRqui àxassociex-1

2. Établir queAest un élément de

E.

3.Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel deF(R,R)?

Corrigé1. Soitfune fonction constante deRdansR. Alors?c?R,?x?R, f(x) =cet ainsi : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =n-1? k=0c=n×c=n×f(nx) Donc en posant?n?N?, sn=n, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que :

Sous-espaces vectoriels2

?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+kn? =sn×f(nx)

Doncf?E.

Donc le fonctions constantes appartiennent àE.

2.?n?N?,?x?R,

n-1? k=0A? x+k n? =n-1? k=0? x+kn-12? =n-1? k=0? x-12? +1nn-1? k=0k =n? x-1 2? +1n×n(n-1)2=nx-n2+n-12=nx-12 = 1×A(nx) Donc en posant?n?N?, sn= 1, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0A? x+x n? =sn×A(nx)

DoncA?E

3. NotonsB→x?→12. Supposons queA+B?E.

Alors il existe un suite (sn)n?N?telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0? x+k n? =sn×nx

En particulier, pourx= 0 :?n?N,n-1?

k=0? 0 +k n? =sn×n×0 = 0

Donc?n?N?,1

nn-1? k=0k= 0 i.e.1n×(n-1)×n2= 0

D"où?n?N?, n-1 = 0. On a une contradiction.

DoncA+B /?E, orA?EetB?E.

AinsiEn"est pas un sous-espace vectoriel deF ?(R,R) Question 3Comment montrer une égalité d"espaces vectoriels?

Méthode 1

Par double inclusion

Il s"agit d"une méthode à utiliser principalement lorsque les espaces sont définis de manière

abstraite et non totalement explicite. On utilisera alors les méthodes classiques pour montrer une double inclusion.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitn≥2. SoitA? Mn(R). SoitR[A] le sous-espace vectoriel deMn(R) défini par

R[A] ={P(A), P?R[X]}(Par exemple :A3+ 4A?R[A])

Zdésigne un polynôme annulateur non nul deAet de degré minimal, (on notedle degré deZ).

1. Pour tout polynômePdeR[X], montrer qu"il existe un unique couple (Q,R) de poly-

nômes deR[X] tel que :P=ZQ+Ret deg(R)< d.

2. En déduire queR[A] = vect(In,A,...,Ad-1)

Corrigé1. SoitP?R[X]. Par division euclidienne : Il existe un unique couple de polynôme (Q,R) tel queP=ZQ+Ravec deg(R)2.•CommeR[A] est un sous-espace vectoriel deMn(R) contenant les matrices I n=A0,A,...,Ad-1,on a : vect(In,A,...,Ad-1)?R[A] •Réciproquement, soitP(A)?R[A], avecP?R[X]. D"après la question précédente, il existe un unique couple (Q,R)?(R[X])2tel queP=ZQ+Ravec deg(R)< d.

On a alors :P(A) =Z(A)Q(A) +R(A) =R(A)

Sous-espaces vectoriels3

DoncP(A) =R(A) carZ(A) = 0M(R).

De plus, deg(R)< d, doncR(A)?vect(In,A,...,Ad-1)

On a donc :P(A)?vect(In,A,...,Ad-1)

DoncR[A]?vect(In,A1,...,Ad-1)

Ainsi,R[A] = vect(In,A,...,Ad-1)

Méthode 2?Par inclusion et égalité de dimensions SoientAetBdes espaces vectoriels de dimension finie.

SiA?Bet dim(A) = dim(B) alorsA=B.

RAPPEL DE COURS

Cette méthode est très fréquemment utilisée lorsqu"on a déjà démontré (ou alors qu"on est

capable de le faire facilement) que les dimensions des deux espaces sont égales. Il suffit alors de montrer la plus simple des deux inclusions.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

Exercice?On considère les vecteurs deR3suivants :u= (1,-1,1), v= (0,-1,2), w= (1,-2,3)

SoientG={(x,y,z)?R3, x+ 2y+z= 0}etF= vect(u,v,w)

On admet queGest un sous-espace vectoriel deR3.

Montrer queF=G.

Corrigé•On remarque queu+v=w.

On aF= vect(u,v,w) = vect(u,v,u+v) = vect(u,v)

Oruetvne sont pas colinéaires donc : (u,v) est une base deFet dim(F) = 2 •G={(x,y,z)?R3, x=-2y-z}={(-2y-z,y,z) (y,z)?R2} ={y(-2,1,0) +z(-1,0,1),(y,z)?R2}

DoncG= vect((-2,1,0),(-1,0,1))

Or (-2,1,0) et (-1,0,1) ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre deG. D"où ((-2,1,0),(-1,0,1)) est une base deG, dim(G) = 2 Si (e1,...,er) est une base deFalors :F?G?? ?i??1,r?, ei?G

RAPPEL DE COURS

F= vect(u,v) et (u,v) est une base deF.

Or?1 + 2×(-1) + 1 = 0 doncu?G

0 + 2×(-1) + 2 = 0 doncv?G

AinsiF?G

Comme dim(F) = dim(G) = 2 etF?G, on aF=G

6.2. Familles libres, génératrices et bases

Question 1Comment montrer qu"une familleUest libre?

Méthode 1

SiUcomprend un unique élémentu, en montrant queu?= 0 SiUest une famille à 1 élément et que cet élément est non nul, alorsUest libre.

RAPPEL DE COURS

Familles libres, génératrices et bases4

Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 1, il suffit d"appliquer littéralement lerappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceJustifier que la famille ((2,5)) est une famille libre deR2 Corrigé(2,5)?= (0,0) donc (2,5) est une famille libre deR2. Méthode 2SiUest une famille à 2 élementsuetv, en montrant queuetvsont noncolinéaires SoitU= (u,v) une famille à deux éléments. uetvsont non colinéaires??Uest libre.

RAPPEL DE COURS

Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 2, il suffit d"appliquer littéralement le rappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceJustifier que la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre. Corrigé(1,2,3) et (0,1,1) sont non colinéaires.

Donc la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre

Méthode 3En utilisant la définition d"une famille libre

SoitEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.

((u1,u2,...,up) est une famille libre) si et seulement si (?(α1,α2,...,αp)?Kp, α1u1+α2u2+

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