[PDF] Note mathématique Une formule générale pour laire dun polygone

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1Note mathématique

Une formule générale pour l"aire d"un polygone

Daniel Audet, département de mathématiques,

Collège Bois-de-Boulogne

daniel.audet@bdeb.qc.ca

Résumé

On développe une formule qui donne l"aire d"un polygone quelconque en fonction seulement des longueurs de ses côtés et diagonales.

Mots clés

: polygone, aire d"un polygone, formule de Héron, formule de Bretschneider, trigo- nométrie de Wildberger.

1 Introduction

Il existe plusieurs formules pour calculer l"aire d"un polygone. Certaines s"appliquent si le polygone est régulier. Par exemple,

Δ =p×a/2,

oùΔ, est l"aire d"un polygone régulier dontpest le périmètre etaest l"apothème (la distance

entre le centre du polygone et le milieu d"un côté).

D"autres s"appliquent dans le cas général d"un polygone simple (non croisé) mais dépendent

d"un système de coordonnées, comme par exemple : 12 ??n i=1(xiyi+1-xi+1yi)???,(1) où (x1,y1) , ..., (xn,yn) sont les sommets du polygone, avec(xn+1,yn+1) = (x1,y1). D"autres encore s"appliquent dans le cas général d"un polygone simple, mais dépendent d"un mélange de longueurs, d"angles et de fonctions transcendantes. Comme par exemple la formule de Lopshits [ 3 c ?Association mathématique du QuébecBulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016-67 12 (a1a2···an-2an-1)M( (((((a 1 a 2... a n-2 a n-1) oùM=( ((((((0 sin(θ1) sin(θ1+θ2)···sin(θ1+θ2+···+θn-2)

0 0 sin(θ2)···sin(θ2+···+θn-2)

0 0 0 ............sin(θn-2)

0 0 0...0)

))))))eta1,a2,...,ansont les longueurs des côtés etθiest l"angle extérieur entre les côtésieti+ 1.Figure1 -θ1entrea1eta2

Il est cependant à noter la formule de Héron qui donne l"aire d"un triangle en fonction des longueursa1,a2,a3de ses trois côtés : ?p(p-a1)(p-a2)(p-a3),oùp= (a1+a2+a3)/2,(2) ainsi que la formule de Bretschneider [ 2 ] qui donne l"aire d"un quadrilatère simple en fonction des longueursa1,a2,a3,a4de ses quatre côtés et des longueursd1,d2des deux diagonales : ?4d21d22-(a21+a23-a22-a24)2/4.(3)

Le résultat présenté est une généralisation de ces deux dernières formules qui s"applique dans

le cas général d"un polygone simple, ne dépend que des longueurs des côtés, est exempte de

toutes fonctions transcendantes et possède une version continue. Après recherches, il s"avère

que cette formule est une redécouverte d"un résultat publié en 1949 [4]. Nous croyons que ce

résultat mériterait d"être d"avantage connu.

68-Bulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016

Noter aussi que ce résultat s"inscrit naturellement dans le cadre de laTrigonométrie rationnelle

de Wildberger [5]. En effet, si on laisse tomber les concepts d"aire et de longueurs au profit de ceux de quadaire (seize fois le carré de l"aire) et de quadrance (le carré de la longueur),

alors notre résultat s"énonce comme une formule quadratique à coefficients entiers qui donne la

quadaire (en anglaisquadrea) d"un polygone simple en fonction des quadrances de ses côtés et diagonales.

2 L"aire d"un polygone simple

Avant de donner le résultat principal, on montre d"abord deux lemmes.

Lemme 1

SoitO,A,Btrois points deR2. Alors le produit scalaire canonique entre les vecteurs# OAet# OBest donné par

2 # OA·# OB=???# OA???2+???# OB???2-???# AB???2, où ????dénote la norme euclidienne.

Démonstration

???# OA???2+???# OB???2-???# AB???2=???# OA???2+???# OB???2-???# OB-# OA???2 ???# OA???2+???# OB???2-???# OB???2+ 2# OA·# OB-???# OA???2 = 2 # OA·# OB . 2

Lemme 2

Soitxi,june suite doublement indexée et doublement périodique de périodenainsi que deux suitesyietzi. Alors n i=1n j=1? ???x i,j+yi+zjxi,j+1+yi+zj+1 x i+1,j+yi+1+zjxi+1,j+1+yi+1+zj+1? ???=n? i=1n j=1? ???x i,jxi,j+1 x i+1,jxi+1,j+1?

DémonstrationPosonsR=?n

i=1? n j=1? ???x i,j+yi+zjxi,j+1+yi+zj+1 x i+1,j+yi+1+zjxi+1,j+1+yi+1+zj+1? Nous montrons, en dérivant, queRne dépend pas desyni desz. Ainsi on peut remplacer lesy

Bulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016-69

et leszpar 0 sans affecter la valeur deR. ∂R∂y k=∂∂y k( n? i=1n j=1? ???x i,j+yi+zjxi,j+1+yi+zj+1 x i+1,j+yi+1+zjxi+1,j+1+yi+1+zj+1? ∂∂y k( k? i=k-1n j=1? ???x i,j+yi+zjxi,j+1+yi+zj+1 x i+1,j+yi+1+zjxi+1,j+1+yi+1+zj+1? ∂∂y k( n? j=1? ???x k-1,j+yk-1+zjxk-1,j+1+yk-1+zj+1 x k,j+yk+zjxk,j+1+yk+zj+1? n j=1? ???x k,j+yk+zjxk,j+1+yk+zj+1 x k+1,j+yk+1+zjxk+1,j+1+yk+1+zj+1? n? j=1? ???x k-1,j+yk-1+zjxk-1,j+1+yk-1+zj+1 1 1? n j=1? ???1 1 x k+1,j+yk+1+zjxk+1,j+1+yk+1+zj+1? n? j=1((xk-1,j+zj)-(xk-1,j+1+zj+1)) +n? j=1((xk+1,j+1+zj+1)-(xk+1,j+zj)) n? j=1((xk-1,j-xk-1,j+1) + (xk+1,j+1-xk+1,j)) = (xk-1,1-xk-1,n+1) + (xk+1,n+1-xk+1,1) = 0. En effet, la périodicité dexi,jfait quexk-1,1=xk-1,n+1etxk+1,n+1=xk+1,1.

La preuve est similaire pour démontrer que

∂R∂z k=0.2

70-Bulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016

Théorème 1SoitPun polygone simple dont les côtés sontA1A2,A2A3,...,AnAn+1(avec

An+1=A1). Alors

16Δ

2(P) =n?

i=1n j=1? ???Q i,jQi,j+1 Q i+1,jQi+1j+1? oùΔ(P)est l"aire dePetQi,j= ???# AiAj???2 est le carré de la distance entre les sommetsietj.

Démonstration

2Δ(P) =n?

i=1det?# OAi,# OAi+1? . En conséquence, pour16Δ2(P)on obtient : = 4 n? i=1det?# OAi,# OAi+1??( n? j=1det?# OAi,# OAi+1?) n? i=1n j=1?

4det?# OAi,# OAi+1?

det?# OAj,# OAj+1?? n? i=1n j=1? ???2# OAi·# OAj2# OAi·# OAj+1

2# OAi+1·# OAj2# OAi+1·# OAj+1?

???(déterminant d"un produit de matrices) n? i=1n j=1?

??# OAi???2+???# OAj???2-???# AiAj???2???# OAi???2+???# OAj+1???2-???# AiAj+1???2

??# OAi+1???2+???# OAj???2-???# Ai+1Aj???2???# OAi+1???2+???# OAj+1???2-???# Ai+1Aj+1???2?

(par le lemme 1) n? i=1n j=1?

??# OAi???2+???# OAj???2-Qi,j???# OAi???2+???# OAj+1???2-Qi,j+1???# OAi+1???2+???# OAj???2-Qi+1,j???# OAi+1???2+???# OAj+1???2-Qi+1,j+1?

n? i=1n j=1? ???-Qi,j-Qi,j+1 -Qi+1,j-Qi+1,j+1? ???(par le lemme 2) n? i=1n j=1? ???Q i,jQi,j+1 Q i+1,jQi+1,j+1? 2

Bulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016-71

Exemple 1En appliquant le théorème 1 à un triangle quelconque, on trouve

16Δ

2(P) =3?

i=13 j=1? ???Q i,jQi,j+1 Q i+1,jQi+1,j+1? ????Q

1,1Q1,2

Q

2,1Q2,2?

???+????Q

1,2Q1,3

Q

2,2Q2,3?

???+????Q

1,3Q1,4

Q

2,3Q2,4?

+????Q

2,1Q2,2

Q

3,1Q3,2?

???+????Q

2,2Q2,3

Q

3,2Q3,3?

???+????Q

2,3Q2,4

Q

3,3Q3,4?

????Q

3,1Q3,2

Q

4,1Q4,2?

???+????Q

3,2Q3,3

Q

4,2Q4,3?

???+????Q

3,3Q3,4

Q

4,3Q4,4?

????0Q1,2 Q 1,20? ???+????Q

1,2Q1,3

0Q2,3?

???+????Q 1,30 Q

2,3Q1,2?

+????Q 1,20 Q

1,3Q2,3?

???+????0Q2,3 Q 2,30? ???+????Q

2,3Q1,2

0Q1,3?

????Q

1,3Q2,3

0Q1,2?

???+????Q 2,30 Q

1,2Q1,3?

???+????0Q1,3 Q 1,30? =-Q21,2+Q1,2Q2,3+Q1,3Q1,2 +Q1,2Q2,3-Q22,3+Q2,3Q1,3 +Q1,3Q1,2+Q2,3Q1,3-Q21,3 =-Q21,2-Q22,3-Q21,3+ 2Q1,2Q2,3+ 2Q1,3Q1,2+ 2Q2,3Q1,3. Cette dernière égalité est équivalente à la formule de Héron [ 2 Exemple 2En appliquant le théorème 1 à un quadrilatère simple, on trouve

16Δ

2(P) =4?

i=14 j=1? ???Q i,jQi,j+1 Q i+1,jQi+1,j+1? = (Q1,1Q2,2-Q1,2Q2,1) + (Q1,2Q2,3-Q1,3Q2,2) + (Q1,3Q2,4-Q1,4Q2,3) + (Q1,4Q2,5-Q1,5Q2,4) + (Q2,1Q3,2-Q2,2Q3,1) + (Q2,2Q3,3-Q2,3Q3,2) + (Q2,3Q3,4-Q2,4Q3,3) + (Q2,4Q3,5-Q2,5Q3,4) + (Q3,1Q4,2-Q3,2Q4,1) + (Q3,2Q4,3-Q3,3Q4,2) + (Q3,3Q4,4-Q3,4Q4,3) + (Q3,4Q4,5-Q3,5Q4,4) + (Q4,1Q5,2-Q4,2Q5,1) + (Q4,2Q5,3-Q4,3Q5,2) + (Q4,3Q5,4-Q4,4Q5,3) + (Q4,4Q5,5-Q4,5Q5,4)

72-Bulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016

16Δ

2(P) =?-Q21,2?+ (Q1,2Q2,3) + (Q1,3Q2,4-Q1,4Q2,3) + (Q1,4Q1,2) +

(Q1,2Q2,3) +?-Q22,3?+ (Q2,3Q3,4) + (Q2,4Q1,3-Q1,2Q3,4) + (Q1,3Q2,4-Q2,3Q1,4) + (Q2,3Q3,4) +?-Q23,4?+ (Q3,4Q1,4) + (Q1,4Q1,2) + (Q2,4Q1,3-Q3,4Q1,2) + (Q3,4Q1,4) +?-Q21,4? =-Q21,2+ 2(Q1,2Q2,3+ 4Q1,3Q2,4-2Q1,4Q2,3+ 2Q1,4Q1,2+ -Q22,3+ 2Q2,3Q3,4-2Q1,2Q3,4+ -Q23,4+ 2Q3,4Q1,4+ -Q21,4.

16Δ

2(P) = 4Q1,3Q2,4-(Q1,2+Q3,4-Q2,3-Q1,4)2.

Cette dernière égalité est équivalente à la formule de Bretschneider [ 2 Exemple 3Les longueurs des côtés du pentagone plastique [1] sont des puissances du nombre plastiqueψ. Ce nombre est le seul nombre réel tel queψ3=ψ+ 1.ψ=?108 + 12 ⎷69 + ?108-12⎷69 6

En appliquant le théorème 1 on trouve,

16Δ

2(P) =5?

i=15 j=1? ???Q i,jQi,j+1 Q i+1,jQi+1,j+1? = 3ψ2?ψ4+ψ3+ψ2+ψ+ 1? = 3 ?37ψ2+ 49ψ+ 28? = 3 ?P14ψ2+P15ψ+P13?, oùP13,P14,P15sont les nombres de Padovan d"ordre 13, 14 et 15.

Bulletin AMQ, Vol. LVI, no1, mars 2016-73

???# A(t)A(u)???2 Alors l"approximation quadratique suivante donne l"intégrande de la version continue du théorème 1. ???Q(t,u)Q(t,u+ Δu)

Q(t+ Δt,Δu)Q(t+ Δt,u+ Δu)?

???????Q(t,u)∂Q∂u (t,u) ∂Q∂u (t,u)∂2Q∂t∂u (t,u)? ???????ΔtΔu.

Notons que l"intégrale double ainsi obtenue ne dépend pas de la paramétrisation de la courbe.

En effet, siQ(v,w) =?# A(σ(v))A(σ(w))?2pour une bijection dérivableσentre les intervalles

[a,b]et[c,d]. Alors on obtient l"intégrale double Z d cZ d c

Q(σ(v),σ(w))σ?(w)∂Q∂u

(σ(v),σ(w)) ?(u)∂Q∂t (σ(v),σ(w)) dv dw Z d cZ d c

Q(σ(v),σ(w))∂Q∂u

(σ(v),σ(w)) ∂Q∂t (σ(v),σ(w))∂2Q∂t∂u (σ(v),σ(w))

σ?(v) 0

0σ?(w)

dv dw Z b aZ b a

Q(t,u)∂Q∂u

(t,u)quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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