[PDF] [PDF] I ? Sphères et boules Dé nitions - AlloSchool

View - Download [PDF] I ? Sphères et boules Dé nitions - AlloSchool

Previous PDF

Next PDF

Géométrie dans l"espaceChapitre10I-Sphères et boules?. Dé?nitions• On appellesphère de centreOet de rayonr, l"ensemble des pointsMde l"espace tels queOM=r.• On appelleboule de centreOet de rayonr, l"ensemble des pointsMde l"espace tels queOM?r.

Dé?nitionsExemple :ABOM•rLes pointsA,BetMappartiennent à la sphère ci-contre, on peut donc a?rmerqueOA=OB=r[AB]est un diamètre de la sphère (il joint deux points de la sphèreen passantpar le centre)Un cercle qui a pour diamètre un diamètre de la sphère est appelégrand cerclede la sphère. Le cercle en vert est un grand cercle de la sphère.La sphère est l"enveloppe de la boule comme la peau d"une orange.RemarqueExercice :JKO×A×D×C×BLa ?gure ci-contre représente une sphère de centreOet de rayon ? cm. Lescercles rouge et vert sont des grands cercle de cette sphère.Ces deux cerclesse coupent enAetD.[JK]est un diamètre du cercle vert.?. Quels points appartiennent à la sphère??. Que vautOK?OJ??. Que vaut la longueurAD.?. Calculer la longueur des grands cercles.Solution:?. Les pointsAetDappartiennent aux grands cercle, donc ils appartiennent à la sphère.[JK]est un diamètre d"un des grands cercles, doncJetKappartiennent à la sphère.Conclusion : on peut a?rmer que les pointsA,D,JetKappartiennent à la sphère.?.JetKappartiennent à la sphère qui a pour centreOet rayon ? cm, doncOJ=OK=? cm.?.AetDsont les points d"intersections de deux grands cercles de lasphère, donc[AD]est un diamètre de la sphère.Conclusion :AD= 2×5 =?? cm.?.AD= 10cm est le diamètre du grand cercle vert, doncPgrand cercle= 2×π×5 = 10π≈31,4cm.

?. Aire et volumeLevolume d"une boulese calcule grâce à la formule :43×π×r3oùrest le rayon de la boule.

Volume d"une bouleExemple :ABOM•rDonnée :Boule de rayonr= 5cm.Question :calculer le volume de la boule ci-contre.Réponse :Vboule=43×π×53←-on applique la formule, ici le rayon vaut ? cmVboule=5003×πcm3←-

calcule4×53,aunumérateurVboule≈524cm3←-on calcule la valeur approchée demandéeOral :-En classe :-À la maison :?? p. ???L"aire de la sphèrese calcule grâce à la formule :4×π×r2oùrest le rayon de la sphère.

Aire de la sphèreExemple :ABOM•rDonnée :Boule de rayonr= 6cm.Question :calculer le volume de la boule ci-contreRéponse :Asphère= 4×π×62←-on applique la formule, ici le rayon vaut ? cmAsphère= 248×πcm2←-on calcule4×53Asphère≈452cm2←-on calcule la valeur approchée demandéeII-Rappels : autres volumesVolumes des solidessanspointe(prisme, pavé, cube ou cylindre) :V=B×h,Volumes des solidesavecpointe(cône ou pyramide) :V=13×B×h,.oùBdésigne l"aire de la base du solide ethsa hauteur.

Formules

Exemple ? :ABCDEFGHABCDEFGHest un pavé tel que :AB= 8cm;BC= 5cm etGC= 3cm.Aire de la base :AABCD= 8×5AABCD= 40cm2Volume deABCDEFGH:VABCDEFGH= 40×3VABCDEFGH= 120cm3O

? cm? cmAire du disque de base :Abase=π×3×3Abase= 9πcm2Volume du cylindre :Vcylindre= 9π×7Vcylindre= 63πcm3Vcylindre≈198cm3Exemple ? :SABCDHSABCDest une pyramide à base rectangulaireABCDtelle que :•AB= 6cm etBC= 2,5cm,•SH= 7cm.Aire de la base :AABCD= 6×2,5AABCD= 15cm2Volume de la pyramide :VSABCD=13×15×7VABCDEF= 35cm3O? m

? mSAire du disque de base :Abase=π×2×2Abase= 4πm2Volume du cône :Vcône=13×4π×8Vcône=323πm3Vcône≈33,5m3Oral :-En classe :?? p. ???À la maison :??, ??, ??, ?? p. ???

III-Sections de solides?. Section d"une sphèreLasection d"une sphèrede centreOet de rayonrpar un plan est un cercle de centreO?et de rayonr?.

Dé?nition(OO?)est perpendiculaire au plan et0?r??r

PropriétéIllustrationOO?M•Rayon de la sectionRayon de la sphèreExemple :La sphèreci-contre estde centreOet derayonOA= 7cm.On coupe cette sphère par un plan à ? cm de son centre, onnoteHle centre de la section obtenue.?. Quelle est la nature de la section??. Calculer le rayonHAde cette section.?. Calculer l"aire de cette section.A•H•O•Réponses :?. La section d"une sphère par un plan est un cercle, donc la section de cette sphère est un cercle de centreHet de rayon[HA].?. D"après la propriété précédente,(OH)et(AH)sont perpendiculaires.OAHest un triangle rectangle enH, donc d"après le théorème de Pythagore on a :OA2=OH2+HA2HA2= 72-42HA2= 33HA=⎷33HA≈5,7cm?.[HA]est un rayon de la section, on a donc :Asection=π×5,72Asection= 32,49πcm2Asection≈102cm2Oral :? p. ???En classe :-À la maison :-

?. Sections d"un pavé droit (ou d"un prisme)• Unpavé droit(ouparallélépipède rectangle) est un solide dont les six faces sont des rectangles.• Uncubeest un solide dont les six faces sont des carrés.

Dé?nitions (rappels)?La section d"un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle. La section obtenue a doncles mêmes dimensions que cette face.?La section d"un prisme droit par un plan parallèle à une base est de lamême forme que la base, ainsique la même dimension.

Propriété : section parallèle à une face (ou une base)Exemple :AEDHBCGFPlan de découpeSection obtenueABCDEFGHestunpavédroit,donclasectionparunplanparallèle àADHEengriseestunrectangledemêmedimensionqueADHE.?La section d"un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arêtes est un rectangle. Les dimensions dela section obtenue se calculent en général avec le théorème de Pythagore.?La section d"un prisme droit par un plan parallèle à une de ses arêtes latérales est également un rectangle.Sauf cas particulier, on ne demandera pas de calculer ses dimensions...

Propriété : section par un plan parallèle à une arête latéraleExemple :AEDHBCGFPlan de découpeSection obtenueABCDEFGHest un pavé droit, donc la section par un plan parallèle à[HD]en grise est un rectangle.

Exercice :Le parallélépipède rectangleABCDEFGHci-dessous a été coupé par un plan parallèle à l"arête[BC]. Lasection obtenue est le quadrilatèreEHNM.MNABCDEFGH? cm? cm? cm? cm?. Quelle est la nature du quadrilatèreEHNM??. CalculerlalongueurEM.Donnerlavaleurexacteet l"arrondi au mm.?. Dessiner la sectionEHNMen vraie grandeur.?. Calculer la volume du prisme droitBMEF CNHG.Solution:?.ABCDEFGHest un pavé droit et la sectionEHNMest obtenue après la coupe par un plan parallèle à[BC], doncEHNMest un rectangle.?.ABCDEFGHest un pavé droit etEHNMest la section obtenue par une coupe parallèle à[BC]doncEAMest un trianglerectangle enA.D :EAMest un triangle rectangle enA.P : Donc d"après le théorème de Pythagore, on a :C :EM2=EA2+AM2EM2= 42+ 42EM2= 32EM=⎷32EM≈5,7cmConclusion :EMa pour valeur exacte⎷32cm et comme valeur approchée ?,? cm.?. Les questions précédentes et l"énoncé nous donnent :EMNHest un rectangle,EM≈5,7cm etEH= 5cm. La section envraie grandeur est donc :dEMNH?,? cm? cm?. On commence par calculer l"aire de la baseBMEF:ABMEF=ABAEF-AAME=(4 + 2) ×4-4×42= 24-8 = 16cm3.On a alors :VBMEFCNHG=ABMEF×BC= 16×5 = 80cm3.Oral :?, ?, ?, ??, ??, ?? p. ???En classe :??a, ??a, ?? p. ??? ? ??, ?? p. ???À la maison :??b, ??b p. ??? ? ??, ??, ?? p. ???

IV-Section d"une pyramide (ou d"un cône)Unepyramideest un solide dont :• une face, la base, est un polygone qui ne contient pas le sommet de la pyramide;• les faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide.Sommetde la pyramideBasede la pyramideHauteurde la pyramideLahauteurest perpendiculaire à la base et passe par le sommet de la pyramide. En?n, uncône(de révolution) estune sortedepyramide dont labaseest undisque (cen"est pas unpolygone, ce qui expliqueque lecône n"appartientpas à la famille des pyramides).

Dé?nitionsLa section d"une pyramide (ou d"un cône) par un plan parallèle à labase est une figure de la même formeque la base. La section obtenue est une réduction de la base.

PropriétéExemples :CASPNMSABCest une pyramide à base triangulaire.MNPest la section deSABCparallèlement àla baseABC.DoncMNPest un triangle qui est une réductiondeABC.ABCDA?B?C?D?SSABCest une pyramide à base rectangulaire.A?B?C?D?est la section deSABCDpar un plan pa-rallèle àABCD.DoncA?B?C?D?est un rectangle qui est une réductiondeABCD.On va terminer ce chapitre par un exercice de type brevet.

Exercice (de brevet) :ABCDE FGHSSABCDest une pyramide à base rectangulaireABCD, de hauteur[SA]. On donneSA= 15cm,AB= 8cm etBC= 11cm.?. Calculer le volumeV1de la pyramide SABCD.?. Démontrer queSB? ?? cm.?. On noteEle point de[SA]tel queSE= 12cm etFle point de[SB]tel queSF= 13,6cm.On coupe cette pyramide par le plan passant parEet parallèle àla base de la pyramide. La pyramideSEFGHainsi obtenue, estune réduction de la pyramideSABCD.(a) Quelle est la nature deEFGH?(b) Quel est le coe?cient de la réduction?(c) En déduire le volumeV2de la pyramideSEFGH.Solution:?. Calcul de l"aire de la base :AABCD= 8×11 = 88cm2.Calcul du volume deSABCD:V1=13×88×15 = 440cm3.?.[SA]est la hauteur deSABCDdoncSABest un triangle rectangle enA.DSABest un triangle rectangle enA.PDonc d"après le théorème de Pythagore on a :CSB2=SA2+AB2SB2= 152+ 82SB2= 289SB=⎷289SB= 17cm?. (a)EFGHest un rectangle.(b) Le coe?cient de réduction estSESA=1215= 0,8.(c) On utilise le coe?cient de réduction, donc le volume deSEFGHest :V2= 0,83×V1= 0,512×440 = 225,28cm3Oral :??, ??, ?? ? ??, ?? p. ???En classe :?, ? p. ??? ? ??a, ?? p. ???À la maison :?, ? p. ??? ? ??b, ??, ??, ?? p. ??? ? ?? p. ???Tâche complexe : ?? p. ??? / Problème ouvert : ?? p. ???

quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

[PDF] aire d'un demi disque

[PDF] formule pour calculer l'aire d'un triangle

[PDF] périmètre du trapèze

[PDF] aire d'un carré formule

[PDF] périmètre du rectangle

[PDF] animation volume d'une boule

[PDF] lecture d'un disque optique correction

[PDF] calcul surface d'une sphère

[PDF] determination du pas du sillon d un cd ou dvd

[PDF] le principe de la lecture d'un disque optique corrigé

[PDF] stockage de l'information sur un disque optique

[PDF] intégrale double cours pdf

[PDF] intégrale multiple exercice corrigé

[PDF] intégrale double changement de variable

[PDF] cours sur les intégrales doubles et triples pdf