[PDF] Théorème de Poincaré - Formule d

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§2 Intégrale curviligne (suite).

Partie II : Intégrale de surface

8 mars 2023 1 / 28

PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UN

CHAMP DE VECTEURS)DÉFINITION

Un sous-ensembleDdeRnest ditétoilés"il existe un pointa∈Dtel que pour tout pointp∈D, le segment joignantaàpest contenu dansD. On rappelle que le segment[a,p]est par définition l"ensemble ThéorèmedePoincaré-Formul edeGr een-Riemann Figure12.1-Domain escon vexeetdoncétoilé,éto ilémaispasconvexe, etnon étoilé. Démonstration.Onsu pposequel"ouvertUestétoi léparrapportaupoint (a,b)etonconsi - dèreuneforme !ferméesurU.Pour(x,y)!Uonconsid èrelacourbeparamétrée x,y [0,1]"U t#" a+t(x$a),b+t(y$b) puisonpo se f(x,y)= !x,y

Notant!=P(x,y)dx+Q(x,y)dyceladonne

f(x,y)= 1 0 P(" x,y (t))(x$a)+Q(" x,y (t))(y$b) dt.

Soit(x

0 ,y 0 )!U.Ile xis teunvoisinageVdex 0 dansRtelque(x,y 0 )appartientàVpour toutx!V,etdonc" x,y0 (t)!Upourtousx!Vett![0,1].L"application (t,x)#"P(" x,y0 (t))(x$a)+Q(" x,y0 (t))(y 0 $b) estdecl asseC 1 sur[0,1]%Vetsadér ivée partielleparrapportà xestdonnéepar P(" x,y0 (t))+t P x x,y0 (t) (x$a)+ Q x x,y0 (t) (y 0 $b)

Parlet héorèm ededérivationsousl"inté grale, onobtientquefestdéri vableparrapportàx

et f x (x 0 ,y 0 1 0 P(" x0,y0 (t))dt+ 1 0 t P x x0,y0 (t) (x 0 $a)+ Q x x0,y0 (t) (y 0 $b) dt.

Soit(x,y)!U.Pourt![0,1]onnote g(t)=P("

x,y (t)).gestdecl asseC 1 etpour t![0,1] ona g (t)= P x x,y (t) (x$a)+ P y x,y (t) (y$b).

Comme!estfermée, onaégalement

g (t)= P x x,y (t) (x$a)+ Q x x,y (t) (y$b). Ainsi f x (x,y)= 1 0 g(t)+tg (t) dt= 1 0 d dt tg(t) dt=g(1)=P(x,y). Delamê mefaç ononmontrequ efestdéri vableparrapportàysurUetpour tout(x,y)!U ona f y (x,y)=Q(x,y).

Année2015-201683

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Toil lustratethisconcept,weconside ranumberofdi

erentexamples. Wesh alluseboththena ivedefini tionandthefo rmaldefini tiontoprove whethereachgivenre gionissimplyc onnected. Example1.3.Determinewithreasonswhich ofthefollow ingregions aresim plyconnected. (i)Theunitdisc{(z!C||z|!1}includingtheboundary . Thisisnota nopense t,soisnota regio nandhencecan not beas imp lyconnectedregion . (ii)Theunitdisc{(z!C||z|<1}. z Thesetis aregio n.Using the firstdefinition,clearly itis simplyconnected becauseifweplaceanyloopinD,itcanbe pulledtoapoin t.Using thes econddefinition,wecanco nnect anypoin tzinD c to"byta kingaradiallinefr omzoutward i.e.!(t)=z+zt. (iii)Thestrip{z!C|#1a whereaisth evaluesuch thatz+a+ ai=z 0 Thisisnotsi mplyco nnected.A nyloopwhichcont ainsz=0 cannotbepulledtoa pointu singthefirstdefin ition. For the seconddefinition ,observethatD c consistsofjustthepoin t !whichstaysinD c Ournext taskistosho wthattheinte gralth eorem andallrelated resultsholdforany functionwhich isanalyti cinsomesi mplyconnected regionforanycurve inthatregio n.Inorder toprovethisresult,wesome additionalfacts.ensemble étoilé ensemble convexe ensemble non étoilé

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PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UN

CHAMP DE VECTEURS)EXEMPLE1)tout disque dansR2(resp. toute boule dansR3) est un ensemble étoilé.2)tout ensemble convexe est étoilé ( il est étoilé par rapport à tous ses

points).3)pour toutn∈N,Rnest ensemble convexe donc étoilé.4)l"ensembleR2\{(0,0)}n"est pas étoilé.Le théorème suivant donne une condition (suffisante) sur le

domaine pour que qu"un champ irrotationnel (respectivement une forme différentielle fermée) soit un champ de gradient (respectivement est une forme exacte).

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PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UN CHAMP DE VECTEURS)THÉORÈME(DEPOINCARÉ)SoientDun domaine étoilé deR3.1) Soitω=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzune forme différentielle surD. Alorsωest une forme différentielle totale si et seulement si les équations suivantes sont satisfaites -→V=R(x,y,z)-→i+Q(x,y,z)-→j+R(x,y,z)-→kun champ de vecteurs surD. Alors-→Vest un champ de gradient si et seulement si il est irrotationnel c-à-d si les équations suivantes sont satisfaites

∂P∂y=∂Q∂x,∂P∂z=∂R∂xet∂Q∂z=∂R∂y.8 mars 2023 4 / 28

PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UN

CHAMP DE VECTEURS)REMARQUE1)Cet enoncé est équivalent à : "sur un domaine étoiléD, une forme

différentielleωest exacte si et seulement si elle est fermée "2) En terme de champs de vecteurs : "sur un domaine étoiléD, un champ de vecteurs est un gradient si et seulement si il est irrotationnel" il existeφ:D→Rtel que-→V=--→gradφ⇐⇒-→rot-→V=0si -→V=P(x,y,z)-→i+Q(x,y,z)-→j+R(x,y,z)-→k, alors -→kqu"on peut écrire formellement -→rot-→V=det i-→j-→k ∂∂x∂∂y∂∂z 8 mars 2023 5 / 28 PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UN

CHAMP DE VECTEURS)L"énonce en dimension2:THÉORÈME(DEPOINCARÉ)SoientDun domaine étoilé deR2.1)Soitω=P(x,y)dx+Q(x,y)dyune forme différentielle surD.

Alorsωest une forme différentielle totale si et seulement si∂P∂y=∂Q∂x.2)Soit

-→V=P(x,y)-→i+Q(x,y)-→jun champ de vecteurs surD. Alors -→Vest un champ de gradient si et seulement si∂P∂y=∂Q∂x.8 mars 2023 6 / 28 PRIMITIVE D"UNE FORME DIFFÉRENTIELLE(POTENTIEL D"UN

CHAMP DE VECTEURS)Démonstration(en dimension3)On a déjà vu que les équations 1 sont nécessaires, il reste à

montrer qu"elles sont suffisantes, on doit construire une primitivefdeω=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzsurD.

On peut supposer queDest étoilé par rapport à l"origine, en ce ramène à ce cas par translation. CommeDest étoilé par

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