[PDF] MAT-2110 Exercices 10 H11 1. On désigne par S la partie du plan x

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MAT-2110Exercices 10H11

1.On d´esigne parSla partie du planx+2y+z=2situ´ee dans le premier octant et

par?vle champ vectoriel?v(x,y,z)=(1,z,3y). Calculer l"int´egrale de surface S ?v·?ndS, sachant que?nest la normale dont la troisi`eme composante est positive.

2.On d´esigne par?vle champ vectoriel

?v(x,y,z)=(x 2 +z,y+x,-2zx-z) et parSla surface constitu´ee de la portion du parabolo¨ıde x=4-(z 2 +y 2 situ´edansx>0. Calculez le flux de?v`a traversSdans la direction de la normale pointant vers l"ext´erieur de la surface.

3.On d´esigne parSla partie de la surface du parabolo¨ıdez=x

2 +y 2 pour laquelle z?[0,1] et on consid`erelechampscalaireφ(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 .Calculerle flux du champ de vecteurs?φ`a traversSdans la direction de la normale dont la troisi`eme composante est n´egative.

4.Soit Σ la surface du cube [0,1]×[0,1]×[0,1]. Si?U(x,y,z)=(x

2 ,y 2 ,z 2 ), calculer le flux de ?U`a travers Σ dans la direction de la normale ext´erieure. Suggestion: dans le cas du cube, on peut d´eterminer facilement la normale `a chacune des faces. Par exemple, pour la face situ´ee dans le plan XY, le vecteur normal est-?k=(0,0,-1). Il suffit maintenant de calculer?U·?net?? S ?U·?ndS pour chacune des faces.

5.SoitSla surface ferm´ee constitu´ee de la surface cylindrique

z 2 +y 2 =4,x?[0,1] et des deux disques z 2 +y 2 et z 2 +y 2

Calculer le flux du champ de vecteurs

?F(x,y,z)=(x,x 2 +y,x 2 +y+z)`a travers

S, de l"int´erieur vers l"ext´erieur.

1

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6.SoitC, une courbe de classeC

1 par morceaux, simple, ferm´ee et orient´ee positive- ment. Consid´eronsD, le domaine d´elimit´eparC. (a) Sachant queA(D)repr´esente l"aire du domaineD, montrer que

A(D)=-?

C ydx. (b) En utilisant (a), montrer que l"aire d"une ellipse d"´equation x 2 a 2 +y 2 b 2 estπab.

7.On consid`ere l"int´egrale double

I=?? D (x 2 -y 2 )dxdy, o`uDest d´efini parx 2 a 2 +y 2 b 2 J=? y 3 dx+x 3 dy, o`u Γ est l"ellipsex 2 a 2 +y 2 b 2 -1 = 0 parcourue positivement. (a) Montrer qu"on peut ramener le calcul deJ`a celui deI. (b) CalculerI.

8.SoitD, une mince plaque m´etallique de densit´esurfaciqueρ(x,y)≡1. Nous allons

noter par∂D,lafronti`ere deDet nous supposerons que∂Dest une courbe de classeC 1 par morceaux, simple, ferm´ee et orient´ee positivement. (a) Dans le cas d"une plaque homog`ene de densit´esurfaciqueρ(x,y)≡1, on peut calculer le centre de gravit´edelamani`ere suivante: x=1

A(D)??

D xdxdy; y=1

A(D)??

D ydxdy.

Montrer que dans ce cas, on a

x=1

2A(D)?

∂D x 2 dy; y=-1

2A(D)?

∂D y 2 dx. 2

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(b) Dans le cas d"une plaque homog`ene de densit´esurfaciqueρ(x,y)≡1, on peut calculer les moments d"inertie de la mani`ere suivante I x D y 2 dxdy; I y D x 2 dxdy.

Montrer que dans ce cas, on a

I x =-1 3? ∂D y 3 dx; I y =1 3? ∂D x 3 dy.

9.On consid`ere une plaque homog`eneDdont la densit´esurfaciqueestρ(x,y)≡1

et limit´ee par une courbe simple ferm´eeCparcourue positivement. Exprimer l"int´egrale curviligne suivante J=1 3? C x 2 dy-xy dx en fonction de l"aireAde la plaqueDet de l"abscisse ¯xdu centre de gravit´edeD.

10.Soit?v(x,y)=(y

2 ,x), calculer l"int´egrale I=? C ?v·d?r o`uCest la courbe suivante : (a)lebordducarr´e[0,2]×[0,2] parcouru positivement, (b)lebordducarr´e[-1,1]×[-1,1] parcouru positivement, (c) le cercle de rayon 2 centr´een(0,0) parcouru positivement, (d) l"ellipse centr´ee en (1,2) de demi-axe horizontal 1 et de demi-axe vertical 3 parcourue positivement.

Suggestion:Montrer que

I=? C ?v·d?r=A(D)(1-2y), o`uDest le domaine born´eparlacourbeC,A(D) est l"aire deDet yest l"ordonn´ee `a l"origine du centre de gravit´edeD. Pour calculer l"int´egrale, il suffit de d´eterminerA(D)et ydans chaque cas. 3

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11.Calculer?

C ?F·d?rsiCest la courbey=1-|1-x|joignant (0,0) `a(2,0) et ?F(x,y)=(x 2 +y 2 ,x 2 -y 2

12.Pour chacun des champs vectoriels suivants, calculer le rotationnel et la divergence.

(a) ?F(x,y,z)=(x 2 ,-2,yz). (b) ?F(x,y,z)=(xz 3 ,2y 4 x 2 ,5z 2 y). (c) ?F(x,y,z)=(e xy ,-cosy,sin 2 z).

13.Soit?F(x,y)=(-y,x). Calculer le flux de?F`a travers le bord du disque unit´e

x 2 +y 2 (a) la d´efinition du calcul du flux C ?F·?nds; (b) le th´eor`eme de la divergence dansR 2 C ?F·?nds=?? D div?Fdxdy. Quelle serait la valeur de ce flux si on rempla¸cait le cercle par une courbe ferm´ee quelconque qui tourne une fois autour de l"origine?

14.Soient?F(x,y)=(x

2 +y,4x-cosy)etCest la fronti`ere du domaineDqui est `a l"int´erieur du carr´e de sommets (1,1),(5,1),(5,5),(1,5) mais `a l"ext´erieur du rectangle de sommets (2,2),(3,2),(3,4),(2,4). Calculer? C ?F·d?r,o`uCest parcouruedetellesortequeledomainesesitue`a gauche. 4quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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