[PDF] Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration

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Math S2 PeiP

Chapitre 1

Cours d"intégration

Michel Rumin

Objectifs :

F airequelques rapp elssur l"in tégralede Riemann des fonctions d"une v ariable. Définir la notion d"in tégralem ultiplep ourles fonctions de 2 et 3 v ariables. Donner les tec hniquesde calculs prin cipales: théorème de F ubini,c hangementsde variables classiques (utilisés notamment en physique).

1 Rappels en dimension 1

1.1 Sommes de Riemann et intégrale

Soitf:I= [a;b]!Rune fonction continue (éventuellement continue par morceaux sif a un nombre fini de sauts). Étant donné un entiern1, onéchantillonnefrégulièrement, par exemple aux points x k=kn

qui se trouvent dansI.Définition 1.1.On définit la somme de Riemann defassociée à l"échantillonagefxkg

par S n(f) =1n X fxk=kn

2Igf(xk):

Géométriquement,Sn(f)représente l"aire (algébrique) situé entre l"axe des abscisses et

le graphe de la fonction en escalierfnqui est constante égale àf(xk)sur chaque intervalle [xk;xk+1[de largeur1n (et nulle sixk=2I).

21 RAPPELS EN DIMENSION 1

Lorsquenest grand, le pas d"échantillonnage1n

est petit, et ces fonctionsfnsont de bonnes approximations deflà oùfest continue, carfoscille peu sur des intervalles de petite longueur. On a le théorème important suivant, qui donne une définition de l"intégrale de Riemann def, ainsi qu"un moyen de l"estimer numériquement (voir cours du S1). Théorème 1.2.Sif: [a;b]!Rest continue par morceaux, alors les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale defsur[a;b]cette limite, et on la noteZ b a f(x)dx.1.2 Deux interprétations de l"intégrale

Intégrale et aire.D"après l"interprétation faite ci-dessus des sommesSn(f), l"intégraleZb

a f(x)dxse "voit» comme l"aire algébrique située entre le graphe defet l"axe des abscisses (comptée+sifest positive,sinon). +y=f(x)abSifest positive, on a : Z b a f(x)dx= Aire(x;y)2R2jaxbet 0yf(x):(1)

1.2 Deux interprétations de l"intégrale3Cette propriété est évidement très utile car nous avons une intuition de ce qu"est l"aire

d"un domaine du plan et de ses propriétés principales. Mais cette idée sera beaucoup moins intéressante pour construire et comprendre l"intégrale de fonctions de 2 et 3 variables. En effet, une intégrale d"une fonction de 2 variables s"interprétera à l"aide d"un volume d"un domaine deR3(pas toujours facile à voir!), et pire, l"intégrale d"une fonction de 3 variables sera liée à un " hypervolume » en dimension 4, et là on ne voit plus rien! En résumé, mathématiquement, il faut plutôt considérer (1) comme un moyen de calcul d"un objet2D: l"aire d"un domaine du plan, à l"aide d"un objet1D: l"intégrale d"une fonction sur un intervalle, plutôt que l"inverse. 1 L"intégrale comme mesure, ou " pesée », d"une fonction.L"autre interprétation de

l"intégrale, qui se généralisera bien en toute dimension, est liée physiquement à la notion de

peséed"une barreI= [a;b]constitué d"un matériau de densité variablef(x). Cela signifie que la massemde d"une petite longueurxautour dexest mf(x)x:(2)

Problème.Comment mesurer la masse totale de la barreI= [a;b]?On peut découper la barreIen des tas de petits morceaux de taillex= 1=n, par exemple

suivant les[xk=kn ;xk+1=k+1n [(avec éventuellement 2 morceaux incomplets aux bouts de

I). La masse deIdoit être bien sûr2la somme des masses des morceaux, c"est à dire d"après

(2) masse(I) =Xm kX x k2If(xk)n =Sn(f):

C"est précisément la définition des sommes de Riemann def, et le théorème 1.2 nous assure

que ce procédé de découpage et d"échantillonage converge vers l"intégrale defpourn!+1:

masse(I) =Z b a

f(x)dx:Cette idée dedécoupage et d"échantillonagese généralisera bien pour les fonctions

de plusieurs variables. Pour peser une plaque ou un solide de densité variablef, on peut le découper en petit morceaux, estimer la masse de chaque morceau en prenant une valeur

defsur celui-ci, et faire la somme des résultats.1. Cette formule est un cas particulier duthéorème de Fubini, que l"on verra plus loin.

2. Est-ce vraiment clair? Par exemple, la masse du noyau n"estpasla somme des masses de ces protons

et de ces neutrons! :-O

41 RAPPELS EN DIMENSION 11.3 Propriétés élémentaires de l"intégrale simple

Il découle directement de la définition par sommes de Riemann et le théorème 1.2, que

l"intégrale vérifie les propriétés suivantes (les fonctions sont supposées continues par mor-

ceaux) :Proposition 1.3.1.Croissance.Sifg, alorsRb af(x)dxRb ag(x)dx.

2.Additivité par découpage, ou relation de Chasles.

Siabcetf: [a;c]!R, alorsRc

af(x)dx=Rb af(x)dx+Rc bf(x)dx.

3.Calibrage.Rb

acdx=c(ba).

4.Linéarité.Sifetg: [a;b]!Retk2R, alors

Z b a (f(x) +kg(x))dx=Z b a f(x)dx+kZ b a g(x)dx: Démonstration.Laissée en exercice. Les propriétés 1 et 4 sont satisfaites directement au

niveau des sommes de Riemann, tandis que 2 et 3 demandent une petite vérification.Remarques.La propriété 1 est très utile pour estimer les intégrales " incalculables ».

Par exemple, on a pourx0:

Z x 0dte t+ 1Z x 0dte t= 1ex; x 22
xZ x 0 (t+ sin(t2))dtx22 +x:

Siba, on pose par conventionRb

af(x)dx=Ra bf(x)dx. Dans ce cas, la relation de Chasles est satisfaite pour tous lesa,betc, quelque soit leur ordre. On peut montrer que l"intégrale estl"uniqueapplication qui satisfait les propriétés 1,

2 et 3. Ce sont celles que l"on attend de la mesure d"une quantité comme la masse (ou la

charge) totale d"une barre de densitéf: -croissance: la masse croît avec la densité, -relation de Chasles: la masse totale est préservée par découpage, -calibrage: la masse d"une barreI= [a;b]de densité constantecestc(ba).

Les propriétés 2 et 3 déterminent l"intégrale sur les fonctions en escalier, et la propriété 1 per-

met d"encadrer aussi précisément que souhaité l"intégrale d"une fonction continue quelconque

par celles de fonctions en escalier.

Ces propriétés élémentaires auront des équivalents directs pour l"intégrale multiple des

fonctions de 2 et 3 variables. Ce n"est pas le cas des propriétés suivantes, spécifiques à la

dimension 1.

1.4 Intégrale, primitive et dérivée51.4 Intégrale, primitive et dérivée

En dimension 1, intégration et dérivation sont en quelque sorte des opérations inverses l"une de l"autre. Théorème 1.4." Théorème fondamental de l"analyse ». 1. Soit f:I= [a;b]!R(ouC)une fonction continue. Alors la fonction

F:x2I7!F(x) =Z

x a f(t)dt est dérivable surIet on aF0(x) =f(x). On dit queFest uneprimitivedefsur I. 2. Si G:I!Rest une (autre) primitive defsurI, c"est-à-dire siGest dérivable surIavecG0=f, alorsGFest constante. Plus précisément, on a pourx2I,

G(x) =G(a) +Z

x a f(t)dt:Démonstration.Rappels, voir cours S1.

1. D"après Chasles, on aF(x+h)F(x) =Rx+h

xf(t)dt. D"où, en écrivanthf(x) =Rx+h xf(x)dt, on a

F(x+h)F(x)h

f(x) =1h Z x+h x (f(t)f(x))dt; d"où,

F(x+h)F(x)h

f(x)sup jtxjhjf(t)f(x)j !0 pourh!0; par continuité defenx.

2. On aF0=G0=f, d"où(GF)0= 0etGFest constante=CsurIpar le théorème

des accroissements finis. Pourx=a, on obtientC=G(a)F(a) =G(a).Cet énoncé permet de calculer les intégrales des fonctions dont on connaît une primitive.

Par exemple :

k1,(xk)0=kxk1=)Z b a xk1dx=1k [xk]ba, sin0= cos =)Z b a cosxdx= [sinx]ba, (lnx)0=1x sur]0;+1[ =)Z b adxx = lnblna, pour0< ab,

61 RAPPELS EN DIMENSION 1etc... Voir cours S1.

Les corollaires suivants du théorème fondamental 1.4 sont très importants car ils sont à

la base des principales méthodes de calcul des intégrales : revoir le cours du S1 et le début

de la feuille 1 de TD pour quelques applications.Corollaires 1.5.1.Intégrale d"une dérivée.Sifest de classeC1sur[a;b], alors

Z b a f0(x)dx=f(b)f(a);

2.Intégration par parties.Pourfetgde classeC1sur[a;b]

Z b a f(x)g0(x)dx=Z b a f0(x)g(x)dx+f(b)g(b)f(a)g(a);

3.Changement de variables.Si': [a;b]!Rest de classeC1etfest continue sur

l"intervalle'([a;b])alors on a : Z b a f('(x))'0(x)dx=Z '(b) '(a)f(y)dy : Autrement dit, siy='(x)est la nouvelle variable, alors "dy='0(x)dx». Démonstration.1.fest une primitive def0et le théorème 1.4 s"applique.

2.(fg)0=f0g+fg0par Leibniz. Alors par 1,

Z b a (fg)0(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a) =Z b a (f(x)g0(x) +f0(x)g(x))dx: 3.

On considère la fonction :x2[a;b]7!Z

'(x) '(a)f(y)dy. On a (x) = (F')(x)(F')(a) avecF(x) =Z x a f(t)dt: D"où, 0(x) ='0(x)F0('(x)) ='0(x)f('(x)), et en intégrant Z b a

0(x)dx= (b) (a) =Z

'(b) '(a)f(y)dy=Z b a '0(x)f('(x))dx: 7

2 Fonctions de plusieurs variables et domaines réguliers

On rentre maintenant dans le vif du sujet. On voudrait d"abord décrire et apprendre à représenter les domaines du planR2et de l"espaceR3sur lesquels on va intégrer des fonctions de 2 (resp. 3) variables. Ce problème de domaine ne se posait pas vraiment en dimension 1 : on y intègre les fonctions définies sur des intervalles. Par contre, les domaines deR2etR3peuvent être beaucoup plus compliqués en général!

Quelques dessins.

2.1 Domaines réguliers

On va travailler avec des parties (ou domaines)Dqui sont définies par un nombre fini de conditions. Ils se présentent sous la forme : D=f(x;y)2R2tels quef1(x;y)0etf2(x;y)0 etfn(x;y)0gdansR2; D=f(x;y;z)2R2tels quef1(x;y;z)0 etf2(x;y;z)0 etfn(x;y;z)0gdansR3:

Les signes des inégalités, ni les constantes, n"ont pas vraiment d"importance (quitte à rem-

placer lesfipargi=cfi, on afic,gi0).

Voici quelques exemples dans le plan :

D

1=f(x;y)2R2; x+y1g;

D

2=f(x;y)2R2;0y ;0x3; x+ 22yg;

D

3=f(x;y)2R2; x2+ 2xyx+ 2g;

D

4=f(x;y)2R2;1x2+y24; x+y0g:

On constate que ces domaines sont délimités par une collection finie des courbes du type y=f(x)oux=f(y)qui correspondent aux cas d"égalité dans les inégalités.

82 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES ET DOMAINES RÉGULIERSEn pratique,pour dessiner un domaine

D=f(x;y)2R2; f1(x;y)0; f2(x;y)0;; fn(x;y)0g;

on procède de la façon suivante. 1. P ourc haqueide1àn, on trace la courbefi(x;y) = 0. Elle délimite 2 parties du planfi(x;y)0etfi(x;y)0. 2. On rep èrela partie fi(x;y)0, par exemple en testant si un point donné y est ou non. On la hachure (par exemple). 3. On prend l"intersectiondes domaines hachurés obtenus. En théorie, ce procédé pourrait ne pas marcher à tous les coups pour des fonctions peu régulières ou présentant certaines dégénérescences

3. De plus, les domaines définis ainsi ne

sont pas nécessairement bornés : par exemple le demi-planD1ci-dessus ne l"est pas, et on ne pourra pas définir simplement une intégrale dans un tel cas.

Pour éviter ces problèmes, on se restreindra à une catégorie de domaines que l"on appellera

réguliersici. Remarque2.1.Attention, la terminologie qui suit n"est pas du tout universelle. Elle sert

seulement à fixer les idées dans ce cours, et à donner des énoncés mathématiquement justes

sans rentrer dans des détails trop techniques!Définition 2.2.On dit qu"un domaineDdeR2estréguliersiDse décompose (se

découpe) en une réunion finie de domainesélémentairesEdu type

E=f(x;y)2R2; axb; f(x)yg(x)g(3)

ouE=f(x;y)2R2; ayb; f(y)xg(y)g;(4) avecfetgcontinues sur[a;b]. Les domaines élémentaires se présentent : soit en pilesau dessus des abscisses pour (3), soit en tranchespour (4).

Exemples.3. Cela pose rarement de problème en pratique, en tout cas pas dans les exercices ni les contrôles;-)

2.2 Fonctions continues de plusieurs variables9De la même façon dansR3.Définition 2.3.On dit qu"un domaineDdeR3estréguliersiDse décompose (se

découpe) en une réunion finie de domainesélémentairesEdu type (à permutation des coordonnées près)

E=f(x;y;z)2R3;(x;y)2régulier; f(x;y)zg(x;y)g;

avecfetgcontinues sur. Remarque2.4.Le domaine planest en quelque sorte l"ombre du domaineDvu du dessus. Par exemple : les cubes, pyramides, boules sont élémentaires. Ainsi, la boule

B=f(x;y;z)2R3; x2+y2+z2R2g

se présente aussi sur la forme B=f(x;y;z)2R3;(x;y)2disque de centre(0;0)de rayonR; f(x;y) =pR

2x2y2zg(x;y) =pR

2x2y2g:

2.2 Fonctions continues de plusieurs variables

Comme dans le cas de l"intégrale de Riemann sur un intervalle, on ne peut pas intégrer n"importe quelle fonction sur un domaine régulier deR2etR3. On travaillera avec des fonctions continues.Définition 2.5.SoitDune partie deR2etf:D!R. On dit quefestcontinuesurD si quelque soit(x0;y0)fixé dansD, on af(x;y)!f(x0;y0)lorsque(x;y)2Dest tel que xtend versx0etytend versy0. La définition de continuité pour les fonctions de 3 variables est du même genre. Cette

classe de fonction est stable par les opérations usuelles.Proposition 2.6.1.L esfonctions p olynomialesdes c oordonnéessont c ontinuessur

R

2(ouR3),

2. L essommes, pr oduitsde fonctions c ontinuessur Dsont continues surD, 3. Si f:D!IRetg:I!Rsont continues, alors la composéegf:D!Rl"est aussi.

103 DÉFINITION DE L"INTÉGRALE MULTIPLEExemples2.7.(x;y)7!exy2sin(x+y) +px

2+y2est continue surR2,

(x;y)7!1x

2+y2est définie et continue sur le domaine (régulier)D=f(x;y)2

R

2;1x2+y2100g,

Dans les exemples concrets, et en TD, les fonctions sont fabriquées par somme, produit,

composition à partir des coordonnées et les fonctions classiques (ex,sin, etc), et sont continues

sur leur domaine de définition. On se contentera de vérifier qu"elles sont bien définies! On

n"aura pas besoin d"approfondir ces notions dans ce cours d"introduction à l"intégration.

3 Définition de l"intégrale multiple

3.1 L"intégrale double

SoitDun domaine régulier du plan etf:D!Rune fonction continue. Pour définir l"intégrale defon va procéder comme en dimension 1, par découpage et échantillonage en adaptant les sommes de Riemann du chapitre 1. On considère quefest la densité par unité de surface de la plaqueD, c"est-à-dire que m=Sf(x);(5) et on veut estimer la masse totale deD. Pourn1entier donné, on peut découper le plan en des carrés (pleins) de largeur1n C k;l=n (x;y)2R2;kn x 2Ck;l:

Comme la surface du carréCk;lest1n

2, la masse du petit carré est donc d"après (5)

m k;l1n

2f(Mk;l):

On a ainsi une estimation de la masse totale deDpar

3.2 L"intégrale triple11masse(D) =Xm

k;l1n 2X M k;l2Df(Mk;l) =Sn(f):(6) La sommeSn(f)obtenue est l"équivalent en " 2D » des sommes de Riemann utilisée

pour les intervalles; à comparer avec la définition 1.1. La différence est le poids de chaque

échantillon. Le coefficient1=nen 1D est la longueur de chaque intervalle de la subdivision, et est remplacé en 2D par la surface1=n2du carréCk;l. On peut montrer que cette idée de pesée par découpage possède bien une limite quand on découpeDen des morceaux infiniment petits (n!+1). Théorème 3.1(Définition de l"intégrale double). Soitf:D!Rest continue sur le domaine régulierDdu plan. Les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale double defsurDcette limite, et on la noteZZ D

f(x;y)dxdy.Même si l"intuition nous porte à croire à ce résultat, sa démonstration mathématique est

hors de portée technique à ce niveau. Elle s"appuie sur les notions de borne sup, de suite de Cauchy et d"uniforme continuité qui ne sont pas au programme.

On va plutôt se consacrer à présenter les techniques de calculs de cette nouvelle intégrale.

3.2 L"intégrale triple

L"intégrale d"une fonction de 3 variablesf:D!Rsur un domaine deR3se définit selon les mêmes principes que ci-dessus. Pourn1, l"espace se découpe en cubes C k;l;m=n (x;y;z)2R3;kn x 2Ck;l;m: Le volume de chaque petit cubeCk;l;mde côté1n est1n

3. La masse totale du domaine avec

la densité par unité de volumefest approchée par la somme de Riemann " 3D »S n(f) =1n 3X M k;l;m2Df(Mk;l;m): On a de nouveau un résultat de convergence de ces approximations pourn!+1.

124 PREMIÈRES PROPRIÉTÉSThéorème 3.2(Définition de l"intégrale triple).Soitf:D!Rcontinue sur le domaine

régulierDdeR3. Les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale triple defsurDcette limite, et on la noteZZZ D f(x;y;z)dxdydz.4 Premières propriétés

4.1 L"intégrale double et l"aire

La notion d"intégrale double introduite conduit à une définition de l"aire pour les domaines

réguliers du plan. En effet, soitDdomaine régulier deR2et considérons la fonctionf constante égale à un surD. Avec les notation du §3.1, les sommes de Riemann correspondantes s"écrivent S n(1) =1n 2X M k;l2D1 =X M k;l2DAire(Ck;l) = AireDn=[ M k;l2DC k;l(7) C"est l"aire de la réunionDndes carrés pleins dont le coin inférieur gaucheMk;lest dansD. En quelque sorte, les domainesDnsont des approximations deD" à la précision »1n Comme "Dn!D» et que l"on sait aussi par le théorème 3.1 que S n(1) = Aire(Dn)!ZZ D dxdy ;

il est naturel de considérer cette intégrale comme mesurant l"aire deD.Définition 4.1.SoitDun domaine régulier deR2. Alors l"aire deDest donnée par

Aire(D) =ZZ

D dxdy : On montre que cela est cohérent avec la notion d"aire des domaines élémentaires " en piles » que l"on sait calculer avec des intégrales simples, cf. (1).

4.1 L"intégrale double et l"aire13Théorème 4.2.SoitDun domaine élémentaire en piles

D=f(x;y)2R2; axb; f(x)yg(x)g:

Alors on a :

Aire(D) =ZZ

D dxdy=Z b a (g(x)f(x))dx Z b a longueur(Dx)dx;(8)

oùDx=f(x;y);f(x)yg(x)gest la tranche deDd"abscissex.On a un énoncé équivalent en échangeantxetypour des domaines élémentaires qui se

présentent " en tranches » horizontales.

PourD=f(x;y)2R2; ayb; f(y)xg(y)g, on a

Aire(D) =ZZ

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