Math S2 PeiP Chapitre 1 Cours dintégration
— Définir la notion d'intégrale multiple pour les fonctions de 2 et 3 variables. — Donner les techniques de calculs principales : théorème de Fubini
Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
Pour connaitre l'intégral il suffit de connaitre une primitive: ‚ Une primitive de f sur ra
5. Les intégrales multiples
est l'intégrale que vous auriez écrite dans votre cours de calcul intégral pour calculer cette aire. On peut maintenant continuer.
Intégrale multiple
f(x)dx = 1. Il en résulte que f n'est pas intégrable (au sens de Riemann). 3. Université Virtuelle de Tunis. Intégrale multiple. Houcine Chebli
INTÉGRALES MULTIPLES
Il est très important de ne pas mélanger l'ordre des intégrations : il faut toujours commen- cer par le domaine dont les bornes sont des fonctions des
Chapitre 01 : Intégrales multiples
Intégrales doubles : 1. Principe de l'intégrale double sur un rectangle : Soit la fonction réelle des deux variables x et y
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
plan`etes sur la sonde au cours de son trajet (ce calcul est — entre autre — nécessaire pour Théoreme 9.2.1 (Intégrale double et volume sous le graphe).
Chapitre17 : Intégrale double
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre17 : Intégrale double II Définition de l'intégrale double d'une fonction continue et bornée.
Intégrales multiples
Or tout isomorphisme de R2 s'écrit comme composition finie de tels isomorphismes élémentaires (voir le cours d'algèbre linéaire cela peut se montrer en
Certificat en méthodes quantitatives
Applications de l'intégrale multiple. Intégrales impropres (fonction gamma). Ce cours comporte une séance d'exercices de deux heures par semaine.
[PDF] Math2 – Chapitre 3 Intégrales multiples
Pour connaitre l'intégral il suffit de connaitre une primitive: ‚ Une primitive de f sur ra bs est une fonction F dérivable telle que F1pxq“f pxq pour tout x
[PDF] Chapitre 3 Intégrale double
Faire le calcul de l'intégrale double I = ? ?D f(x y)dxdy dans l'exemple 3 14 pour la fonction f définie par f(x y) = x ? y Correction: On a I1 = ? ?D1f
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1 2 Changement de variables dans l'intégrale double 1 2 1 Cas général Soit ?(u v)=[x(u v)y(u v)] une application inversible de ? ? R2 sur D ? R2
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L'intégrale de Riemann d'une fonction de plusieurs variables se construit de façon ana- logue même s'il y a un certain nombre de subtilités supplémentaires On
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Le volume de la cheminée s'exprime `a l'aide d'une intégrale triple facile `a plan`etes sur la sonde au cours de son trajet (ce calcul est — entre autre
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f(x)dx = 1 Il en résulte que f n'est pas intégrable (au sens de Riemann) 3 Université Virtuelle de Tunis Intégrale multiple Houcine Chebli
[PDF] Intégrales Multiples - Laboratoire de Mathématiques dOrsay
pdf La référence principale utilisée pour ce cours sera le livre de David LAY Intégrale double d'une fonction définie sur un ensemble quarrable
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Définir la notion d'intégrale multiple pour les fonctions de 2 et 3 variables — Donner les techniques de calculs principales : théorème de Fubini
[PDF] INTEGRALES MULTIPLES
Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours c) Calculer de deux façons l'intégrale double suivante en coordonnées polaires
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Cours de 21h donné aux étudiants de physique en deuxi`eme année 2007-2008 On peut calculer l'intégrale double en moyenne de deux intégrales simples :
Math S2 PeiP
Chapitre 1
Cours d"intégration
Michel Rumin
Objectifs :
F airequelques rapp elssur l"in tégralede Riemann des fonctions d"une v ariable. Définir la notion d"in tégralem ultiplep ourles fonctions de 2 et 3 v ariables. Donner les tec hniquesde calculs prin cipales: théorème de F ubini,c hangementsde variables classiques (utilisés notamment en physique).1 Rappels en dimension 1
1.1 Sommes de Riemann et intégrale
Soitf:I= [a;b]!Rune fonction continue (éventuellement continue par morceaux sif a un nombre fini de sauts). Étant donné un entiern1, onéchantillonnefrégulièrement, par exemple aux points x k=knqui se trouvent dansI.Définition 1.1.On définit la somme de Riemann defassociée à l"échantillonagefxkg
par S n(f) =1n X fxk=kn2Igf(xk):
Géométriquement,Sn(f)représente l"aire (algébrique) situé entre l"axe des abscisses et
le graphe de la fonction en escalierfnqui est constante égale àf(xk)sur chaque intervalle [xk;xk+1[de largeur1n (et nulle sixk=2I).21 RAPPELS EN DIMENSION 1
Lorsquenest grand, le pas d"échantillonnage1n
est petit, et ces fonctionsfnsont de bonnes approximations deflà oùfest continue, carfoscille peu sur des intervalles de petite longueur. On a le théorème important suivant, qui donne une définition de l"intégrale de Riemann def, ainsi qu"un moyen de l"estimer numériquement (voir cours du S1). Théorème 1.2.Sif: [a;b]!Rest continue par morceaux, alors les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale defsur[a;b]cette limite, et on la noteZ b a f(x)dx.1.2 Deux interprétations de l"intégraleIntégrale et aire.D"après l"interprétation faite ci-dessus des sommesSn(f), l"intégraleZb
a f(x)dxse "voit» comme l"aire algébrique située entre le graphe defet l"axe des abscisses (comptée+sifest positive,sinon). +y=f(x)abSifest positive, on a : Z b a f(x)dx= Aire(x;y)2R2jaxbet 0yf(x):(1)1.2 Deux interprétations de l"intégrale3Cette propriété est évidement très utile car nous avons une intuition de ce qu"est l"aire
d"un domaine du plan et de ses propriétés principales. Mais cette idée sera beaucoup moins intéressante pour construire et comprendre l"intégrale de fonctions de 2 et 3 variables. En effet, une intégrale d"une fonction de 2 variables s"interprétera à l"aide d"un volume d"un domaine deR3(pas toujours facile à voir!), et pire, l"intégrale d"une fonction de 3 variables sera liée à un " hypervolume » en dimension 4, et là on ne voit plus rien! En résumé, mathématiquement, il faut plutôt considérer (1) comme un moyen de calcul d"un objet2D: l"aire d"un domaine du plan, à l"aide d"un objet1D: l"intégrale d"une fonction sur un intervalle, plutôt que l"inverse. 1 L"intégrale comme mesure, ou " pesée », d"une fonction.L"autre interprétation del"intégrale, qui se généralisera bien en toute dimension, est liée physiquement à la notion de
peséed"une barreI= [a;b]constitué d"un matériau de densité variablef(x). Cela signifie que la massemde d"une petite longueurxautour dexest mf(x)x:(2)Problème.Comment mesurer la masse totale de la barreI= [a;b]?On peut découper la barreIen des tas de petits morceaux de taillex= 1=n, par exemple
suivant les[xk=kn ;xk+1=k+1n [(avec éventuellement 2 morceaux incomplets aux bouts deI). La masse deIdoit être bien sûr2la somme des masses des morceaux, c"est à dire d"après
(2) masse(I) =Xm kX x k2If(xk)n =Sn(f):C"est précisément la définition des sommes de Riemann def, et le théorème 1.2 nous assure
que ce procédé de découpage et d"échantillonage converge vers l"intégrale defpourn!+1:
masse(I) =Z b af(x)dx:Cette idée dedécoupage et d"échantillonagese généralisera bien pour les fonctions
de plusieurs variables. Pour peser une plaque ou un solide de densité variablef, on peut le découper en petit morceaux, estimer la masse de chaque morceau en prenant une valeurdefsur celui-ci, et faire la somme des résultats.1. Cette formule est un cas particulier duthéorème de Fubini, que l"on verra plus loin.
2. Est-ce vraiment clair? Par exemple, la masse du noyau n"estpasla somme des masses de ces protons
et de ces neutrons! :-O41 RAPPELS EN DIMENSION 11.3 Propriétés élémentaires de l"intégrale simple
Il découle directement de la définition par sommes de Riemann et le théorème 1.2, quel"intégrale vérifie les propriétés suivantes (les fonctions sont supposées continues par mor-
ceaux) :Proposition 1.3.1.Croissance.Sifg, alorsRb af(x)dxRb ag(x)dx.2.Additivité par découpage, ou relation de Chasles.
Siabcetf: [a;c]!R, alorsRc
af(x)dx=Rb af(x)dx+Rc bf(x)dx.3.Calibrage.Rb
acdx=c(ba).4.Linéarité.Sifetg: [a;b]!Retk2R, alors
Z b a (f(x) +kg(x))dx=Z b a f(x)dx+kZ b a g(x)dx: Démonstration.Laissée en exercice. Les propriétés 1 et 4 sont satisfaites directement auniveau des sommes de Riemann, tandis que 2 et 3 demandent une petite vérification.Remarques.La propriété 1 est très utile pour estimer les intégrales " incalculables ».
Par exemple, on a pourx0:
Z x 0dte t+ 1Z x 0dte t= 1ex; x 22xZ x 0 (t+ sin(t2))dtx22 +x:
Siba, on pose par conventionRb
af(x)dx=Ra bf(x)dx. Dans ce cas, la relation de Chasles est satisfaite pour tous lesa,betc, quelque soit leur ordre. On peut montrer que l"intégrale estl"uniqueapplication qui satisfait les propriétés 1,2 et 3. Ce sont celles que l"on attend de la mesure d"une quantité comme la masse (ou la
charge) totale d"une barre de densitéf: -croissance: la masse croît avec la densité, -relation de Chasles: la masse totale est préservée par découpage, -calibrage: la masse d"une barreI= [a;b]de densité constantecestc(ba).Les propriétés 2 et 3 déterminent l"intégrale sur les fonctions en escalier, et la propriété 1 per-
met d"encadrer aussi précisément que souhaité l"intégrale d"une fonction continue quelconque
par celles de fonctions en escalier.Ces propriétés élémentaires auront des équivalents directs pour l"intégrale multiple des
fonctions de 2 et 3 variables. Ce n"est pas le cas des propriétés suivantes, spécifiques à la
dimension 1.1.4 Intégrale, primitive et dérivée51.4 Intégrale, primitive et dérivée
En dimension 1, intégration et dérivation sont en quelque sorte des opérations inverses l"une de l"autre. Théorème 1.4." Théorème fondamental de l"analyse ». 1. Soit f:I= [a;b]!R(ouC)une fonction continue. Alors la fonctionF:x2I7!F(x) =Z
x a f(t)dt est dérivable surIet on aF0(x) =f(x). On dit queFest uneprimitivedefsur I. 2. Si G:I!Rest une (autre) primitive defsurI, c"est-à-dire siGest dérivable surIavecG0=f, alorsGFest constante. Plus précisément, on a pourx2I,G(x) =G(a) +Z
x a f(t)dt:Démonstration.Rappels, voir cours S1.1. D"après Chasles, on aF(x+h)F(x) =Rx+h
xf(t)dt. D"où, en écrivanthf(x) =Rx+h xf(x)dt, on aF(x+h)F(x)h
f(x) =1h Z x+h x (f(t)f(x))dt; d"où,F(x+h)F(x)h
f(x)sup jtxjhjf(t)f(x)j !0 pourh!0; par continuité defenx.2. On aF0=G0=f, d"où(GF)0= 0etGFest constante=CsurIpar le théorème
des accroissements finis. Pourx=a, on obtientC=G(a)F(a) =G(a).Cet énoncé permet de calculer les intégrales des fonctions dont on connaît une primitive.
Par exemple :
k1,(xk)0=kxk1=)Z b a xk1dx=1k [xk]ba, sin0= cos =)Z b a cosxdx= [sinx]ba, (lnx)0=1x sur]0;+1[ =)Z b adxx = lnblna, pour0< ab,61 RAPPELS EN DIMENSION 1etc... Voir cours S1.
Les corollaires suivants du théorème fondamental 1.4 sont très importants car ils sont àla base des principales méthodes de calcul des intégrales : revoir le cours du S1 et le début
de la feuille 1 de TD pour quelques applications.Corollaires 1.5.1.Intégrale d"une dérivée.Sifest de classeC1sur[a;b], alors
Z b a f0(x)dx=f(b)f(a);2.Intégration par parties.Pourfetgde classeC1sur[a;b]
Z b a f(x)g0(x)dx=Z b a f0(x)g(x)dx+f(b)g(b)f(a)g(a);3.Changement de variables.Si': [a;b]!Rest de classeC1etfest continue sur
l"intervalle'([a;b])alors on a : Z b a f('(x))'0(x)dx=Z '(b) '(a)f(y)dy : Autrement dit, siy='(x)est la nouvelle variable, alors "dy='0(x)dx». Démonstration.1.fest une primitive def0et le théorème 1.4 s"applique.2.(fg)0=f0g+fg0par Leibniz. Alors par 1,
Z b a (fg)0(x)dx=f(b)g(b)f(a)g(a) =Z b a (f(x)g0(x) +f0(x)g(x))dx: 3.On considère la fonction :x2[a;b]7!Z
'(x) '(a)f(y)dy. On a (x) = (F')(x)(F')(a) avecF(x) =Z x a f(t)dt: D"où, 0(x) ='0(x)F0('(x)) ='0(x)f('(x)), et en intégrant Z b a0(x)dx= (b) (a) =Z
'(b) '(a)f(y)dy=Z b a '0(x)f('(x))dx: 72 Fonctions de plusieurs variables et domaines réguliers
On rentre maintenant dans le vif du sujet. On voudrait d"abord décrire et apprendre à représenter les domaines du planR2et de l"espaceR3sur lesquels on va intégrer des fonctions de 2 (resp. 3) variables. Ce problème de domaine ne se posait pas vraiment en dimension 1 : on y intègre les fonctions définies sur des intervalles. Par contre, les domaines deR2etR3peuvent être beaucoup plus compliqués en général!Quelques dessins.
2.1 Domaines réguliers
On va travailler avec des parties (ou domaines)Dqui sont définies par un nombre fini de conditions. Ils se présentent sous la forme : D=f(x;y)2R2tels quef1(x;y)0etf2(x;y)0 etfn(x;y)0gdansR2; D=f(x;y;z)2R2tels quef1(x;y;z)0 etf2(x;y;z)0 etfn(x;y;z)0gdansR3:Les signes des inégalités, ni les constantes, n"ont pas vraiment d"importance (quitte à rem-
placer lesfipargi=cfi, on afic,gi0).Voici quelques exemples dans le plan :
D1=f(x;y)2R2; x+y1g;
D2=f(x;y)2R2;0y ;0x3; x+ 22yg;
D3=f(x;y)2R2; x2+ 2xyx+ 2g;
D4=f(x;y)2R2;1x2+y24; x+y0g:
On constate que ces domaines sont délimités par une collection finie des courbes du type y=f(x)oux=f(y)qui correspondent aux cas d"égalité dans les inégalités.82 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES ET DOMAINES RÉGULIERSEn pratique,pour dessiner un domaine
D=f(x;y)2R2; f1(x;y)0; f2(x;y)0;; fn(x;y)0g;
on procède de la façon suivante. 1. P ourc haqueide1àn, on trace la courbefi(x;y) = 0. Elle délimite 2 parties du planfi(x;y)0etfi(x;y)0. 2. On rep èrela partie fi(x;y)0, par exemple en testant si un point donné y est ou non. On la hachure (par exemple). 3. On prend l"intersectiondes domaines hachurés obtenus. En théorie, ce procédé pourrait ne pas marcher à tous les coups pour des fonctions peu régulières ou présentant certaines dégénérescences3. De plus, les domaines définis ainsi ne
sont pas nécessairement bornés : par exemple le demi-planD1ci-dessus ne l"est pas, et on ne pourra pas définir simplement une intégrale dans un tel cas.Pour éviter ces problèmes, on se restreindra à une catégorie de domaines que l"on appellera
réguliersici. Remarque2.1.Attention, la terminologie qui suit n"est pas du tout universelle. Elle sertseulement à fixer les idées dans ce cours, et à donner des énoncés mathématiquement justes
sans rentrer dans des détails trop techniques!Définition 2.2.On dit qu"un domaineDdeR2estréguliersiDse décompose (se
découpe) en une réunion finie de domainesélémentairesEdu typeE=f(x;y)2R2; axb; f(x)yg(x)g(3)
ouE=f(x;y)2R2; ayb; f(y)xg(y)g;(4) avecfetgcontinues sur[a;b]. Les domaines élémentaires se présentent : soit en pilesau dessus des abscisses pour (3), soit en tranchespour (4).Exemples.3. Cela pose rarement de problème en pratique, en tout cas pas dans les exercices ni les contrôles;-)
2.2 Fonctions continues de plusieurs variables9De la même façon dansR3.Définition 2.3.On dit qu"un domaineDdeR3estréguliersiDse décompose (se
découpe) en une réunion finie de domainesélémentairesEdu type (à permutation des coordonnées près)E=f(x;y;z)2R3;(x;y)2régulier; f(x;y)zg(x;y)g;
avecfetgcontinues sur. Remarque2.4.Le domaine planest en quelque sorte l"ombre du domaineDvu du dessus. Par exemple : les cubes, pyramides, boules sont élémentaires. Ainsi, la bouleB=f(x;y;z)2R3; x2+y2+z2R2g
se présente aussi sur la forme B=f(x;y;z)2R3;(x;y)2disque de centre(0;0)de rayonR; f(x;y) =pR2x2y2zg(x;y) =pR
2x2y2g:
2.2 Fonctions continues de plusieurs variables
Comme dans le cas de l"intégrale de Riemann sur un intervalle, on ne peut pas intégrer n"importe quelle fonction sur un domaine régulier deR2etR3. On travaillera avec des fonctions continues.Définition 2.5.SoitDune partie deR2etf:D!R. On dit quefestcontinuesurD si quelque soit(x0;y0)fixé dansD, on af(x;y)!f(x0;y0)lorsque(x;y)2Dest tel que xtend versx0etytend versy0. La définition de continuité pour les fonctions de 3 variables est du même genre. Cetteclasse de fonction est stable par les opérations usuelles.Proposition 2.6.1.L esfonctions p olynomialesdes c oordonnéessont c ontinuessur
R2(ouR3),
2. L essommes, pr oduitsde fonctions c ontinuessur Dsont continues surD, 3. Si f:D!IRetg:I!Rsont continues, alors la composéegf:D!Rl"est aussi.103 DÉFINITION DE L"INTÉGRALE MULTIPLEExemples2.7.(x;y)7!exy2sin(x+y) +px
2+y2est continue surR2,
(x;y)7!1x2+y2est définie et continue sur le domaine (régulier)D=f(x;y)2
R2;1x2+y2100g,
Dans les exemples concrets, et en TD, les fonctions sont fabriquées par somme, produit,composition à partir des coordonnées et les fonctions classiques (ex,sin, etc), et sont continues
sur leur domaine de définition. On se contentera de vérifier qu"elles sont bien définies! On
n"aura pas besoin d"approfondir ces notions dans ce cours d"introduction à l"intégration.3 Définition de l"intégrale multiple
3.1 L"intégrale double
SoitDun domaine régulier du plan etf:D!Rune fonction continue. Pour définir l"intégrale defon va procéder comme en dimension 1, par découpage et échantillonage en adaptant les sommes de Riemann du chapitre 1. On considère quefest la densité par unité de surface de la plaqueD, c"est-à-dire que m=Sf(x);(5) et on veut estimer la masse totale deD. Pourn1entier donné, on peut découper le plan en des carrés (pleins) de largeur1n C k;l=n (x;y)2R2;kn xComme la surface du carréCk;lest1n
2, la masse du petit carré est donc d"après (5)
m k;l1n2f(Mk;l):
On a ainsi une estimation de la masse totale deDpar3.2 L"intégrale triple11masse(D) =Xm
k;l1n 2X M k;l2Df(Mk;l) =Sn(f):(6) La sommeSn(f)obtenue est l"équivalent en " 2D » des sommes de Riemann utiliséepour les intervalles; à comparer avec la définition 1.1. La différence est le poids de chaque
échantillon. Le coefficient1=nen 1D est la longueur de chaque intervalle de la subdivision, et est remplacé en 2D par la surface1=n2du carréCk;l. On peut montrer que cette idée de pesée par découpage possède bien une limite quand on découpeDen des morceaux infiniment petits (n!+1). Théorème 3.1(Définition de l"intégrale double). Soitf:D!Rest continue sur le domaine régulierDdu plan. Les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale double defsurDcette limite, et on la noteZZ Df(x;y)dxdy.Même si l"intuition nous porte à croire à ce résultat, sa démonstration mathématique est
hors de portée technique à ce niveau. Elle s"appuie sur les notions de borne sup, de suite de Cauchy et d"uniforme continuité qui ne sont pas au programme.On va plutôt se consacrer à présenter les techniques de calculs de cette nouvelle intégrale.
3.2 L"intégrale triple
L"intégrale d"une fonction de 3 variablesf:D!Rsur un domaine deR3se définit selon les mêmes principes que ci-dessus. Pourn1, l"espace se découpe en cubes C k;l;m=n (x;y;z)2R3;kn x3. La masse totale du domaine avec
la densité par unité de volumefest approchée par la somme de Riemann " 3D »S n(f) =1n 3X M k;l;m2Df(Mk;l;m): On a de nouveau un résultat de convergence de ces approximations pourn!+1.124 PREMIÈRES PROPRIÉTÉSThéorème 3.2(Définition de l"intégrale triple).Soitf:D!Rcontinue sur le domaine
régulierDdeR3. Les sommes de RiemannSn(f)convergent vers un nombre réel limite lorsquentend vers+1. On appelle intégrale triple defsurDcette limite, et on la noteZZZ D f(x;y;z)dxdydz.4 Premières propriétés4.1 L"intégrale double et l"aire
La notion d"intégrale double introduite conduit à une définition de l"aire pour les domaines
réguliers du plan. En effet, soitDdomaine régulier deR2et considérons la fonctionf constante égale à un surD. Avec les notation du §3.1, les sommes de Riemann correspondantes s"écrivent S n(1) =1n 2X M k;l2D1 =X M k;l2DAire(Ck;l) = AireDn=[ M k;l2DC k;l(7) C"est l"aire de la réunionDndes carrés pleins dont le coin inférieur gaucheMk;lest dansD. En quelque sorte, les domainesDnsont des approximations deD" à la précision »1n Comme "Dn!D» et que l"on sait aussi par le théorème 3.1 que S n(1) = Aire(Dn)!ZZ D dxdy ;il est naturel de considérer cette intégrale comme mesurant l"aire deD.Définition 4.1.SoitDun domaine régulier deR2. Alors l"aire deDest donnée par
Aire(D) =ZZ
D dxdy : On montre que cela est cohérent avec la notion d"aire des domaines élémentaires " en piles » que l"on sait calculer avec des intégrales simples, cf. (1).4.1 L"intégrale double et l"aire13Théorème 4.2.SoitDun domaine élémentaire en piles
D=f(x;y)2R2; axb; f(x)yg(x)g:
Alors on a :
Aire(D) =ZZ
D dxdy=Z b a (g(x)f(x))dx Z b a longueur(Dx)dx;(8)oùDx=f(x;y);f(x)yg(x)gest la tranche deDd"abscissex.On a un énoncé équivalent en échangeantxetypour des domaines élémentaires qui se
présentent " en tranches » horizontales.PourD=f(x;y)2R2; ayb; f(y)xg(y)g, on a
Aire(D) =ZZ
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