[PDF] COMPOSITION DE MATH´EMATIQUES

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02 MAJ.1563

CONCOURS G

ENERAL DES LYCEES

SESSION DE 2002

COMPOSITION DE MATH

´EMATIQUES

(Classe terminale S) Dur

´ee: 5 heures

||{La calculatrice de poche est autorisee.

La clarte et la precision de la redaction seront prises en compte dans l'appreciation des copies.Les premi`eres questions de chacune des trois premi`eres parties de ce probl`eme sont ind´ependantes

des autres parties. Il n"est donc pas obligatoire de commencer l"´etude dans l"ordre indiqu´e, `a

condition d"indiquer la question trait´ee en respectant l"indexation du texte.

Les candidats peuvent admettre les r´esultats d"une question, `a condition de l"indiquer clairement

sur la copie.

Dans tout le probl`eme, un triangleABCest la figure d´etermin´ee par les trois pointsA,B,Csuppos´es non align´es.

Conform´ement `a la tradition, les longueurs de ses cˆot´es seront not´eesa=BC,b=CAetc=AB, et?A,?Bet

?Csont les mesures en radians, comprises entre0et, de ses angles.

Les trois premi`eres parties se d´eroulent dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct(O;-→u ;-→v)associ´e

aux coordonn´ees(x;y)?ou(X;Y)?.

Tournez la page, S. V. P.

-2-

Premi`ere Partie

SoitABCun triangle. On notePle projete orthogonal du pointAsur la droite (BC) etDle symetrique du pointCpar rapport a la droite (AP). On dit que ce triangle estpseudo-rectangleenAsi???B-?C??=2 On precise qu'il estpseudo-rectangleenA,obtusenBdans le cas ou?B-?C=2

1.Montrer que le triangleABCest pseudo-rectangle enAsi et seulement si le triangleABDest rectangle enA.

2.Montrer quePA2=PB:PCsi et seulement si le triangleABCest rectangle enAou pseudo-rectangle enA.

3.Montrer que le triangleABCest pseudo-rectangle enAsi et seulement si son orthocentre est le symetrique du

pointApar rapport a la droite (BC).

4.SoitRle rayon du cercle circonscrit au triangleABC. Montrer quePB+PC= 2Rsi et seulement siABC

est rectangle enAou pseudo-rectangle enA.

5.Montrer que le triangleABCest pseudo-rectangle enAsi et seulement si la droite (AP) est tangente au cercle

circonscrit au triangleABC.

6.Dans le plan complexe associe au repere orthonorme direct (O;-→u ;-→v), on note,,

les axes des points non alignesA,B,C. a) Donner une condition necessaire et susante sur )2pour que le triangleABCsoit pseudo-rectangle enA. b) On suppose=- = ei4 . Determiner l'ensemble (E1) des pointsAdu plan tels que le triangleABCsoit pseudo-rectangle enA. c) On suppose=- = 1. Determiner l'ensemble (E2) des pointsAdu plan tels que le triangleABCsoit pseudo-rectangle enA. d) Par quelle transformation geometrique simple passe-t-on de (E2) a (E1)?

Deuxi`eme Partie

1.Soit (a;b;c) un triplet de reels strictement positifs.Etablir l'equivalence des conditions suivantes :

[i] il existe un triangleABCpseudo-rectangle enAet obtus enBtel queAB=c,BC=aetCA=b; [ii]b2-c2=a?b 2+c2; [iii] il existe deux reelsetveriant >0, 0< <4 eta=cos2,b=cosetc=sin. Ces conditions etant realisees, montrer quemesure l'un des angles du triangleABC. Comment peut-on interpreter geometriquement? -3-

2.SoitABCun triangle pseudo-rectangle enA, obtus enBet dont les longueurs des c^otes sont des nombres

rationnels; soitetles deux reels denis au1.[iii].

Dans cette question, on pourra utiliser sans justification les formules trigonom´etriques suivantes v´erifi´ees par tout

r´eel'pour lequeltan'est d´efinie : cos2'=1-tan2'1 + tan

2';sin2'=2 tan'1 + tan

2'·

a) Montrer queest rationnel et en deduire que tan2 est rationnel. Soientpetqles entiers strictement positifs et premiers entre eux tels que tan 2 =pq b) Verier que 0< p < q(⎷2-1) et etablir l'existence d'un rationnel strictement positifrtel que a=r(p4-6p2q2+q4); b=r(q4-p4); c= 2pqr(p2+q2):

3.Montrer reciproquement que les formules du2.b) denissent les longueurs des c^otes d'un triangle pseudo-

rectangle enA, obtus enBet dont les longueurs des c^otes sont rationnelles.

4.a) Soientpetqdeux entiers strictement positifs premiers entre eux. Determiner le plus grand diviseur commun

aux trois entiersp4-6p2q2+q4,q4-p4, 2pq(p2+q2) (on discutera suivant la parite depetq).

b) Decrire les triplets d'entiers (a;b;c) tels qu'il existe un triangleABC, pseudo-rectangle enAobtus enB, tel

queAB=c,BC=aetCA=b.

5.Resoudre dansN?l'equationx2(y2+z2) = (y2-z2)2.

6.Resoudre dansQ?l'equationx2(y2+z2) = (y2-z2)2.

7.Resoudre dansN?l'equationx2(y2-z2)2= (y2+z2)3.

Troisi`eme Partie

SoitHla courbe denie parx?1 ety=?x

2-1. SoientAun point deHet (r;s) le couple de ses coordonnees.

On noteAl'aire de la partie du plan denie par les relations 1?x?rety2?x2-1.

1.CalculerAen fonction deret des(on pourra par exemple eectuer une rotation du repere d'angle-=4).

2.Le but de cette question est de retrouver le r´esultat pr´ec´edent en utilisant une m´ethode dont le principe remonte

`a Fermat, sans doute peu apr`es 1658 : ??De quationum localium transmutatione et emendatione ad ultimodam

curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometric in quadrandis

innitis parabolis et hyperbolis usu ??(uvres completes, Tome I, pages 225-285). Soitnun entier naturel non nul etuun reel positif tel queun=r+s. Pour tout entierkentre 1 etn, on

considere le trapeze rectangleTk(eventuellement reduit a un triangle) dont le c^ote oblique est le segment ayant

pour extremites les points de coordonnees (uk-1;0) et (uk;0), dont les bases ont pour pente-1 et dont l'un des

angles droits a pour sommet le point deHd'abscisseuk-1+u1-k2

Tournez la page, S. V. P.

-4-

a) On denit bien ainsi, pour chaque valeur dek, un unique trapezeTk(reduit a un triangle lorsquek= 1) :

illustrer par un croquis. b) Pourquoi peut-on conjecturer que la somme des aires de ces trapezes admet A+s22 comme limite lorsquen tend vers l'inni?

c) Demontrer la conjecture precedente en utilisant une autre suite de trapezes combinee a la premiere.

d) Retrouver la valeur deA.

3.SoientBetCles points de coordonnees respectives (1;0) et (-1;0) etAun point de coordonnees (x;y) avec

x?0 ety?0 tel que le triangleABCsoit pseudo-rectangle enA.

On noteSl'aire du triangleABCetS?l'aire de la partie du plan constituee des points de la plaque triangulaire

denie par le triangleABCdont les coordonnees (X;Y) verientY2?X2-1. Etudier une eventuelle limite lorsquextend vers l'inni du rapportS?S

Quatri`eme Partie

Cette partie se d´eroule dans l"espace rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct(O;-→u ;-→v ;-→w)associ´e aux coordonn´ees

(x;y;z).

Dans le plan d'equationz= 0, soit (C) le cercle de centreOet de rayon 1 et soientTetPdeux points distincts

tels que la droite (TP) soit tangente au cercle (C) enT. SoientBetCles intersections de la droite (OP) avec le

cercle (C) et (D) la droite perpendiculaire au plan d'equationz= 0 passant parP.

1.a) Montrer qu'il existe deux pointsAetA?appartenant a la droite (D) tels que les trianglesABCetA?BC

soient pseudo-rectangles respectivement enAetA?; donner une construction simple de ces deux points. b) Montrer que les coordonnees de ces deux points verient l'egalitex2+y2=z2+ 1.

2.Soit (H) l'ensemble des pointsAetA?quandTetPvarient.

a) Quelle est l'intersection de l'ensemble (H) avec un plan orthogonal a-→w? b) Quelle est l'intersection de l'ensemble (H) avec un plan contenant la droite (O;-→w)? c) Montrer que l'ensemble (H) est inclus dans une reunion de droites que l'on precisera.

3.On s'interesse dans cette derniere question aux points entiers de l'ensemble (H), c'est-a-dire aux elements de

(H) dont les trois coordonnees sont des nombres entiers. a) Soit (x;y;z) le triplet des coordonnees d'un tel point. Montrer quexouyest impair.

On note desormaisSl'ensemble des triplets (x;y;z) d'entiers naturels strictement positifs tels quexest impair

etx2+y2=z2+ 1. b) Soitdun entier strictement positif xe. Demontrer que l'ensemble des elements (x;y;z) deStels que PGCD(x+ 1;y+z) =dest l'ensemble vide sidest impair et un ensemble inni sidest pair.

c) Soitmun entier naturel impair superieur ou egal a 3. Combien y a-t-il d'elements (x;y;z) deStels quex=m?

Determiner ces elements lorsquem= 3;5;7;9.

(BC;BA)¡(CA;CB)´(BD;BA) + (DA;DB)´ ¡(AB;AD) (modulo¼) valables dans tous les cas de ¯gure (il n'y a donc pas µa discuter selon la position deB).

2.SiABCest rectangle enA, la relationPA2=PB:PCest bien connue. S'il est pseudo-rectangle enA, alors

PA2=PB:PC0

d'oµuPC=PC0. SiC0=C, alorsABCest rectangle enA. Sinon,C0=DetABCest pseudo-rectangle enAd'aprµes le1.

et en est l'orthocentre si, et seulement s'il appartient aussi µa celle issue deB, donc siBHDest rectangle enH

pseudo-rectangle enA. dACB=dADB. Donc siABCest rectangle, on aPB+PC=BC= 2Ret, s'il est pseudo-rectangle, on aPB+PC=PB+PD=BD= 2Rd'aprµes le1. le triangleABCest rectangle enA. b) Sinon, le pointCpar exemple appartient au segment [PB] d'oµuBD=PB+PD=PB+PC= 2R, ce qui

implique comme au a) queABDest rectangle enApuisqueRest aussi le rayon de son cercle circonscrit, et donc

queABCest pseudo-rectangle enA.

n'est pas rectangle. Si l'on note le centre de son cercle circonscrit, le quadrilatµereAPI est un rectangle, d'oµu

PB+PC= 2PI

= 2A = 2R, etABCest pseudo-rectangle enA.

6.a) SiABCest direct, des arguments respectifs de®¡¯°¡¯;®¡°¯¡°et(®¡¯)(®¡°)(¯¡°)2sont

cB,¡cCet c

¡6¡

;donc si, et seulement si,(®¡¯)(®¡°)(¯¡°)2est imaginaire pur. b) Si¯=¡°= ei¼4=

1 + ip2

et®=x+ iy, on trouve(®¡¯)(®¡°)(¯¡°)2=

®2¡¯24¯2=

x2¡y2+ i(2xy¡1)4i ;et c) Si¯=¡°= 1 et®=x+ iy, on trouve(®¡¯)(®¡°)(¯¡°)2=

®2¡¯24¯2=

x2¡y2¡1 + 2ixy4 et (E2) possµede d) Comme (E2) est l'image de (E1) par la rotation de centreOet d'angle¡¼4

¡!PB :¡!PC, (CA) est une bissectrice de (CB;C), (A) et (BC) sont parallµeles, le centre du cercle d'Euler

appartient µa (BC), les bissectrices de (AB;AC) font avec (BC) des angles de mesure§¼4 ;AP=RcoscA, cos cA= 2 sincBsincC,AB2+AC2=BC2+ 4PA2,jAB2¡AC2j= 2RBC,ABAC= 2R2cos cA, cos cA=2ABACAB2+AC2etc(voir aussi la partie suivante). sin2c

B+ sin2c

C= 1,AB2+AC2= 4R2et

1AB2+ 1AC2=

1AP2¢

Deuxiµeme Partie

;0´ et³

¡a2

;0´ et µaccos¡¼¡cB¢+a2 =csincC+a2 cC;c=asincCcos2 cCet en¯nb2¡c2=apb2+c2.

¡cA2

;cC=¼4

¡cA2

etcA <¼2 qui donnenta,betcen fonction deRet decA. puisa=b2¡c2pb2+c2=½cos2µ.

¡7¡

RemarqueOn peut aussi utiliser la question6.c) de la premiµere partie.

2.a) Puisque tanµ=cb

;ce nombre est rationnel, ainsi que cos2µ=1¡tan2µ1 + tan2µ ;et il en va de m^eme pour

½=acos2µ;cosµ=b½

et sinµ=c½

¢On dispose alors de la relation tanµ2

=sinµ1 + cosµ2Q. b) Posant'=¼8 ;il vient aussit^ot tan¼8 sont claires si l'on pose'=µ2 etr=½(p2+q2)2¢

4.a) SoitDle plus grand diviseur commun aux trois nombresp2¡6p2q2+q4,q4¡p4et 2pq(p2+q2). Montrons

qu'ils n'admettent aucun diviseur commun premier impair. En e®et, ce nombre diviseraitpq(p2+q2), mais

nonp(puisqu'alors il diviseraitq4et doncq), niqpour une raison analogue ; il diviserait doncp2+q2et de la formeD= 2±.

et donc 2pq(p2+q2)¡4, ce qui montre qu'il ne peut diviser 2pq(p2+q2) et queD64. Mais 4 divise 2(p2+q2),

b) Nous savons qu'il existe un quadruplet d'entiers positifs (p;q;n;d), avecpetqpremiers entre eux commenet

d, tels que a=nd (p4¡6p2q2+q4); b=nd (q4¡p4); c=nd (2pq)(p2+q2)

et 0< p < q(p2¡1). Puisquea,betcsont entiers,dqui est premier avecnest un diviseur commun aux trois

par un rationnel de la forme ND q¡p2 etq0= q+p2 a=¡N(p04¡6p02q02+q04),b=N(2p0q0)(p02+q02) etc=N(q04¡p04) (ici 0< q0( p2¡1)< p0< q0).

¡8¡

rationnels) est tout µa fait analogue. Donnons seulement les grandes lignes. On pose ici½ >0, 0< µ <¼2

avec

µ6=¼4

;d'oµux=½jcos2µj¢Ici encore, on peut poser tanµ2 =pq relations x=nd (p2+q2)3; y=nd (q2¡p2)jp4¡6p2q2+q4j; z=nd (2pq)jp4¡6p2q2+q4j avec nd =½(p2+q2)jp4¡6p2q2+q4j

s'ils sont tous deux impairs, avecD= 8. On peut aussi faire des remarques analogues µa celles qui concluent la

question4.

Troisiµeme partie

couple³x+yp2 ;y¡xp2 p2 et 2xy>1, traduction exacte des anciennes relations 16x6rety26x2¡1. etx=r+sp2

(abscisses des points d'intersection de la droitex+y=rp2 et de l'hyperbole 2xy= 1) et la droitey+x=rp2,

respectivement³uk¡1+u1¡k2 ;uk¡1¡u1¡k2 et³uk+u1¡k2 ;uk¡u1¡k2

¢Le premier appartient µaHet le second

¢L'aire deXest alors

12

¡9¡

qu'Archimµede ou Fermat (leurs ¾uvres le prouvent). C'est d'ailleurs par des suites adjacentes analogues que l'on

respectivementSk= u¡14 (u2k¡1+u2k¡2¡2) etS=u2n¡14

¡nu¡12

=(r+s)2¡14

¡nu¡12

voisinage de l'in¯ni den(u¡1) =n¡npr+s¡1¢. en posantt=1n k= u¡14 u2k¡1+ u2k¡2¡ 2u des calculs ci-dessus µa partir de la limite de la suiten(u¡1).

primitive pour toute fonction continue (quoique cette partie montre justement comment relier les deux). On peut

strictement positifs. La majoration lna < a2poura >1 donne aussit^ot la limite delnaa quandatend vers l'in¯ni etc.

¢Par suite

S0= 12 12 positif 12

Quatriµeme partie

puisque si un triangleACest pseudo-rectange enA, il en va de m^eme pour le triangleACB. La question2.de la

¡10¡

trianglesTPCetBPTsemblables d'aprµes la congruence (modulo¼) d'angles de droites (TP;TC)´(BP;BT),

¡O;¡!w¢,

qui existent puisquePn'est pas sur le cercle, fassent des angles de mesures¼4 ou¡¼4 z= 0.

x2+y2=z2+ 1 appartiennent µaH, sauf ceux pour lesquelsz= 0 (le cercle de diamµetre [BC]). En e®et,

A. cercle et faisant un angle de mesure¼4 leurs points de cote nulle. impossible (il doit ^etre multiple de 4 ou de la forme 8h+ 1).

Par suiteddoit ^etre multiple de 2.

Supposons doncd= 2±=x+ 1a

=z+yb ¢Les entiers strictement positifsaetbsont premiers entre eux et

sont tels quex2+y2¡z2¡1 = 4±a(±a¡bc¡1) = 0. Les nombresxetzsont visiblement strictement positifs ;

¡11¡

yn'est donc pas nul. Posonsm= 2p+ 1. Cherchons d'abord le nombre de couples solutions (m;y;z) avecz >0

etyde signe quelconque. SiNest le nombre de diviseurs dep+1, c'est aussi le nombre de couples (±;a) d'entiers

strictement positifs tels quem= 2±a¡1. SiN0est le nombre de diviseurs dep>1, c'est aussi le nombre de

couples (b;c) d'entiers strictement positifs tels quep=bc. Il existe doncNN0quadruplets (±;a;b;c) d'entiers

positifs tels quem= 2±a¡1 et±a¡bc= 1. ±0=±etc0=c. Il existe doncNN0couples (y;z) solutions distincts avecz >0 ety6= 0.

convenable trµes analogue µa (±;a;b;c), puisqu'alorsx0=x=m,y0=¡yetz0=z. Puisque le nombreyest

que 1 = (p+ 1)¡p=¸(aa0¡bb0), d'oµu¸= 1, c'est-µa-dire±0=aetc0=b, puisa0=±etb0=c.

le m^emezet la m^eme valeur absolue µay. Il existe doncNN02 ^etre le cas µa la fois pourpet pourp+ 1).

Pourm= 3, on trouvep= 1,N= 2,N0= 1 et

NN02 = 1. La seule solution est (3;1;3), le seul quadruplet est rejeter.

Pourm= 5, on trouvep= 2,N= 2,N0= 2 et

NN02 = 2. Les deux solutions sont (5;1;5) et (5;5;7), les deux quadruplets sont (3;1;1;2) et (3;1;2;1).

Pourm= 7, on trouvep= 3,N= 3,N0= 2 et

NN02 = 3. Les trois solutions sont (7;1;7), (7;4;8) et (7;11;13), les trois quadruplets sont (4;1;1;3), (2;2;3;1) et (4;1;3;1).

Pourm= 5, on trouvep= 4,N= 2,N0= 3 et

NN02 = 3. Les trois solutions sont (9;1;9), (9;8;12) et (9;19;21), les trois quadruplets sont (5;1;1;4), (5;1;2;2) et (5;1;4;1). etc± typex=x0+2kab,y=y0+k(b2¡a2) etz=z0+k(b2+a2) oµukest un entier arbitraire, et forment donc une contient de m^eme les points entiers dont les

¸+¹¸¡¹;y0=

1¡¸¹¸+¹etz0=

1 +¸¹¸+¹¢

fa»con aussi simple que pour celles de la deuxiµeme partie, puisque les quatre paramµetres qui apparaissent dans la

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