[PDF] §6.6 Sens géométrique du déterminant





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Seconde - Déterminants de deux vecteurs. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls ?? et ? sont colinéaires si et seulement si



DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE

déterminant par une formule on a essayé de motiver géométriquement On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. 1. Dans le plan.



Déterminants

Cas de deux vecteurs dans R2. Définition et propriétés. Orientation. 2 Déterminant en dimension 3. Produit mixte et produit vectoriel.



Déterminant

Nous commencerons le chapitre en introduisant le déterminant d'un système de deux vecteurs dans R2. Christophe Ambroise. Déterminant. 3 / 39 



§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l'aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent.



R R

déterminant



Déterminant Déterminant Déterminant et parallélogramme

En pratique le déterminant d'une matrice mesure une surface



Produit vectoriel et déterminant cours de niveau secondaire II

Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs. Etant donné deux vecteurs a b



Sommaire 1. Déterminant de n vecteurs dans une base B

Déterminants. 1.3. Propriétés élémentaires. Théorème : Échanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par ?1. Théorème : Si on a deux fois le même vecteur 



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Vecteurs colinéaires I) Déterminants de deux vecteurs Soit (O ? ?) un repère du plan Les vecteurs ??? et ??? ont pour coordonnées



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On appelle déterminant de A noté det(A) le déterminant dans la base canonique de Kn des deux ou trois vecteurs colonnes de la matrice A Puis on définit le 



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Nous commencerons le chapitre en introduisant le déterminant d'un système de deux vecteurs dans R2 Christophe Ambroise Déterminant 3 / 39 



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le déterminant comme un volume signé On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme 1 Dans le plan 1 1 Volume des parallélogrammes



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Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant



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28 août 2017 · Définition 8 13 On dit que deux vecteurs ?? u et ?? v sont orthogonaux si p??u ??vq “ 0 8 3 Déterminant Définition 8 14 (a) Soient



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Le déterminant est un nombre que l'on associe à n vecteurs (v1 vn) de n Il correspond au volume du parallélépi- pède engendré par ces n vecteurs



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Déterminants 1 3 Propriétés élémentaires Théorème : Echanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par ?1 Théorème : Si on a deux fois le même vecteur 



[PDF] §66 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l'aire signé du parallélogramme engendré Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent

  • Quel est le déterminant de deux vecteurs ?

    Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien
    Le déterminant des vecteurs X et X' est l'aire (orientée) du parallélogramme généré par les deux vecteurs (en bleu). Démonstration géométrique du fait que Det(X , X') = y'x-yx' (pour y'>y et x>x').

  • Comment trouver un déterminant de vecteur ?

    1Soit le vecteur ?v tel que ?v=k?u v ? = k u ? avec k réel. Par définition, nos deux vecteurs sont colinéaires.2Premier cas : ?u est le vecteur nul. Le déterminant est donc égal à 0. 3Second cas : ?u est non nul.4Le déterminant de ?u et ?v est donc :5Les coordonnées du vecteur ac?v a c v ? sont :

  • Comment savoir que deux vecteurs sont colinéaires ?

    On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur ?u est colinéaire au vecteur ?v , alors il existe un scalaire k tel que ?u=k?v u ? = k v ? .
  • Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est le nombre [u, v, w]=(u ? v) · w. Soit B = (i,j, k) une base orthonormée de l'espace et u, v, w trois vecteurs se décomposant selon u = x1i + y1j + z1k, v = x2i + y2j + z2k, w = x3i + y3j + z3k.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dansR2représentel"aire signé du

parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou biendans les directions opposées, en

sommessi ces deux vecteurs sontco-linéairs ( liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant. Le déterminant de trois vecteurs dansR3représentelevolume signé du pa rallélépipèdeengendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sontco-planaires, ou encoreliés. libres()volume6=0()det6=0. liés()volume=0()det=0. Une basef~a1;;~angest ditebase directe si det (~a1;;~an)>0, et base indirecte sinon. T estercette notion sur f~e1;~e2;~e3get f ~e1;~e3;~e2g.

Produit scalaire de deux vecteurs

0 B @u 1... u n1 C A:0 B @v 1... v n1 C

A=u1v1+u2v2+unvn, et~u~v=0 ssi orthogonal.

Opérateur chapeau dansR2:[x

y =y x . Il est conçu pour transformer déterminant en produit scalaire : det(~u;~v) =u 1v1 u 2v2 =u1v2u2v1=u2 u 1 v1 v 2 b~u~v: Produit vectoriel dansR3:~u~vjour le même rôle : det(~u;~v;~w) =~u~v~w: Preuve. Développer suivant la dernière colonne...Est-ce que b~uest orthogonal à~udansR2?

Que peut-on dire sur

~u~vdansR3? f ~u;~v;~u~vgforme-t-ilbase directe ou indirecte ?

Produit scalaire de deux vecteurs

0 B @u 1... u n1 C A:0 B @v 1... v n1 C

A=u1v1+u2v2+unvn, et~u~v=0 ssi orthogonal.

Opérateur chapeau dansR2:[x

y =y x . Il est conçu pour transformer déterminant en produit scalaire : det(~u;~v) =u 1v1 u 2v2 =u1v2u2v1=u2 u 1 v1 v 2 b~u~v: Produit vectoriel dansR3:~u~vjour le même rôle : det(~u;~v;~w) =~u~v~w: Preuve. Développer suivant la dernière colonne...Est-ce que b~uest orthogonal à~udansR2?

Que peut-on dire sur

~u~vdansR3? f ~u;~v;~u~vgforme-t-ilbase directe ou indirecte ?

§7. Diagonalisation

Objective : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonale

2) Appendre a rendre une matrice non diagonale en une diagonale

3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

§7.1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?

Addition, multiplication, puissance, polynôme.

déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ~v1;;~vn)0 B 10 0n1 C A=

1~v1;;n~vn

Exemple.

0 @1 0 0 1 2 1

3 1 01

A0 @3 0 0 01 0 0 01 A =0 @3 0 0 32
91 01
A.

§7. Diagonalisation

Objective : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonale

2) Appendre a rendre une matrice non diagonale en une diagonale

3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

§7.1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?

Addition, multiplication, puissance, polynôme.

déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ~v1;;~vn)0 B 10 0n1 C A=

1~v1;;n~vn

Exemple.

0 @1 0 0 1 2 1

3 1 01

A0 @3 0 0 01 0 0 01 A =0 @3 0 0 32
91 01
A. §7.2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleM

On dit queAestsemblable à MsiAs"écrit

A=PMP1;ou bienP1AP=M;

avecPune matrice inversible.

Exemple.A=3a2b2a+2b

3a3b2a+3b

=Pa0 0b P 1avec P=1 2 1 3 Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2;A3;An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!

Preuve.A

2= (PMP1)2= (PMP1)(PMP1) =PM(P1P)MP1=

PM

2P1=Pa20

0b2 P

1=3a22b22a2+2b2

3a23b22a2+3b2

§7.2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleM

On dit queAestsemblable à MsiAs"écrit

A=PMP1;ou bienP1AP=M;

avecPune matrice inversible.

Exemple.A=3a2b2a+2b

3a3b2a+3b

=Pa0 0b P 1avec P=1 2 1 3 Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2;A3;An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!

Preuve.A

2= (PMP1)2= (PMP1)(PMP1) =PM(P1P)MP1=

PM

2P1=Pa20

0b2 P

1=3a22b22a2+2b2

3a23b22a2+3b2

§7.3 Diagonalisation

Diagonaliser

une matrice A, c"est de trouver une matrice inversible Pet une matrice diagonaleMtelle queA=PMP1, ou bien, AP=PM. Ce n"est pas toujours possible. Certaines matrices ne sont pas diagonalisables.

Etant donnéA, comment trouverP= (~v1;;~vn)et

M=0 B 10 0n1 C

Atels queAP=PM? Rappelons que

PM= (~v1;;~vn)0

B 10 0n1 C A=

1~v1;;n~vn

etAP= (A~v1;;A~vn).

DoncAP=PM()A~v1=1~v1;;A~vn=n~vn.

§7.3 Diagonalisation

Diagonaliser

une matrice A, c"est de trouver une matrice inversible Pet une matrice diagonaleMtelle queA=PMP1, ou bien, AP=PM. Ce n"est pas toujours possible. Certaines matrices ne sont pas diagonalisables.

Etant donnéA, comment trouverP= (~v1;;~vn)et

M=0 B 10 0n1 C

Atels queAP=PM? Rappelons que

PM= (~v1;;~vn)0

B 10 0n1 C A=

1~v1;;n~vn

etAP= (A~v1;;A~vn).

DoncAP=PM()A~v1=1~v1;;A~vn=n~vn.

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur~vnon nul est unvecteur p ropre deAsiA~vest proportionnel à~v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur telle queA~v=~v. On dit queest lavaleur p roprede A associée à ~v.

Reprenons notre exemple Exemple.

A=3a2b2a+2b

3a3b2a+3b

=Pa0 0b P

1avecP=1 2

1 3

DoncAP=Pa0

0b , etA1 1 =a1 1 ,A2 3 =b2 3 .1 1 est un vecteur propre, de valeur propre associéea;2

3est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.Nous venons de démontrer :

Théorème de diagonalisation. Une matrice carréennest diagonalisable ssi elle possèdenvecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur~vnon nul est unvecteur p ropre deAsiA~vest proportionnel à~v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur telle queA~v=~v. On dit queest lavaleur p roprede A associée à ~v.

Reprenons notre exemple Exemple.

A=3a2b2a+2b

3a3b2a+3b

=Pa0 0b P

1avecP=1 2

1 3

DoncAP=Pa0

0b , etA1 1 =a1 1 ,A2 3 =b2 3 .1 1 est un vecteur propre, de valeur propre associéea;2

3est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.Nous venons de démontrer :

Théorème de diagonalisation. Une matrice carréennest diagonalisable ssi elle possèdenvecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur~vnon nul est unvecteur p ropre deAsiA~vest proportionnel à~v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur telle queA~v=~v. On dit queest lavaleur p roprede A associée à ~v.

Reprenons notre exemple Exemple.

A=3a2b2a+2b

3a3b2a+3b

=Pa0 0b P

1avecP=1 2

1 3

DoncAP=Pa0

0b , etA1 1 =a1 1 ,A2 3quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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