Déterminant Déterminant Déterminant et parallélogramme PDF

Deux vecteurs non nuls ?? et ? sont colinéaires si et seulement si

DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE

déterminant par une formule on a essayé de motiver géométriquement On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. 1. Dans le plan.

Déterminants

Cas de deux vecteurs dans R2. Définition et propriétés. Orientation. 2 Déterminant en dimension 3. Produit mixte et produit vectoriel.

Déterminant

Nous commencerons le chapitre en introduisant le déterminant d'un système de deux vecteurs dans R2. Christophe Ambroise. Déterminant. 3 / 39

§6.6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l'aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent.

Déterminant Déterminant Déterminant et parallélogramme

En pratique le déterminant d'une matrice mesure une surface

Produit vectoriel et déterminant cours de niveau secondaire II

Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs. Etant donné deux vecteurs a b

Sommaire 1. Déterminant de n vecteurs dans une base B

Déterminants. 1.3. Propriétés élémentaires. Théorème : Échanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par ?1. Théorème : Si on a deux fois le même vecteur

[PDF] Déterminants de deux vecteurs Vecteurs colinéaires - Parfenoff org

Vecteurs colinéaires I) Déterminants de deux vecteurs Soit (O ? ?) un repère du plan Les vecteurs ??? et ??? ont pour coordonnées

[PDF] Déterminants

On appelle déterminant de A noté det(A) le déterminant dans la base canonique de Kn des deux ou trois vecteurs colonnes de la matrice A Puis on définit le

[PDF] Déterminant

Nous commencerons le chapitre en introduisant le déterminant d'un système de deux vecteurs dans R2 Christophe Ambroise Déterminant 3 / 39

[PDF] DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE

le déterminant comme un volume signé On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme 1 Dans le plan 1 1 Volume des parallélogrammes

[PDF] VECTEURS ET REPÉRAGE - maths et tiques

http://www maths-et-tiques fr/telech/Lecture_coord pdf Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant

[PDF] LES VECTEURS - maths et tiques

Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant

[PDF] R - produit scalaire déterminant produit vectoriel droites et plans

28 août 2017 · Définition 8 13 On dit que deux vecteurs ?? u et ?? v sont orthogonaux si p??u ??vq “ 0 8 3 Déterminant Définition 8 14 (a) Soient

[PDF] Déterminants - Exo7 - Cours de mathématiques

Le déterminant est un nombre que l'on associe à n vecteurs (v1 vn) de n Il correspond au volume du parallélépi- pède engendré par ces n vecteurs

[PDF] Sommaire 1 Déterminant de n vecteurs dans une base B

Déterminants 1 3 Propriétés élémentaires Théorème : Echanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par ?1 Théorème : Si on a deux fois le même vecteur

[PDF] §66 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l'aire signé du parallélogramme engendré Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent

Quel est le déterminant de deux vecteurs ?
Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien
Le déterminant des vecteurs X et X' est l'aire (orientée) du parallélogramme généré par les deux vecteurs (en bleu). Démonstration géométrique du fait que Det(X , X') = y'x-yx' (pour y'>y et x>x').
Comment trouver un déterminant de vecteur ?
1Soit le vecteur ?v tel que ?v=k?u v ? = k u ? avec k réel. Par définition, nos deux vecteurs sont colinéaires.2Premier cas : ?u est le vecteur nul. Le déterminant est donc égal à 0. 3Second cas : ?u est non nul.4Le déterminant de ?u et ?v est donc :5Les coordonnées du vecteur ac?v a c v ? sont :
Comment savoir que deux vecteurs sont colinéaires ?
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur ?u est colinéaire au vecteur ?v , alors il existe un scalaire k tel que ?u=k?v u ? = k v ? .
Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w est le nombre [u, v, w]=(u ? v) · w. Soit B = (i,j, k) une base orthonormée de l'espace et u, v, w trois vecteurs se décomposant selon u = x1i + y1j + z1k, v = x2i + y2j + z2k, w = x3i + y3j + z3k.

Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Vincent Nozick

Vincent NozickDeterminant1 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Introduction :

En pratique, le determinant d'une matrice mesure une surface, un volume, ou un objet de dimension superieure.

Sens originel :

Determine l'unicite de la solution d'un systeme lineaire.

Vincent NozickDeterminant2 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant et parallelogramme

Soit le parallelogramme deni paru=ux

u y etv=vx v y :Le determinant de la matrice[ujv],notedet(u;v), est l'aire de ce parallelogramme, aecte du signesi le trajet deuavse fait dans le sens des aiguilles d'une montre.

Vincent NozickDeterminant3 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :det(u;u) = 08l'aire d'un parallelogramme issu de 2 vecteurs colineaires est nulle.

Vincent NozickDeterminant4 / 27

Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :Alternance

det(u;v) =det(v;u)ne tourne pas dans le m^eme sens pour passer deuavVincent NozickDeterminant5 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueParallelogramme

L'aire d'un parallelogramme = basehauteurVincent NozickDeterminant6 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueParallelogramme

Les parallelogramme denis par(u;v)et(u;v+u)ont la m^eme base et la m^eme hauteur, donc la m^eme surface .

Vincent NozickDeterminant7 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :det(u;v) = det(u;v+u)8pour une matrice, l'ajout a une colonne d'une combinaison lineaire des autres colonnes ne changent pas son determinant.

Vincent NozickDeterminant8 / 27

Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :Additivite

det(u;v+w) = det(u;v) + det(u;w)Vincent NozickDeterminant9 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :det(u;v) =det(u;v)multiplier une colonne de la matrice par

multiplie aussi le determinant par.Vincent NozickDeterminant10 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :

det(u;v+w) = det(u;v) + det(u;w) et det(u;v) =det(u;v) +Linearite

det(u;v+w) =det(u;v) +det(u;w)Vincent NozickDeterminant11 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant

Propriete :

1 0 0 1 = 1Vincent NozickDeterminant12 / 27 Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant22

Soient

!iet!jles vecteurs unitaires du referentiel, on a : a b c d = det(a!i+c!j ;b!i+d!j)det(a!i+c!j ;b!i+d!j) =det(a!i+c!j ;b!i) + det(a!i+c!j ;d!j) =det(a!i ;b!i) + det(c!j ;b!i) + det(a!i ;d!j) + det(c!j ;d!j) =abdet(!i ;!i)+ cbdet(!j ;!i) +addet(!i ;!j)+cddet(!j ;!j) =adbcdeterminant22 a b c d

=adbcVincent NozickDeterminant13 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueSysteme lineaire

Soit le systeme :

4xy= 1

2x+ 3y= 5

On pose :u=4

2 v=1 3 etb=1 5

Le systeme s'ecrit alors :ux+vy=bVincent NozickDeterminant14 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueSysteme lineaire

ux+vy=bdet(b;v)=det(ux+vy;v) =xdet(u;v) +ydet(v;v) =xdet(u;v) )x=det(b;v)det(u;v) de m^eme ...

)y=det(u;b)det(u;v)Vincent NozickDeterminant15 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueSysteme lineaire

4xy= 1

2x+ 3y= 5etu=4

2 v=1 3 etb=1 5 x=det(b;v)det(u;v)y=det(u;b)det(u;v) x= 11 5 3 41
2 3 814
y= 4 1 2 5 41
2 3 1814

Vincent NozickDeterminant16 / 27

Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant33 Introduction :Le determinantdet(u;v;w)correpond au volume du parallelepipede

issu des vecteursu,vetw.Vincent NozickDeterminant17 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant33

Proprietes :

Si au moins deux vecteurs parmiu,vetwsont colineraires ou bien siu,vetwsont coplanaire, alorsdet(u;v;w) = 0.

Le signe du determinant depend de la \regle de la main gauche".Vincent NozickDeterminant18 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant33

Avec les mains :

Le determinant d'une application lineaire est un nombre qui represente un facteur multiplicatif pour les volumes.

Cube jaune de volume 1)volume du cube vert=valeur

absolue du determinant de l'application. La deuxieme application a un determinant nul)aplatissement des volumes. Le signe du determinant est positif s'il est possible de deformer contin^ument le cube jaune pour obtenir le vert. Il est negatif s'il est necessaire d'y appliquer en plus une symetrie.

Vincent NozickDeterminant19 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminant33

Calcul :

M=2 4m

11m12m13

21m22m23

31m32m333

5 det(M) =m11:m22:m33m11:m32:m23 m21:m12:m33+m21:m32:m13 +m31:m12:m23m31:m22:m13Vincent NozickDeterminant20 / 27 Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminantnn M=2 6 664m

11m12m1n

21m22m2n

m n1mn2mnn3 7 775

Comatrice(matrice des cofacteurs)

Cof i;j= (1)i:j2 6

66666666664m

11m1;j1m1;j+1m1n

m i1;1mi1;j1mi1;j+1...mi1;n m i+1;1mi+1;j1mi+1;j+1...mi+1;n m n1mn;j1mn;j+1mnn3 7

77777777775

Calcul recursif :det(M) =Pn

i=1mi;jdet(Cofi;j)Vincent NozickDeterminant21 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminantnn

Calcul recursif :exemple avec determinant33

M=2 4m

11m12m13

21m22m23

31m32m333

5 det(M) =m11m 22m23
m 32m33
m21m 12m13 m 32m33
+m31m 12m13 m 22m23

Vincent NozickDeterminant22 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminantnD

Pour calculer le determinant d'une matrice :

33: 3 determinants de matrices22

44: 4 determinants de matrices33

55: 5 determinants de matrices44

66: 6 determinants de matrices55

,!120 determinants33Vincent NozickDeterminant23 / 27Determinant 2DSyst emelin eaireD eterminant3D D eterminantnDCa lculnum eriqueDeterminantnD