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Lemme de Rokhlin, temps de retour et quelques applications

T. de la Rue

Master 2 MFA Rouen 2015-2016

Dans tout ce chapitre,Test un automorphisme de l'espace de Lebesgue (X;A;), c'est-a- dire une transformation deXinversible, bi-mesurable, et preservant la mesure de probabilite . Le fait queTsoit inversible permet notamment de considerer les partiesT(A);T2(A);::: qui sont automatiquement mesurables des queAl'est, et de m^eme mesure queA. Le lecteur est invite a enoncer et demontrer des resultats analogues a ceux presentes dans la suite dans le cas ouTest simplement unendomorphisme(une transformation preservant la mesure, mais non necessairement inversible) de (X;A;). L'objectif est ici d'introduire des outils fondamentaux en theorie ergodique : d'une part la notion de temps de retourdans une partie deXet les deux theoremes basiques qui s'y rapportent (theoreme de recurrence de Poincare et formule de Kac), avec comme application le concept detransformation induite, d'autre p artle lemme de Rokhlin, qui assure l'existence dans un systeme dynamique quelconque d'une structure appeleetour de Rokhlin, essentielle dans la preuve de nom- breux resultats de theorie ergodique, dont par exemple la construction d'un generateur denombrable exposee ici. Ces trois theoremes (theoreme de recurrence de Poincare, formule de Kac et lemme de Rokh- lin) sont regroupes ensemble car ils peuvent ^etre demontres presque simultanement a l'aide d'une m^eme gure presentee au paragraphe suivant.

1 Le temps de retour

1.1 Le schema du temps de retour : une gure pour tout demontrer

Prenons une partieAde mesure strictement positive dansX. Pour toutx2A, on denit letemps de retour dexenApar r

A(x) := minn

k1 :Tkx2Ao avec bien s^ur la convention min;=1. On partitionne alorsAsuivant les valeurs possibles de ce temps de retour, en posant A k:=fx2A:rA(x) =kg(k= 1;2;:::;1): Sur la gure 1, on a representeAcomme la reunion disjointe desAk, et les images succes- sives des partiesAkavant leur retour dansA. Au-dessus deA1, rien n'appara^t car tous les points deA1retournent dansAdes la premiere iteration deT. Au-dessus deA2, on a dessine TA

2qui a m^eme mesure queA2et qui est disjoint deA. L'ensembleT2A2n'est pas represente

1

Figure1 { Le schema du temps de retour

car il est contenu dansA. En general, pour tout entierk, les imagesTAk;T2Ak;:::;Tk1Ak sont disjointes deA, donc deux a deux disjointes, et ne rencontrent pas non plus les en- semblesTAj;T2Aj;:::;Tj1Ajpourj6=kpar l'injectivite deT. On represente ainsiAk, TA k,T2Ak, ...,Tk1Akles uns au-dessus des autres, sous forme d'une tour. Enn, au-dessus deA1se trouve une tour de hauteur innie constituee des parties deux a deux disjointes TA

1;T2A1:::.

1.2 Le theoreme de recurrence de Poincare

Theoreme 1.1(Poincare).SoitA2Aavec(A)>0. Alors pour-presque toutx2A, r

A(x)<1.

Demonstration.On vient de voir que les imagesTA1;T2A1:::constituent une famille innie de parties deux a deux disjointes; or chacune de ces parties a m^eme mesure queA1. Comme

la mesure deXest nie, cela n'est possible que si(A1) = 0.Corollaire 1.2.Si(A)>0, pour presque tout point deAil existe une innite d'entiers

k

1< k2

1.3 Valeur moyenne du temps de retour : formule de Kac

Le theoreme de recurrence de Poincare arme que, des que(A)>0, presque tout point deArevient au moins une fois dansA. Il est intuitivement clair que plus la mesure de l'ensembleAest petite, plus il faudra attendre longtemps avant de revenir dansA. Le theoreme qui suit precise, dans le cas ergodique, comment varie la moyenne du temps de retour en fonction de(A). Theoreme 1.3(Formule de Kac).Supposons(X;A;;T)ergodique. Alors pour toutA2A avec(A)>0, la moyenne du temps de retour enAvaut 1(A)Z A r

A(x)d=1(A):

2 Demonstration.PuisqueTest ergodique et(A)6= 0, on a 0 n0T nA1 A = 1: Or, S n0TnAest constitue de la reunion desTjAkrepresentes sur la gure 1, d'ou +1X k=0k1X j=0(TjAk) = 1; ce qui s'ecrit 1 = +1X k=0k(Ak) =Z A r

A(x)d(x):2 Tours de Rokhlin

Dans un systeme dynamique donne (X;A;;T), on appelletour de Rokhlinune famille nie de parties mesurables de la forme

T= (B;TB;:::;Th1B);

ou lesTjB, 0jh1, sont deux a deux disjoints. L'ensembleBest labasede la tour T, chaqueTjBest appele unetagedeT, et l'entierhest lahauteurdeT. La tour designe aussi (abusivement) la reunion des etages, et lamesurede la tour est donc(T) =h(B). Il est courant de representer graphiquement une tour de Rokhlin en placant ses etages les uns au-dessus des autres; l'action deTconsiste alors, au niveau de la tour, a monter d'un etage. Exemple {Dans le schema du temps de retour presente precedemment, pour toutk1 la famille (Ak;TAk;:::;Tk1Ak) est une tour de Rokhlin de hauteurk.

2.1 Le lemme de Rokhlin dans le cas ergodique

Theoreme 2.1(Lemme de Rokhlin, cas ergodique).Supposons le systeme(X;A;;T)er- godique, etnon atomique. Alors pour tout" >0et tout entierh1, il existe une tour de

Rokhlin de hauteurhet de mesure au moins1".

Demonstration.PuisqueTest ergodique, dans le schema du temps de retour construit a partir d'une partieAde mesure(A)>0, on a represente l'espaceXtout entier (a un negligeable pres) sous forme de la reunion disjointe des tours de Rokhlin T k:= (Ak;TAk;:::;Tk1Ak) (k1): Dans chaque tourTk, on peut ensuite construireqktours de hauteurh, ouqkest le quotient de la division euclidienne dekparh. SoitBla reunion de toutes les bases de ces tours de hauteurhainsi obtenues : alorsT:= (B;TB;:::;Th1B) est encore une tour de Rokhlin de 3 hauteurh. De plus, au-dessus de chacun deAkil y a au plush1 etages deTkqui ne se retrouvent pas dansT. On en deduit (XnT)(h1)(A): Pour queTsoit la tour annoncee, il sut donc d'avoir au depart choisi unAtel que 0<

(A)< "=(h1), ce qui est toujours possible siest non atomique.Figure2 { Construction d'une tour de Rokhlin de hauteurh= 3 a partir du schema du

temps de retour

2.2 Le cas non ergodique : le lemme de Zorn mesurable

Dans le cas ouTn'est pas ergodique mais que le nombre de composantes ergodiques est ni, on peut construire comme dans la section precedente une tour dans chaque partie, et considerer la reunion des tours. Dans le cas general, le m^eme theoreme reste valable a condition de supposer l'aperiodicite du systeme. Denition 2.2.Le systeme dynamique(X;A;;T)est ditaperiodiquesi pour tout entier n1, (fx2X:Tnx=xg) = 0: Exercice 2.1.Prouver que si(X;A;;T)est aperiodique, alorsest non atomique. Theoreme 2.3(Lemme de Rokhlin).Supposons le systeme(X;A;;T)aperiodique. Alors pour tout" >0et tout entierh1, il existe dans le systeme une tour de Rokhlin de hauteur het de mesure au moins1". La demonstration repose sur la m^eme idee que dans le cas ergodique; pour reproduire la m^eme construction, il sut de montrer qu'il existe un ensemble mesurableAde mesure arbitrairement petite, tel queS n0TnA=Xa un negligeable pres. Pour obtenir un telA sans l'ergodicite, on a recours au lemme suivant (voir [3]). Lemme 2.4(Lemme de Zorn mesurable).SoitCune collection non vide de parties me- surables deXordonnee par l'inclusion. Supposons que toute famille(An)n2Ndenombrable et croissante dansCadmette une borne superieure dansC. AlorsCadmet un elementM maximal (au sens ou : siM12CverieMM1, alors(M1nM) = 0). 4 Demonstration.SoitA02Cet soits0:= supf(A) :A2C;A0Ag. Sis0=(A0), alorsA0est un element maximal. Sinon, il existeA12C, contenantA0, et tel que(A1)> (A0) +s0(A1)2 . On considere alorss1:= supf(A) :A2C;A1Ag. On construit ainsi par recurrence une famille croissante (Ai)id'elements deC, qui admet donc par hypothese

une borne superieureA2C. AlorsAest un element maximal.Preuve du lemme de Rokhlin dans le cas general.Fixons un entierm1. On considere

C:=A2A:A;TA;:::;Tm1Asont deux a deux disjoints:

Si (An)n2NCavecAkAk+1, alorsA:=S

n2NAnest la borne superieure de (An) dans C. Ainsi, on sait queCadmet au moins un element maximalA. Montrons qu'un telAverie automatiquement n2NT nA) = 1: On peut toujours supposer queX= [0;1] etest la mesure de Lebesgue. Par l'hypothese d'aperiodicite, on sait qu'avec probabilite 1 les pointsx;Tx;:::;Tm1xsont deux a deux distincts. En supposant par l'absurde que(S n2NTnA)<1, on en deduit que(D)>0, ou Dest l'ensemble desx2Xtels quex;Tx;:::;Tm1xsont deux a deux distincts et jamais dans[n2NTnA. Puis, il existe >0 tel que(D)>0 ouDest l'ensemble desx2Dtels que x;Tx;:::;T m1xsont a une distance au moinsl'un de l'autre. Enn, il existe un intervalle

Ide longueur(I)< tel que

(D\I)>0:

Mais alors les ensembles

D \I;T(D\I);:::;Tm1(D\I) sont deux a deux disjoints, et disjoints de S n2NTnA, ce qui contredit la maximalite deA. Comme l'entiermpeut ^etre choisi arbitrairement grand,(A) peut ^etre aussi petit que l'on veut (car les ensembles (TiA)0idonc eectuer la m^eme construction que dans le cas ergodique.3 Quelques applications du temps de retour

3.1 Ce que dit le theoreme de recurrence... et ce qu'il ne dit pas!

Malgre la simplicite de sa demonstration, le theoreme de recurrence de Poincare est un resultat extremement puissant aux consequences parfois surprenantes, comme le montre l'exemple qui suit.

Modelisation d'un gaz dans un recipient ferme

On considere un recipient ferme, disons un parallelepipede rectangle, contenantNmolecules de gaz.A un instant donne, l'etat du systeme est donne par les 3Ncoordonnees des positions des molecules et les 3Ncoordonnees de leurs vitesses respectives. L'evolution dans le temps de l'etat du systeme suit les lois de la mecanique classique (chocs elastiques des molecules entre elles et sur les parois du recipient). On peut denir une transformationTde l'ensembleXdes etats possibles, qui a l'etatxdu systeme a l'instanttfait correspondre l'etatTxdu systeme 5 a l'instantt+1s. On montre que cette transformation preserve la mesure de Lebesgue surX qui est une partie bornee deR6n(application du theoreme de Liouville). Supposons maintenant que le recipient soit separe en deux par une cloison etanche, lesN molecules de gaz se trouvant dans une m^eme moitie, l'autre etant vide.A l'instantt= 0, on retire cette cloison. Le gaz se detend alors et remplit le recipient entier. Mais le theoreme de recurrence de Poincare arme que, puisqu'a l'instant 0 toutes les molecules sont dans une certaine moitie du recipient, avec probabilite 1 il existera un autre instantk >0 ou l'on retrouvera toutes les molecules dans cette m^eme moitie... De maniere plus imagee : si a l'instant 0 on retire la valve d'un pneu gon e, bien s^ur le pneu se degon e, mais si l'on attend assez longtemps, avec probabilite 1 on verra le pneu se regon er tout seul! Formule ainsi, le theoreme de recurrence de Poincare peut sembler pour le moins cho- quant. Mais la formule de Kac donne une explication a ce paradoxe : l'ensemble des etats du systeme ou toutes les molecules sont regroupees dans une moitie donnee du recipient etant de probabilite 2 N, le temps moyen qu'il faut attendre pour se retrouver dans un tel etat est 2 Ns (passons sur la question de l'ergodicite...). SiNest de l'ordre du nombre d'Avogadro, il est clairement impensable d'esperer observer un jour le phenomene du temps de retour!

Le faux retour de Poincare

Un article publie dansPour la science(fevrier 87) illustre le theoreme de recurrence de Poincare par une etrange serie d'images. La premiere est un portrait de Henri Poincare, et les suivantes sont obtenues en iterant sur ce portrait une certaine transformation qui preserve la mesure de Lebesgue. Le portrait dispara^t peu a peu, puis revient de maniere miraculeuse a la 241 eiteration! Or, ce retour n'est certainement pas ce que predit le theoreme de recurrence de Poincare.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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