[PDF] Introduction au cours de physique (2) - Exercices : Analyse

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Introduction au cours de physique (2)

Exercices : Analyse dimensionnelle et Mesures

?Calculs dimensionnels? ???Ex-2.1P´eriode d"un pendule :Soit un pendule simple constitu´e d"une massemaccroch´ee `a

l"extr´emit´e mobile d"un fil de longueurl. On travaille dans le r´ef´erentiel terrestre o`u le champ

de pesanteur est-→g.

1)Montrer, par une analyse dimensionnelle, que la p´eriode des petites oscillations de ce pendule

s"´ecritT=K? l g, o`uKest une constante sans dimension.

2)Quel remarque concernantTm´erite-t-elle d"ˆetre not´ee?

???Ex-2.2Vitesse de lib´eration :On d´efinitvlla vitesse de lib´eration (ou vitesse d"´evasion) d"un

objet dans l"environnement de la Terre par la vitesse que l"on doit lui communiquer pour que son ´energie m´ecanique soit nulle (ÜCf Cours de M´ecanique).

1)Quels sont les param`etres pertinents pour exprimervl?

2)En d´eduire l"expression devlpar une analyse dimensionnelle (cette analyse ´etant qualitative,

on rappelle que l"expression s"obtient `a une constante multiplicative sans dimension pr`es, que seule l"analyse quantitative ou l"exp´erience fournie). ???Ex-2.3Les grandeurs de Planck En combinant les trois constantesG,cet?, on obtient les grandeurs dePlancksuivantes :? ?G c5,? ?G c3et? ?c G.

1)D´eterminer quelle grandeur est homog`ene `a :

- une longueur, appel´ee" longueur de Planck »et not´eelP. - une masse, appel´ee" masse de Planck »et not´eemP. - une dur´ee, appel´ee" durée de Planck »et not´eeτP.

2)CalculerτP,lPetmP. Pour ces applications num´eriques, utiliser les valeurs des constantes

fournies dans la le¸conIP2.

3)On introduit ´egalement la" température de Planck », not´eeTP`a partir des constantesc,kB

etmP(masse de Planck). D´eterminer l"expression deTPet la calculer. ???Ex-2.4Vibration d"une goutte d"eau La fr´equence de vibration d"une goutte d"eau va d´ependre de plusieurs param`etres. On suppo-

sera que la tension superficielle est le facteur pr´edominant dans la coh´esion de la goutte; par

cons´equent, les facteurs intervenant dans l"expression de la fr´equence de vibrationfseront : -R, le rayon de la goutte; -ρ, la masse volumique, pour tenir compte de l"inertie; -A, la constante intervenant dans l"expression de la force due`a la tension superficielle (la dimension deAest celle d"une force par unit´e de longueur).

On ´ecrira donc :

f=k1RaρbAc, o`uk1est ici une constante sans dimension;a,betcsont les exposants deR,ρetA. →En d´eduire les valeurs dea,betc. [ρ] = [masse volumique] =M L-3 [A] =?force longueur? =MLT-2L=M T-2 =?T-1=La(M L-3)b(M T-2)c???T -1=T-2c

1 =LaL-3b

1 =MbMc

Exercices - Analyse dimensionnelle et mesures2008-2009

Donc :???2c= 1

a-3b= 0 b+c= 0=????a=-3 2b=-1 2c=1

2=?f=k11R?

A Rρ ???Ex-2.5Vibration d"une ´etoile : mod`ele de Lord Raleigh (1915)

La fr´equence de vibration d"une ´etoile va d´ependre de plusieurs param`etres. La coh´esion d"une

´etoile ´etant assur´ee par les forces de gravitation, on s"attend `a devoir faire intervenir :

-R, le rayon de l"´etoile; -ρ, la masse volumique de l"´etoile; -G, la constante de gravitation universelle.

1)Donner l"expression de la fr´equence de vibrationfen fonction deR,ρetG:

f=k2RaρbGc (sans expliciter la constante sans dimensionk2).

2)Sachant que la valeur deGest connue, quelles donn´ees peut-on obtenir `a partir de la fr´equence

de vibration? 1) [R] = [rayon de l"´etoile] =L [ρ] = [masse volumique] =M L-3 [G] =?force.r2 m1m2? =(MLT-2)L2M2 =M-1L3T-2 ?T-1=La(M L-3)b(M-1L3T-2)c???T -1=T-2c

1 =LaL-3bL3c

1 =MbM-c

Donc :

?2c= 1 a-3b+ 3c= 0 b-c= 0=????a= 0 b=1 2c=1

2=?f=k2?

ρG

2)Donc, lorsquefetGsont connues, la seule mesure deRdonne acc`es `a la valeur de la masse

volumiqueρde l"´etoile. ???Ex-2.6Chauffage d"un lingot `A partir du moment o`u l"on rentre un lingot froid dans un fourchaud, la vitesse `a laquelle

augmentera la temp´erature au centre va d´ependre des facteurs g´eom´etriques (on prendraLpour

la dimension lin´eaire), de la conductibilit´e thermique (k), et de l"inertie thermique dans laquelle

interviennent la capacit´e calorifique massique `a pression constantecPet la masse, ce qui n´ecessite

l"introduction de la masse volumiqueρ.

Soitt, la dur´ee n´ecessaire pour atteindre une temp´erature donn´ee au centre du lingot. En ap-

pelantθla dimension de la temp´erature etTcelle du temps, on calculera les exposants de l"expression det: t=k3caPρbkcLd(ici,k3est une constante sans dimension).

Rq1 :cP≡1

m? ∂H∂T? P , o`uHnote l"enthalpie(homog`ene `a une ´energie,ÜCf Cours de

Thermodynamique) du syst`eme de massem.

Rq2 :La" conductibilité » thermique ou " conductivité »thermique lie levecteur densité de

flux thermique(homogène à une puissance par unité de surface) au gradient de la température

(homogène à une température divisée par une longueur) :-→jth≡ -k--→gradT(loi deFourier).

t=k3(caPρbkcLd) Cherchons d"abord la dimension de la conductivité thermiquek:

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices - Analyse dimensionnelle et mesures

[k] =[-→jth][--→gradT]=[W.m-2][K.m-1]=(M L2T-3)L-2θL-1=M LT-3θ-1

Et comme :

[L] = [longueur caractéristique] =L, [cP] = [capacité thermique à pression constante] =L2T-2θ-1, [ρ] = [masse volumique] =M L-3, on en déduit :

T= (L2T-2θ-1)a(M L-3)b(M LT-3θ-1)cLd

?T=T-2aT-3c

1 =L2aL-3bLcLd

1 =θ-aθ-c

2a-3b+c+d= 0

a+c= 0 b= 1 c=-1 d= 2 =?t=k3cPρL2 k ???Ex-2.7D´eviation de la lumi`ere par le Soleil (**)

Einsteinédite en 1915 la théorie de la relativité générale. Il y décrit la gravitation comme une

modification de l"espace-temps, prédisant, ainsi, des effets tels que ladéviation de la lumière par

des corps massifs.

Einsteinavait prévu, par exemple, qu"en cas d"éclipse de Soleil, on devait pouvoir observer des

étoiles qui auraient dû être occultées par le bord de celui-ci. Cet effet a été observé pour la

première fois en 1919 et largement confirmé depuis. Le but de cet exercice est de déterminer, de manière simple, l"ordre degrandeur de l"angle de déviation d"un rayon lumineux frôlant le Soleil. Un rayon lumineux arrive au voisinage du Soleil avec un paramètre d"impact notéb(best la distance du rayon lumineux rectiligne incident au centre du Soleil). SoientMSetRSla masse

et le rayon du Soleil, supposé sphérique et homogène. On notecla vitesse de la lumière dans le

vide (c= 3.108m.s-1) etGla constante de la gravitation universelle (G= 6,67.10-11SI).

Données :MS= 2.1030kg;RS= 7.108m.

1)Par analyse dimensionnelle, et en choisissant la solution la plus simple, montrer que l"angle

de déviationθd"un rayon lumineux passant très près du Soleil (soitb≂RS) peut s"écrire :

θ=KGMS

RSc2

oùKest une constante sans dimension dont la théorie de la relativité générale d"Einsteinprédit

la valeur (K= 4).

Évaluer numériquement la valeur de l"angle de déviationθen radians (rad) puis en secondes

d"arc.

2)On montre que l"angle de déviationψd"une particuleα(de chargeq, d"énergie mécanique

E k0et de paramètre d"impactb) par un noyau d"or (Q) est donné par : tan

2=q Q4π ?012bEk0

Et bien avantEinstein,Newtonavait eu la géniale intuition, que la lumière peut être constituée

de particules sensibles à l"interaction gravitationnelle.

Montrer que l"angle de déviation prédit par la mécanique newtonienneθNest deux fois plus faible

que celui donné par la relativité générale et vérifié expérimentalement(θ). qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3 Exercices - Analyse dimensionnelle et mesures2008-2009

1)On considère un rayon lumineux qui arrive près du Soleil avec un paramètre d"impactb

proche du rayon solaire. L"angle de déviationθdu rayon lumineux va certainement dépendre de la vitesse de la lumièrecdans le vide, de la masseMSdu Soleil, de la constante gravitationnelleG

(caractéristique de l"interaction gravitationnelle intervenant dansce phénomène) et du paramètre

d"impactb. Si on se limite au cas oùb?RS, on pourra écrireθ:

θ=K cαMβ

SGγRδS??

oùKest une constante sans dimension (Kne pourra donc pas être déterminée par analyse di-

mensionnelle), etα,β,γetδdes coefficients tels que l"angleθsoit finalement sans dimension (et

exprimé enrad, unité des angles). La force gravitationnelle qui s"exerce entre deux masses ponctuellesmetm?, distantes der, permet d"en déduire la dimension deG:

F=Gmm?

r2→[G] =[F][r2][mm?]= (M LT-2)L2M-2=L3M-1T-2 L"équation aux dimension associée à(?)peut alors s"écrire : [θ] = [K][cα][Mβ S][Gγ][RδS] = 1(LT-1)αMβ(L3M-1T-2)γLδ=Lα+3γ+δMβ-γT-α-2γ

θétant sans dimension ([θ] = 1), ceci conduit au système de trois équations à quatre inconnues :

α+ 3γ+δ= 0 (a);β-γ= 0 (b);-α-2γ= 0 (c) La solution n"est pas unique. En choisissantγcomme paramètre, on obtient : α=-2γ, β=γ, δ=-γ.Soit :θ=K?c-2MSGR-1 S? Les solutions les plus simples correspondent àγ= 1ouγ=-1, soit :

θ=KGMS

c2RS1?ouθ=Kc2RSGMS2? Nous pouvons faire une application numérique pour chaque cas :

1??θ= 2,1.10-6Ket2??θ= 4,7.105K

Connaissant grâce à l"énoncé la valeur deK, nous constatons que2?conduit à une valeur aber-

rante. Finalement, avecK= 4, la déviationθs"écrit et vaut :

θ=KGMS

c2RS= 8,5.10-6rad

Il s"agit d"une déviation extrêmement faible, qu"il est préférable d"exprimer en secondes d"arc

(1 minute d"arc étant un soixantième de degré et une seconde d"arc un soixantième de minute

d"arc) :

θ= 8,5.10-6rad= 8,5.10-6180

π3600 = 1,75??

Lorsque le rayon lumineux possède un paramètre d"impactb=xRS(oùxest un réel quelconque supérieur à 1), on peut montrer que l"angle de déviation du rayon lumineux est :θ=1,75?? x.

C"est la Société Astronomique Royale de Londres qui, en 1919, à partirde clichés photogra-

phiques réalisés lors d"éclipses de Soleil au Brésil et en Afrique, a mis pour la première fois en

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices - Analyse dimensionnelle et mesures

évidence la déviation de la lumière par un astre massif (le Soleil).

2)La diffusion deRutherfordconcerne la diffusion d"une particule chargée (particuleα) par

un ion massif. Elle met en jeu la force coulombienne entre ces deux chargesqetQ, distantes de r. la norme de cette force est :FC=1

4π ?0q Qr2.

Si on attribue (pour pouvoir faire l"analogie demandée) une massemaux "particules» de lumière

telles queNewtonavait pu les imaginer, alors la norme de la force gravitationnelle entre leSoleil et une telle particule, située à une distancerdu centre du Soleil, pourra s"écrire :FG=GmMS r2.

On peut donc faire l"analogie formelle :

q Q

4π ?0←→ GmMS

La lumière se propage à la vitessec. Si ces particules de lumière massive existaient, elles auraient

une énergie cinétique initialeEk,0=1

2mc2, analogue de l"énergie cinétique initiale des particules

En poursuivant l"analogie, on trouve un angle de déviation des rayonslumineux : tan θN

2=GmMS22bmc2

Comme cette déviation est très faible (cf.1)), on a, pour un rayon lumineux frôlant le Soleil

(b?RS) :tanθN

2?θN2, soit :

N=K?GMS

RSc2avec :K?= 2

Dans le cas oùb?RS(θN=θ2=1,75??2= 0,87??), on a bien montré que l"angle de déviation

prédit par la mécanique newtonienne est deux fois plus faible que l"anglede déviation prédit par

la relativité générale (et vérifié par l"expérience).

De plus, cette analogie nous a conduit à une expression littérale qui justifie,a posteriori, le choix

de la valeur 1 pour l"exposantγdéfini à la question précédente. ?Calculs d"incertitudes exp´erimentales ???Ex-2.8Indice du verre dont est constitu´e un prisme

Lorsqu"on mesure l"indice du verre dont est constitué le prisme d"un spectrogoniomètre, on abou-

tit à la formule : n=sinA+Dm2 sinA2oùAest l"angle du prisme, mesuré avec une certaine incertitude

ΔA,

etDmest le minimum de déviation mesuré avec une certaine in- certitudeΔDm.

1)En utilisant la différentiation logarithmique, exprimerΔn

n, incertitude relative sur la mesure de l"indice, en fonction deA,ΔA,DmetΔDm.

2)En fait, l"incertitude surAetDmest la même et on noteΔA= ΔDm=?. Montrer que,

compte tenu des valeurs numériques deAetDm, l"incertitude relative sur la mesure s"écrit alors :

Δn n=?2cotanA2

3)Application numérique.On donne :A= 60◦00?;Dm= 34◦25?;?= 4?. Déterminer les incer-

titudes relative et absolue sur l"indicen. Donner le résultat sous la forme :n=±. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 Exercices - Analyse dimensionnelle et mesures2008-2009 ???Ex-2.9Mesure de la focale d"une lentilleDans la méthode deBessel, qui sera utilisée en

T.P., la focale est donnée par la formule :

f=D2-d24DoùDetd, avecD > d, sont des distances mesurées avec les incer- titudesΔDetΔd.

1)En utilisant la différentiation logarithmique, exprimerΔf

fen fonction deΔdetΔD.

2)En fait, l"incertitude surDest la même que celle surd. En déduire l"expression deΔf

f.

3)Application numérique.On donne :d= 5,0cm;D= 1,500m;Δd= ΔD= 5mm.

Calculer les incertitudes relative et absolue surf.

Donner le résultat sous la forme :f=±.

???Ex-2.10Champ de pesanteur À l"altitudezau-dessus de la surface de la Terre, le champ de pesanteur est égal à : g=GMT(RT+z)2oùMTest la masse de la Terre,RTson rayon etGla constante de gravitation universelle. Données :champ de pesanteur au niveau du sol :g0= 9,807m.s-2; rayon de la Terre : R

T= 6371km.

1)Quelle est la variation relative élémentairedg

gprovoquée par une variation d"altitudedz?

2)CalculerΔg

g0(petit accroissement relatif) etΔg(petit accroissement) pour une élévation de

8000mau-dessus de la surface de la Terre. En déduire valeur degà cette altitude.

1)lng= lnG+ lnMT-2ln(RT+z)-→dg

g=-2dzRT+z(donc, quandz?,g?). 2) Δg Δg g0=-0,25%Δg=-0,025m.s-2g=g0+ Δg= 9,782m.s-2 ?Compl´ement sur les donn´ees num´eriques et les applications num´eriquesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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