[PDF] ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´EES EXERCICES

2 xa(1xa) 50+q
xb(1xb) 50;
soitici 1

2<1:04

ouencore,commepardenition1

2=1(12)(ou1estlafonctionreciproque

1

2=0:85

c'est-a-direenn

1<0:70:

etN(pb;2b),ou2a=1

50pa(1pa)et2b=150pb(1pb);commeXaetXbsont

aaussi2a=2b=1 50P
50
x=1 100P
100
i=1xi=1 choisi.

Sousl'hypothesenulle,laloideXaXb

p2S(ouS2=150X(1X))estapproximativement

N(0;1)etdonconapproximec

p2spar12,quantiled'ordre12deN(0;1)

Ici,numeriquement,xaxb=0:12etp

2s=0;08;donc:

{si=0:05,1 pasderejetdel'hypothesenulle;

12CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

{si=0:10,1 iln'yapasderejetdel'hypothesenulle. donneesobserveesxaxb=0:12etp

2s=0:08,si

1

2=1(12)0:120:08=1:5

autrementdit 1

2(1:25)=0:93

desI.C.)rejetteH0sijxaxbj>1

2(sa+sb)etlaseconde(test)sijxaxbj>

10

2p2sou,rappelonsle,

s 2 a=1

50xa(1xa);s2

b=150xb(1xb)ets2=150x(1x): 10

0:0458,d'ou

jxaxbj=0:0008,x=0:0454,s2=4:33:106,p

2s=2:94:103

etenn jxaxbj p2s=0:27. delaloidejXaXbj

I.2.CORRECTIONS13

para^tsansfondement. designicationusuelde0:05.Ilfaudraitque: jxaxbj q

2x(1x)

n1:96 c'est-a-dire n(1;96)22x(1x) (xaxb)2 soitici n(1:96)220:04540:9546 (0:0008)2'520300: N

ExerciceI.2.

1.Lemodele;unestatistiqueexhaustive

LebesguesurR,l'applicationp(x;)deniepar:

p(x;)=exp(x)1[0;+1[(x); p n(x1;:::;xn;)=nexp nX i=1x i! 1 [0;+1[n(x1;:::;xn):

Cettedensitesefactorisesouslaforme:

p n(x1;:::;xn;)= nX i=1x i;! l(x1;:::;xn)

14CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

avec (y;)=nexp(y)etl(x1;:::;xn)=1[0;+1[(min(x1;:::;xn)). i=1Xiestex- haustivedanscemodele. net,dedensite y7!nyn1 (n1)!exp(y)1[0;+1[(y)

Pourtouti,onaE(Xi)=1

d'ou:8>0E(1nP n i=1Xi)=1

Onnote

Xn=1nP

n i=1Xi.

Cetestimateur

(x1;:::;xn)2]0;+1[n,par: n(x;)=lnpn(x1;:::;xn;)=nlnnX i=1x i

L'application`n(x;:),deR

+dansRestderivable;saderiveeest7!n Pn i=1xi,qui s'annullepour=nPn

Xn.Onendeduitquel'estimateurdu

maximumdevraisemblancede1 estXn. variance: Var 1 nn X i=1X i! 1n2n X i=1Var(Xi)=1n2n2=1n2; quitendvers0quandntendversl'inni.

I.2.CORRECTIONS15

3.Estimationduparametre

Xn=nPn

i=1Xi.

Defaitici(voir1)Pn

1est n1.DoncE(1Xn)=nE(1Pn quecetestimateursoitsansbiais).

Lebiaisde1

onditque1 Pn i=1Xi.

4.Tests

a.Hypothesenulle[=1]. =1],contrel'hypothesealter- native[1 n i=1xi,estimationsansbiaisde

Or,sousl'hypothesenulle,lav.a.2n

Xn=2Pn

i=1Xisuitlaloidu2a2ndegresde P 1(2n

2nc1et2nc2lequantiled'ordre

deliberte.

Exemples:Soit=0;05.

letest:onrejettel'hypothese[=1]si1 15P 15 i=1xi=2[0;56;1;57] approchespar(1;96+p 119)2

2et(1;96+p

119)2
l'hypothese[=1]si1 30P
30
i=1xi=2[0;67;1;38].

16CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

pourconclurequex nestsignicativementdistantde1. b.Hypothesenulle[1].

1],contrel'hypothesealter-

native[1 n i=1xi,estimationsansbiaisde

Xn tout1,onaP([ taillenxe,c'est-a-dire(G(n;))2R d'ordredelaloidu2a2ndegresdeliberte.

Exemples:Soit=0;05.

l'hypothese[1]si1 15P 15 i=1xi<0;62.

2=42;86,d'ou

letest:onrejettel'hypothese[1]si1 30P
30
i=1xi<0;71.

5.Intervalledeconance

Pourtout,laloidelav.a.Pn

n; 2et n;1

2lesquantilesd'ordre2et12deG(n;1),ona:

8P([ n; 2nX i=1X i n;12])=1 autrementdit: 8P n; 2Pn i=1Xi n;1 2Pn i=1Xi] =1: n; 2Pn i=1xi; n;1 2Pn i=1xi]. niveaudeconance0;95(doncpour=0;05)ona: -sin=15,

15;0;025=8;40et

15;0;975=23;50,

-sin=30,

30;0;025=20;02et

30;0;975=41;44.

6.Modelebayesien

I.2.CORRECTIONS17

+,onpeutprendre p n(x1;:::;xn;)=nexp nX i=1x i! g b;()=b (b)b1exp(): +Rn estdoncleproduit: (;(x1;:::;xn))7!pn(x1;:::;xn;)gb;()=b (b)b+n1exp +nX i=1x i!!

Ladensitemarginale

h b;(x1;:::;xn)=Z +1 0 p n(x1;:::;xn;)gb;()d i=1xiparn xn: k (x1;:::;xn);b;()=pn(x1;:::;xn;)gb;() hb;(x1;:::;xn)=1hb;(x1;:::;xn) b(b)b+n1exp((+nxn)); xn).

Onadonc1

hb;(x1;:::;xn) b(b)=(+n xn)b+n posteriori,c'est-a-direb+n 1 N l'applicationfdeniepar:quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47