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ANALYSE DES DONNÉES
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Remarque : dans chaque exercice les analyses en composantes principales (ACP) sont effectuées sur matrice variance
L'ANALYSE EN
COMPOSANTES PRINCIPALES
(A.C.P.)Pierre-Louis GONZALEZ
2Données
n individus observés sur p variables quantitatives. L'A.C.P. permet d'explorer les liaisons entre variables et les ressemblances entre individus.Résultats
Visualisation des individus
(Notion de distances entre individus)Visualisation des variables
(en fonction de leurs corrélations)INTRODUCTION
3 Mesurer la qualité des représentations obtenues : critère global critères individuels " Donner des noms aux axes »Expliquer la position des individus
Utilisation éventuelle de variables supplémentaires (illustratives)INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS
4 X 1 X 2 X j X p x 11 x 21x i 1 x n1 x j 1 x j 2 x ij x nj x p 1 x p 2 x ip x n p n
Variable X
j p individu e i X (n,p)I. L'ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
LE PROBLÈME
1. LES DONNÉES
p variables quantitatives observées sur n individus.INDIVIDU = Élément de R
pVARIABLE = Élément de R
n 5 On cherche à représenter le nuage des individus.A chaque individu noté e
i , on peut associer un point dans R p = espace des individus. A chaque variable du tableau X est associé un axe de R p X 3 x i3 e i x i2 X 2 X 1 x i1Impossible à
visualiser dès que p > 3. 6 On cherche une représentation des n individus , dans un sous-espace F k de R p de dimension k ( k petit 2, 3 ...; par exemple un plan) Autrement dit, on cherche à définir k nouvelles variables combinaisons linéaires des p variables initialesqui feront perdre le moins d'information possible.2. PRINCIPE DE L'A.C.P. Ces variables seront appelées "composantes principales les axes qu'elles déterminent : "axes principaux les formes linéaires associées : "facteurs principaux 7ON VISUALISE
X 1 X 2 R p X i axe 3axe 1axe 2 F 3 axes principaux 8 " Perdre le moins d'information possible F k devra être " ajusté » le mieux possible au nuage des individus: la somme des carrés des distances des individus à F k doit être minimale. d F k est le sous-espace tel que le nuage projeté ait une inertie(dispersion) maximale. et sont basées sur les notions de : distance projection orthogonale 9 e j f j f i 2 i j i j 1 e iLa distance entre f
i et f j est inférieure ouégale à celle entre e
i et e j 103. LE CHOIX DE LA DISTANCE ENTRE INDIVIDUS
y B y A x A x B ABDans le plan:
dAB x x y yBA BA222
Dans l'espace R
p à p dimensions, on généralise cette notion : la distance euclidienne entre deux individus s'écrit ex iii ip 12 x . x.. ex jjjjp 12 x . x.. dee x x x x x x ij i j i j ip jp21122222 dee x x ij ik jk kp 221
Le problème des unités ?
11 Pour résoudre ce problème, on choisit de transformer les données en données centrées-réduites.L'observation est alors remplacée par :
x ikUNITÉS D'ÉCART TYPE:
où : moyenne de la variable X k s k = écart-type de la variableX k x ik x s k k x kExemple
Puissance moyenne de 30 voitures = 92 ch Ecart-type = 24 chLa Renault 21 TXI a une puissance de 140 ch
La Renault 21 TXI a une puissance de :
2 écarts-type au-dessus de la moyenne.
140 92
24212
4. INERTIE TOTALE
Ineg gi in d1 2 1 n2 gii i1I p de,
g ou de façon plus générale L'inertie est la somme pondérée des carrés des distances des individus au centre de gravité L'inertie mesure la dispersion totale du nuage de points. g n i i1 p = 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] analyse de données exercices corrigés PDF Cours,Exercices ,Examens
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