[PDF] VECTEURS DE LESPACE - maths et tiques
plane : Relation de Chasles propriétés en rapport avec la colinéarité restent valides 2) Plan de l'espace Propriété : Soit un point A et deux vecteurs
[PDF] Géométrie dans lespace - Licence de mathématiques Lyon 1
Le crit`ere de colinéarité se reformule ainsi : deux vecteurs sont La preuve repose sur une forme déguisée des formules de Cramer que l'on verra en
[PDF] Géométrie vectorielle et analytique dans lespace cours terminale S
3 avr 2017 · l'espace • La notion de colinéarité reste valable dans dans l'espace c'est à dire que deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement
[PDF] Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes
26 jui 2013 · 3 2 Propriétés et orthogonalité dans l'espace Théorème 9 : De la colinéarité on déduit que : Formule 2 : géométrie analytique
[PDF] DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
déterminant par une formule on a essayé de motiver géométriquement chaque nouveau concept de façon à faire apparaître dès son introduction
[PDF] Géométrie dans lespace - Normale Sup
13 nov 2012 · Trois vecteurs ??u ??v et ??w de l'espace sont coplanaires s'il existe un formule AB = ?(xB ? xA)2 + (yB ? yA)2 + (zB ? zA)2
[PDF] Géométrie dans lespace - ptsi-deodat
le calcul vectoriel pour caractériser l'orthogonalité la colinéarité (caractérisation des bases de l'espace) Trois vecteurs de c forment une
[PDF] TS Les coordonnées dans lespace
Les formules sont équivalentes Application : critère de coplanarité · Rappel : critère de colinéarité dans le plan · Critère pour que trois vecteurs
[PDF] Géométrie Vectorielle - JavMathch
1 1 4 Tests de colinéarité et de coplanarité Définition: Des vecteurs du plan ou de l'espace sont dits colinéaires s'il est possible de les représenter sur
VECTEURS DE L'ESPACE - maths et tiques
2) Repère de l'espace Définition : Soit i! j! et k! trois vecteurs non coplanaires O est un point de l'espace On appelle repère de l'espace le quadruplet O;i!j!k (!) Remarques : - O est appelé l'origine du repère - La décomposition OM!!!!" =xi " +yj " +zk " donne les coordonnées x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? du
Droites de l'espace : vecteurs directeurs d'une droite vecteurs
Partie 2 : Droites et plans de l’espace 1) Direction d’une droite de l’espace Définition : On appelle vecteur directeur de ; tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite ; Propriété : Soit une droite ; passant par un point / et de vecteur directeur #$?
Géométrie dans l’espace repérage et colinéarité
Géométrie dans l’espace repérage et colinéarité 1 Vecteurs et colinéarité dans l’espace Propriété: Touteslespropriétésvuesensecondesurlesvecteursdansleplan(additionmultiplicationparunréel relationdeChasles)restentvalablespourlesvecteursdel’espace Dé?nition:
Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes
I Repères de l’espace Dans le plan on peut décomposer tout vecteur sur deux vecteurs non-colinéaires Dans l’espace on peut décomposer tout vecteur sur trois vecteurs non-coplanaires Propriété : Soit et quatre points non-coplanaires de l’espace Pour tout point ???? Définition : Repéré de l’espace
Comment identifier des vecteurs colinéaires dans l’espace ?
Reconnaitre des vecteurs colinéaires dans l’espace. Identifier des vecteurs directeurs d’une droite de l’espace. On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que : . Soit d une droite de l’espace, A et B deux points de d. Alors le vecteur est un vecteur directeur de la droite d.
Comment calculer le repère de l'espace?
! et k ! trois vecteurs non coplanaires. O est un point de l'espace. On appelle repère de l'espace le quadruplet O;i ! ,j ! ,k Remarques : - O est appelé l'origine du repère. - La décomposition OM =xi " +yj " +zk " donne les coordonnées x y z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? du point M. - De même, la décomposition u ! =xi ! +yj ! +zk ! donne les coordonnées
Quels sont les vecteurs de l'espace?
Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, … restent valides. 2) Plan de l'espace
Quand deux vecteurs et sont colinéaires ?
1. Vecteurs colinéaires de l'espace On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que : . Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE] . Les vecteurs et sont colinéaires car .
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1VECTEURS DE L'ESPACE I. Caractérisation vectorielle d'un plan 1) Notion de vecteur dans l'espace Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur). Remarque : Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : Relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, ... restent valides. 2) Plan de l'espace Propriété : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace
u et v non colinéaires. L'ensemble des points M de l'espace tels que AM =xu +yv , avec x∈! et y∈! est le plan passant par A et dirigé par u et v . Remarque : Dans ces conditions, le triplet A;u ,v est un repère du plan. Démonstration : - Soit deux points B et C tel que u =AB et v =AC u et v ne sont pas colinéaires donc A;u ,v est un repère du plan (ABC). Dans ce repère, tout point M de coordonnées x;y est tel que AM =xu +yv . - Réciproquement, soit M un point de l'espace tel que AM =xu +yvYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Soit N le point du plan (ABC) de coordonnées
x;y dans le repère A;u ,v . Alors AN =xu +yv et donc AN =AM. M et N sont confondus donc M appartient à (ABC). Remarque : Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Propriété : Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. Démonstration : Soit deux plan P et P' de repères respectifs
A;u ,v et B;u ,v. - Si P et P' sont confondus, la démonstration est triviale. - Dans la suite P et P' ne sont pas confondus. Supposons que P et P' possède un point M en commun. Alors dans P, on a :
AM =xu +yv où x;y sont les coordonnées de M dans P. Et dans P', on a : BM =x'u +y'v où x';y' sont les coordonnées de M dans P'. Donc AB =x-x' u +y-y' v donc B appartient à P. Donc le repère B;u ,vest un repère de P et donc P et P' sont confondus ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. P et P' n'ont aucun point en commun et sont donc parallèles. II. Vecteurs coplanaires et repère de l'espace 1) Vecteurs coplanaires Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Propriété : Soit i j et k trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur u , il existe un unique triplet x;y;z tel que u =xi +yj +zk . Démonstration : - Existence : Soit AB un représentant de u . Soit P le plan de repère A;i ;j . Si B appartient à P alors AB se décompose suivant les vecteurs i et j . Supposons que B n'appartient pas à P. Soit d la droite passant par B de vecteur directeur k . Comme k n'est pas colinéaire avec i et j , la droite d coupe le plan P en un point C. On peut écrire AB =AC +CB AC appartient au plan P donc il existe un couple x;y tel que AC =xi +yj BC est colinéaire avec k donc il existe un réel z tel que BC =zk . Il existe donc un triplet x;y;z tel que AB =u =xi +yj +zk . - Unicité : On suppose que l'on ait les deux écritures distinctes : u =xi +yj +zk =x'i +y'j +z'k Alors x-x' i +y-y' j +z-z' k 0 . Supposons que l'une au moins des trois différence n'est pas nulle, par exemple z-z'≠0 . Donc k x'-x z-z' i y'-y z-z' j et dans ce cas, les vecteurs i j et k seraient coplanaires. Ce qui est exclu. Les trois différences x-x' y-y' et z-z' sont nulles. Exemple : ABCDEFGH est un cube. Les vecteurs AB BC et CG sont non coplanaires. Le vecteurs AG se décompose en : AG =AB +BC +CGYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 2) Repère de l'espace Définition : Soit
i j et ktrois vecteurs non coplanaires. O est un point de l'espace. On appelle repère de l'espace le quadruplet
O;i ,j ,k . Remarques : - O est appelé l'origine du repère. - La décomposition OM =xi +yj +zk donne les coordonnées x y z du point M. - De même, la décomposition u =xi +yj +zk donne les coordonnées x y z du vecteur u. Méthode : Démontrer l'alignement par décomposition de vecteurs Vidéo https://youtu.be/oY0BgzNDsQU ABCDEFGH est un cube. Soit I le milieu de [AH] et J le point de [FI] tel que
FJ 2 3 FI. Démontrer que les points E, J et C sont alignés. Pour prouver cet alignement, on va démontrer que les vecteurs
EJ et EC sont colinéaires. Les vecteurs AB AD et AE sont non coplanaires donc il est possible de décomposer les vecteurs EJ et EC en fonction de ces trois vecteurs. EJ =EF +FJ =AB 2 3 FI =AB 2 3 FE +EA 1 2 AH =AB 2 3 FE +EA 1 2 AE 1 2 EH =AB 2 3 FE 1 2 EA 1 2 EH =AB 2 3 FE 1 3 EA 1 3 EH =AB 2 3 AB 1 3 AE 1 3 AD 1 3 AB 1 3 AD 1 3 AE et EC =EA +AB +BC =AB +AD -AE donc EJ 1 3 EC . Les vecteurs EJ et ECsont colinéaires et donc les points E, J et C sont alignés. III. Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère
O;i ,j ,k . Soit une droite d passant par un point A x A y A z A et de vecteur directeur u a b cOn a :
M x y z ∈d⇔Il existe un réel t tel que
x=x A +at y=y A +bt z=z A +ctRemarque : Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d. Démonstration :
M∈d⇔
u et AM sont colinéaires ⇔Il existe un réel t tel que
AM =tu x-x A y-y A z-z A =t a b c x-x A =at y-y A =bt z-z A =ct x=x A +at y=y A +bt z=z A +ctYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr6Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite Vidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo L'espace est muni d'un repère
O;i ,j ,k . Soit les points A 2 3 -1 et B 1 -3 2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (AB) avec le plan de repère
O;i ,j. - On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) : Un vecteur directeur de (AB) est
AB 1-2 -3-32-(-1)
, soit AB -1 -6 3 . Une représentation paramétrique de (AB) est : x=2-t y=3-6t z=-1+3t t∈! . - Soit M x y z le point d'intersection de la droite (AB) avec le plan de repère O;i ,j . Alors z=0 car M appartient au plan de repère O;i ,j . Donc -1+3t=0 soit t= 1 3 . Et donc x=2- 1 3 5 3 y=3-6× 1 3 =1 z=0Le point M a donc pour coordonnées
5 3 ;1;0. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] emploi du temps 1ere s si
[PDF] emploi du temps premiere s svt
[PDF] emploi du temps 1ere s 2017
[PDF] onisep bac es
[PDF] onisep bac l
[PDF] bac s svt
[PDF] programme première s physique chimie
[PDF] bac s si coefficient
[PDF] bac s si programme
[PDF] bac s si onisep
[PDF] programme sciences de lingénieur terminale s
[PDF] premiere s si onisep
[PDF] premiere s si emploie du temps
[PDF] projet si terminale exemple
