[PDF] [PDF] Décomposition en éléments simples et Calcul intégral

View - Download [PDF] Décomposition en éléments simples et Calcul intégral

Previous PDF

Next PDF

Florian Lemonnier florianlemonnier@live.fr

Décomposition en éléments simples et Calcul intégral

1 Décomposition en éléments simples

1.1 Fractions rationnelles

On noteK(X) =AB

A2K[X]etB2K[X]

l"ensemble des fractions rationnelles.

K(X),+,)est un corps commutatif.

F=AB

2K(X)est irréductible,A^B=1.

On définit alors degF=degAdegBsiF6=0

¥siF=0.

Exercice 1Vrai ou Faux

SoientFetGdeux fractions rationnelles non-nulles. Dire des assertions suivantes si elles sont vraies ou fausses.

deg(F+G) =maxfdegF,degGg deg(FG) =degF+degG PourFdifférent d"un polynôme constant, on a : degF0=degF1

Désormais, on considère queF=AB

est irréductible. Les racines deFsont les racines deA, et les pôles deFsont les racines deB.

1.2 Décomposition des fractions à dénominateur scindé

1.2.1 Éléments simples

On s"occupe donc ici deC(X)et des fractions réelles à dénominateur scindé.

On écrit :B=nÕ

i=1(

Xai)ri, avec lesaideux à deux distincts.

Il existe une unique décomposition :

F=Q|{z}

2K[X]+a1,1Xa1+...+a1,r1(

Xa1)r1

|{z} Partie polaire deFena1+.........+an,1Xan+...+an,rn(

Xan)rn, avecai,j2K.

On appelleai,1le résidu deFenai.

1.2.2 Méthodes

On considère dans ce premier exemple la décomposition en éléments simples deF=X4X2+1X

3X2dans

R(X).

1.Partie entière

degF0. On effectue la division euclidienne (au brouillon) :X

4X2+1X

3X2X4+X3X

3X2+1X+1

X3+X21

On en déduit donc que :F=X+1+1X

3X2, et on noteG=1X

3X2. 1

2.Détermination des pôles

degG<0 etBscindé surR, 0 est pôle double et 1 pôle simple.

On en déduit queG=1X

2(X1)=aX

+bX 2|{z} =H+ aX1, aveca,b,a2R.

3.Obtention des coefficients qui finissent les parties polaires

(X1)etx=1 :a+(X1)H=1X

2donc comme 1 n"est pas pôle deH,a+0H(1) =11

2, eta=1.

X2etx=0 :aX+b+aX2X1=1X1donca0+b+0=11, etb=1.

4.Formule du résidu en un pôle simple, autres méthode pour obtenira

Formule du résiduaen un pôle simplex0deF=AB

2K(X):a=A(x0)B

0(x0).

5.Valeur particulière(méthode peu recommandée, mais parfois indispensable pour finir)

En substituant1 :11(2)=a111

+12donca=1.

6.Limite: limx!+¥xG(x), autre méthode pour obtenira

lim x!+¥xG(x) =limx!+¥ a+bx +axx1 =a+a =0 carG(x)+¥1x 3

Donca=a=1.

DoncF=X+11X

1X

2+1X1.

On considère ici la décomposition en éléments simples deF=1(X21)2dansR(X).

F=aX1+b(X1)2+aX+1+b(X+1)2, aveca,b,a,b2R.

7.Parité

On remarque queF(X) =F(X).

F(X) =aX1+b(X1)2+aX+1+b(X+1)2=aX+1+b(X+1)2+aX1+b(X1)2. Par unicité de la décomposition en éléments simples :a=aetb=b. On considère ici la décomposition en éléments simples deF=X(X2+1)32R(X)dansC(X). F=aXi+b(Xi)2+c(Xi)3+aX+i+b(X+i)2+g(X+i)3, aveca,b,c,a,b,g2C.

8.Développement complexe d"une fraction réelle

On remarque queF(X) =F(X).F(X) =a

Xi+b (Xi)2+g (Xi)3+a X+i+b (X+i)2+c (X+i)3. Par unicité de la décomposition en éléments simples :a=aetb=betc=g.

9.Approfondissement des racines multiples par dérivation

On noteH= (Xi)3F=c+ (Xi)b+ (Xi)2R=X(X+i)3, avec i non-pôle deR. 2 H

0=b+ (Xi)2R0+2(Xi)RdoncH0(i) =b.

AussiH0= (X+i)33X(X+i)4doncH0(i) =i16

=b. Exercice 2Décomposer en éléments simples dansC(X). 1.

X2+1(X1)(X2)(X3)

2.

X2+1((X1)(X2)(X3))2

3.

4X2+X+4(X1)(X+2)2

4. X5X 3+1 5. 1X

4+X2+16.

4X3(X41)2

7.

X7(X21)3

8. 1X

2(X+1)3(X2+1)

9.

X6(Xi)2(X1)3

10.

X2(X4+X2+1)211.

1X(X1)2

12.

X5(X1)3(X3+2)

13.

X2+4(X3)3

14.

X5(X2+X+1)2

Exercice 3Même exercice (n2N).

1. XnX 41
2. n!X(X1)...(Xn)3. 1X n1 4.

1(X1)(Xn1)

5. 1X n(1X)et1X n(1X)2; on pourra utiliser11X=1+X+...+Xn+Xn+11X.

1.3 Subtilités de la décomposition dansR(X)

1.3.1 De nouveaux éléments simples

Comme tous les polynômes deR[X]ne sont pas scindés, on ajoute de nouveaux éléments simples :

aX+bX

2+uX+vavecu24v<0.

1.3.2 De nouvelles méthodes

On considère ici la décomposition en éléments simples deF=X5+1(

X2+X+1)3dansR(X).

10.Division euclidienne

On effectue les divisions euclidiennes (au brouillon) : X 5+1X

2+X+1X5X4X3X4X3+1X

3X2+1 +X4+X3+X2X

2+1X2X1XX

3X2+1X

2+X+1X3X2X2X2X+1X2

+2X2+2X+2X+3On en déduit alors :F=X2X

2+X+1+X+3(

X2+X+1)2+X(

X2+X+1)3.

On considère désormais la décomposition en éléments simples deF=1(

X2+1)2(X1)(X2+X+1)

dansR(X).

F=aX1+uX+vX

2+X+1+pX+qX

2+1+rX+s(

X2+1)2, aveca,u,v,p,q,r,s2R.

3

11.Ne pas hésiter à passer dansCquand c"est nécessaire

X2+X+1etx=j :X2+X+1F=uX+v+X2+X+1G, avec j non-pôle deG. uj+v=1( j2+1)2(j1)=jj1=jj21(j1)(j21)=1j3

Doncu=13

etv=13 , car(1,j)est une famille libre dansCen tant queR-ev. Exercice 4Décomposer en éléments simples dansR(X). 1. 3X 3+1 2.

1(X1)(X2+1)23.

X3(X2+X+1)(X2+1)

4.

X5(X2+X+1)35.

X2+1(X2+2)2(X2+X+1)

6. 1X 6+1

Exercice 5Utilité de la décomposition.

1. Ef fectuerla décomposition dans R(X)de1X(X+1)(X+2). 2. Calculer la dérivée n-ième dex7!1x(x+1)(x+2). 3.

Calculer Sn=nå

k=11k(k+1)(k+2)en fonction den.

2 Calcul Intégral

2.1 Primitives usuelles

Ces formules sont données à une constante près.

Rxadx=xa+1a+1aveca2Rnf1gRdxx

+kp,p2 +kpaveck2ZRdx1+x2=arctanxsurR

Rdx1x2=argthxsur]1;+1[

12 ln1+x1xsur tout intervalle ne contenant ni1 ni 1Rdxp1x2=arcsinxsurRRdxpx

2+1=argshx=ln

x+px 2+1 surR R dxpx

21=(argchxsur]1;+¥[

lnx+px

21sur]¥;1[ou]1;+¥[Rdxsinx=lntanx2

sur]kp;(k+1)p[aveck2ZRdxcosx=lntanx2 +p4 surkpp2 ;kp+p2 aveck2ZRdxshx=lnthx2 surRouR+Rdxchx=2arctanexsurRRdxx

2+a2=1a

arctanxa surRaveca6=0Rdxxa=lnjxaj+iarctanxab aveca=a+ib2CnR

2.2 Méthodes générales

2.2.1 Intégration par parties

Soientu,v:[a;b]!Rde classeC1. On a :

Z b au0(t)v(t)dt=[u(t)v(t)]b aZ b au(t)v0(t)dt 4

Exercice 6Calculer,n2N.

1.Z p

0t2sintdt

2.In=Z

1

0tnetdt

3.Jn=Z

1

0t2(1t)ndt

Exercice 7Intégrales de Wallis

On poseI0=p2

et8n2N,In=Z p2

0sinntdt.

1. Calculer I1et étudier le sens de variations de la suite(In). Établir la formule de récurrence :8n2N,(n+2)In+2= (n+1)In. 2.

En déduir ela formule : 8p2N,I2p=(2p)!2

2p(p!)2p2

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] exercice corrigé sur diagramme de bode

[PDF] exercice corrigé sur la structure de la matiere

[PDF] exercice corrigé sur le groupe nominal

[PDF] exercice corrigé svt 3eme chromosomes

[PDF] exercice corrigé torseur de cohésion

[PDF] exercice de biologie cellulaire s1 pdf

[PDF] exercice de dictée avec correction

[PDF] exercice de math 4eme année primaire en arabe pdf

[PDF] exercice de math 4eme primaire gratuit en ligne

[PDF] exercice de math 5eme avec correction

[PDF] exercice de math equation du second degré

[PDF] exercice de mathematique 4eme primaire

[PDF] exercice de remediation svt dijon 6eme

[PDF] exercice de résumé de texte

[PDF] exercice de vocabulaire pdf