Feuille 6 Fractions rationnelles
Exercice 1. 1. Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur ? des fractions rationnelles suivantes : 1. ( + 1)(
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur R en raisonnant par substitution pour obtenir les coefficients. 1. F = X5+X4+1. X3?X. 2
1 Feuille dexercices N 5
Quelques corrigés de TD 5 et TD6. 1 Feuille d'exercices N. ?. 5. Exo. 10. Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples dans C(X).
3.4. DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES 19 Un autre
Exercice 3.12. Effectuer la division suivant les puissances croissantes de X6 -2X4 +X3 +1 par X3 +X2 +1. `a l'ordre 6. Trouver le quotient de la division
Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 43. Décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples. (. ) Allez à : Correction exercice 43. Exercice 44.
Décomposition des fractions rationnelles
Le cours électronique produit par Polytexest un document au format pdf D'effectuer la décomposition en éléments simples dans IR
Exo7 - Exercices de mathématiques
4 avr. 2014 Réponse. Exercice 28 (Poly Exercice 3.14). Exemples de décomposition en éléments simples de première et de seconde espèces dans R(X) :.
Corrigé type de la Série 1 (les intégrales indéfinies calcul intégral)
2.1 Solution de l'exercice 4. A l'aide de la méthode de décomposition des fonctions rationnelles en éléments simples calculons les intégrales suivantes :.
Transformée en Z
(Il suffit en fait de décomposer. ?(x) z. = z. (z - 1)(z - 2) en éléments simples soit -. 1 z - 1. +. 2 z - 2 .) Finalement on obtient xn = -1+2n+1. Exercice
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 10 Intégrales de Wallis. Soit In = Indication pour l'exercice 2 ? ... (x+1)2 dx = 3ln2?1 (décomposition en éléments simples de la forme 3x+1.
Exo7 - Exercices de mathématiques
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR À l’aide de divisions euclidiennes successives : = F 4X6 2X5+11X4 X3+11X2+2X+3 X(X2+1)3 À l’aide d’une division selon les puissances croissantes : = G 4X4 10X3+8X24X+1 X3(X1)2 Idem pour : X4+2X2+1 =X5 X3 A l’aide du changement d’indéterminéeX=Y+1 : X5+X4+1 =X(X1)4 Indication Corection
INTRODUCTION À LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
INTRODUCTION À LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES Les résultats de ce chapitre seront revus avec davantage de rigueur et de profondeur aux chapitres « Polynômes » et « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » Nous nous contenterons ici d’une présentation informelle
Transformée en Z - Université Sorbonne Paris Nord
La décomposition en éléments simples nous donne Z(x) = z z 1 + 2z z 2 (Il su?t en fait de décomposer Z(x) z = z (z 1)(z 2) en éléments simples soit 1 z 1 + 2 z 2 ) Finalement on obtient x n = n1+2 +1 Exercice 4 RésoudreenutilisantlatransforméeenZl’équationrécurrente x n+2 3x n+1 +2x n 0(n) = 0 avecx 0 = x 1 = 0 Solution 4
2 DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES
EXERCICES Exercice 1 Refaire et terminer les décompositions des fractionsF1F2etF3 Exercice 2 Décomposer en éléments simples les fractions suivantes 1 X(X+1)(X+2) 1 X(X2+1) 1 X3+1 (X2?X)2 2X+1 X2(XX4?1 +1) f) X4 (X+1)(X2?1) Exercice 3(Formule générale) SoitF=P(X)Q(X)irréductibleavec 1 racine simple deQ(et degP
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Exercice 1 1 Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur ? des fractions rationnelles suivantes : 1 ( + 1)( ? 2)
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Quelques corrigés de TD 5 et TD6 1 Feuille d'exercices N ? 5 Exo 10 Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples dans C(X)
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Exercice 6 Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur R 1 À l'aide de divisions euclidiennes successives : F = 4X6 ?2X5 +11X4 ?X3 +11X2 +2X
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Pour une décomposition avec des facteurs réels irréductibles de degré 2 au dénominateur de multiplicité 1 on a le choix entre chercher directe- ment la
[PDF] 34 décomposition en éléments simples
Trouver le quotient de la division suivant les puissances croissantes de (X + 1)10 par (X - 1)7 `a l'ordre 2 Exercice 3 13 Décomposition en éléments simples :
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D'effectuer la décomposition en éléments simples dans IR des fractions ration- nelles ne possédant qu'un nombre limité de pôles aisément identifiables
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Exercice 1 Vrai ou Faux Soient F et G deux fractions rationnelles non-nulles Dire des assertions suivantes si elles sont vraies ou fausses
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Dans tous les exercices qui suivent il s'agit de décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples Exercice 21 (i) F1(X) = X5 + X4 + 1
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1 X Décomposition en éléments simples Exercice 11 [ 02013 ] [Correction] Effectuer la décomposition en éléments simples dans C(X) des fractions
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Exercice 1 1 Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur ? des fractions rationnelles suivantes : 1 ( + 1)( ? 2)
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Pour une décomposition avec des facteurs réels irréductibles de degré 2 au dénominateur de multiplicité 1 on a le choix entre chercher directe- ment la
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Trouver le quotient de la division suivant les puissances croissantes de (X + 1)10 par (X - 1)7 `a l'ordre 2 Exercice 3 13 Décomposition en éléments simples :
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Décomposition en éléments simples 31 IV 1 Principe de la décomposition Le cours électronique produit par Polytexest un document au format pdf
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Exercice 1 Vrai ou Faux Soient F et G deux fractions rationnelles non-nulles Dire des assertions suivantes si elles sont vraies ou fausses
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Dans tous les exercices qui suivent il s'agit de décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples Exercice 21 (i) F1(X) = X5 + X4 + 1
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Exercice 1 1 Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur ? des fractions rationnelles suivantes : 1 ( + 1)( ? 2)
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Trouver le quotient de la division suivant les puissances croissantes de (X + 1)10 par (X - 1)7 `a l'ordre 2 Exercice 3 13 Décomposition en éléments simples :
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Trouver le quotient de la division suivant les puissances croissantes de (X + 1)10 par (X - 1)7 `a l'ordre 2 Exercice 3 13 Décomposition en éléments simples :
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Exercice 6 Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur R 1 À l'aide de divisions euclidiennes successives : F = 4X6 ?2X5 +11X4 ?X3 +11X2 +2X
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Pour une décomposition avec des facteurs réels irréductibles de degré 2 au dénominateur de multiplicité 1 on a le choix entre chercher directe- ment la
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Trouver le quotient de la division suivant les puissances croissantes de (X + 1)10 par (X - 1)7 `a l'ordre 2 Exercice 3 13 Décomposition en éléments simples :
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Dans tous les exercices qui suivent il s'agit de décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples Exercice 21 (i) F1(X) = X5 + X4 + 1
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1 X Décomposition en éléments simples Exercice 11 [ 02013 ] [Correction] Effectuer la décomposition en éléments simples dans C(X) des fractions
Qu'est-ce que la décomposition en éléments simples?
- Pour le dire vite, on appelledécomposition en éléments simples surRl’opération inverse qui brise une fraction rationnelle « compliquée » à coef?cients réels en une somme de morceaux « simples » eux-mêmes à coef?cients réels.
Comment calculer les coefficients d’une décomposition en éléments simples?
- Il est toujours plus facile de calculer les coef?cients d’une décomposition en éléments simples quand la partie entière est nulle. •Calcul dea:On multiplie ÆparX+3 puis on évalue en ?3 :a=9. •Calcul deb:On multiplie ÆparXpuis on passe à la limite en +? : 10 =a+b, doncb=1.
Comment décomposer une fraction rationnelle ?
- 2 Décomposition en éléments simples dans R(X) On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. 2.1 Partie entière Théorème 3 Soit F=P Q2K(X).
Quelle est la déompcosition en éléments simples ?
- : On appelle ettec criturée la déompcosition en éléments simples (DES) de Fsur R. Elle est donc unique. Remarque. Dans le cas où la fraction rationnelle F=P Q2R(X) admet pour pôle d'ordre mun réel (ce qui signi e Q= (X )mQ
F(X) =kX
i=1d iX j=1A j(Xi)jD(X) =Qk
i=1(Xi)diQl i=1(X2+iX+ i)d0F(X) =kX
i=1d iX j=1A j(Xi)j+lX i=1d 0 iX j=1B jX+Cj(X2+iX+ i)j ??Aj;Bj;Cj2C? (X2+iX+ i)d0F(X) =E(X) +dX
j=1B jX+Cj(X2+X+ )j=E(X) +dX j=1B jX+CjP(X)j =E(X) +B1X+C1P(X)++Bd1X+Cd1P(X)d1+BdX+CdP(X)d ?? ?? ????P(X) =X2+X+ N(X) =Q(X):P(X) +R(X)????degR61? ???? ?? ????F(X) =Q(X):P(X)+R(X)P(X)d=Q(X)P(X)d1+R(X)P(X)d? F1(X) =X5+X4+ 1X
3X X5+X4+ 1 =X3XX2+X+ 1+X2+X+ 1
X5+X3X
4+X3X4+X2X
3+X2 X3+XX2+X+ 1
?? ?????? ?? ? ????X5+X4+1 = (X3X)(X2+X+1)+X2+X+1? ????F1(X) =X2+X+1+X2+X+1X 3X?X2+X+1X
3X??? ?? ?? ????? ?
X2+X+ 1X
3X=A1X
+A2X1+A3X+ 1 X2+X+ 1X
21=A1+XA2X1+A3X+ 1
?? ?? ?????? ??0? A1+ 0 =11=1
X2+X+ 1X
2+X=A2+ (X1)
1X +A3X+ 1 32=A2+ 0 X
2+X+ 1X
2X=A3+ (X+ 1)
1X +321X1 12 =A3+ 0 F
1(X) =X2+X+ 11X
+3=2X1+1=2X+ 1 F2(X) =X+iX
2+i ??34 +? ????e3i4 ??e3i4 ? ????X2+i= (Xe3i4 )(X+e3i4 A2X+e3i4
? ?? ?????? ?A1=e3i4 +i2e3i4 =12 (1 +ei4 ?? ????? ?? ?????? ?A2=12 (1ei4 F3(X) =11 +X4
?? ????ei4 ?e3i4 ?e3i4 ??ei4 F3(X) =A1Xei4
+A2Xei4 +A3Xe3i4 +A4Xe3i4Xa)????N(a)Q(a)=N(a)D
0(a)? j6=k(ei(2k1)4 ei(2j1)4 ?? ???????Ak=14e3i(2k1)4 ?? ?? ?????? ?? ??? ?????? ????ei(2k1)4 kQ i6=ku0k(x)ui(x)??? ??????? ???? F4(X) =X2+ 1X
4+ 1 F4(X) =A1Xei4
+A2Xei4 +A3Xe3i4 +A4Xe3i4 ?? ?? ??????? ?? ???? ?Ak=e2i(2k1)4 +14e3i(2k1)4=14 (ei(2k1)4 +e3i(2k1)4 F
5(X) =X2+X+ 1X
4+ 1 F5(X) =A1Xei4
+A2Xei4 +A3Xe3i4 +A4Xe3i4 ?? ????? ???? ?Ak=ei(2k1)2 +ei(2k1)4 +14e3i(2k1)4F
6(X) =1X
n1 F6(X) =n1X
i=0A iXi ?????? ?? ?Ai=1n i(n1)= 1=Q j6=i(ij)? ?? ? ????? ??n>2?X2+X(X1)n=1(X1)n2+3(X1)n1+2(X1)n ??n= 1?? ? ?? ????X2+XX1=X+ 2 +2X1 (X+1)n(X1)n ???? ?? ??????? ?? ??????? ?? ?????? ?? ?????? ?(X+ 1)n= ((X1) + 2)n=Pn k=0(X1)nk2k? (X+ 1)n(X1)n=nX k=02 k(X1)k 1Q n p=0(X+p)? 1Q n p=0(X+p)=Pn p=0A i6=p(ip)? F(X) =A1X1+B1(X1)2+A2X+ 1+B2(X+ 1)2+A3Xi+B3(Xi)2+A4X+i+B4(X+i)2 ?? ? ?????A1=A2?B1=B2?A3=A4?B3=B4? ??A4=iA1?B1=B4?A3=iA2=iA1? B4?B3=B
4? F(X) =A1X1+B1(X1)2A1X+ 1+B1(X+ 1)2+iA1XiB1(Xi)2iA1X+iB1(X+i)22:22=116
F(X) =A11X11X+ 11iX+ 1+1iX1
+1161(X1)2+1(X+ 1)21(Xi)21(X+i)2
1 =4A1+14
,A1=316F(X) =316
1X1+1X+ 1iXi+iX+i
+1161(X1)2+1(X+ 1)21(Xi)21(X+i)2
H(X) =A1X1+A2(X1)2+A3(X1)3+B1X+C1X
2X+ 1+B2X+C2(X2X+ 1)2+B3X+C3X
2X+ 1)3
X2+ 1 = (A1(X1)2+A2(X1) +A3)(X2X+ 1)3+P(X)
(X+ 1)2+ 1 =X2+ 2X+ 2 = (A1X2+A2X+A3)(X2+X+ 1)3+P(X+ 1)A(X) =B(X)(A1X2+A2X+A3) +X3R(X)
2+ 2X+X21 + 3X+ 6X2+ 7X2+ 6X4+ 3X5+X626X12X2+24X+X24X11X2++ 4X+ 12X2+X
H(X) =1X14(X1)2+2(X1)3+B1X+C1X
2X+ 1+B2X+C2(X2X+ 1)2+B3X+C3X
2X+ 1)3
1X14(X1)2+2(X1)3=X26X+ 7(X1)3
H(X)X26X+ 7(X1)3=X2+ 1(X26X+ 7)(X2X+ 1)3(X1)3(X2X+ 1)3 X8+ 9X731X6+ 64X5+ 64X5X4+ 88X360X2+ 27X6(X1)3(X2X+ 1)3 (X1)3(X5+ 6X410X3+ 15X29X+ 6(X1)3(X2X+ 1)3H(X)X26X+ 7(X1)3=X5+ 6X410X3+ 15X29X+ 6(X2X+ 1)3
10X3+ 15X29X+ 6 = (X3+ 5X24X+ 6)(X2X+ 1) +X?? ???? ?X3+ 5X24X+ 6 =
(X+ 4)(X2X+ 1) +X+ 2? ????? ? X5+ 6X410X3+ 15X29X+ 6 = (X+ 4)(X2X+ 1)2+ (X+ 2)(X2X+ 1) +XH(X)X26X+ 7(X1)3=X+ 4X
2X+ 1+X+ 2(X2X+ 1)2+X(X2X+ 1)3
H(X) =1X14(X1)2+2(X1)3+X+ 4X
2X+ 1+X+ 2(X2X+ 1)2+XX
2X+ 1)3
?? ??????X6+ 2 = (X5X4+ 2X32X2+X1)(X+ 1)X4+X2+ 3 A1X+i+B1(X+i)2+A2Xi+B2(Xi)2
????A1=A2??B1=B
(1 +i)??B2=18 (Xi)2X4+X2+3(X2+1)2(X1)??i?2 =A1A
1i ,??(A1) =1 1 =34 +A1+A1,??(A1) =78
????A1=78 i??A2=78 +i? ????? ?T(X) =X+ 1 +34
X178 +iX+i+18 (1 +i)(X+i)2+78 +iXi+18 (1i)(Xi)2 78iX+i+18 (1 +i)(X+i)2+78 +iXi+18 (1i)(Xi)2=74 X2X
2+ 1+14
X2+ (14
14 )12 X14 (X2+ 1)2 74X2 +14
X2+ 1+12
X12 (X2+ 1)2 =7(X+ 1)4(X2+ 1)X+ 12(X2+ 1)2T(X) =X+ 1 +34(X1)7(X+ 1)4(X2+ 1)X+ 12(X2+ 1)2
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