Force de Lorentz
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Cours et Exercices dElectromagnétisme et Ondes pour les Master
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Electromagnétisme A Particule chargée dans un champ électrique
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Introduction à lElectromagnétisme
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Exercice 1 – Modèle classique de Lorentz
Le modèle de Lorentz permet de relier simplement la dissipation et la largeur de raie spectrale En d’autre terme ce modèle permet de relier la décohérence et la dissipation Exercice 2 – Indice de réfraction correspondant à une bande d’absorption a) Soit € n ˜ l’indice de réfraction complexe du système polymère+colorant
Les Calculs de Champ Magnétique - Superprof Ressources
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Exercices Electromagnétisme
a) Indiquer le sens de la force de Lorentz qui agit sur un électron mobile de la tige En déduire le sens du courant induit i qui circule b) Calculer la valeur de la force de Lorentz qui agit sur un électron c) Calculer la tension induite de 2 manières : loi de Faraday à l’aide de la variation du flux tension u = W/q= F· ?/q
Forces et interactions – Exercices – Devoirs
Le filet d'eau est soumis à deux forces : la force de pesanteur (force qui attire les objets vers le centre de la Terre) et la force électrostatique qu'exerce la paille 1) Donne les caractéristiques de ces deux forces (point d'application direction sens) 2) Schématise la situation et trace ces deux forces en
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Fiche d’exercices sur les forces et interactions (fiche n°7) Remarque : Une correction succincte est proposée après les exercices Les valeurs ou relations suivantes pourront être réutilisées dans plusieurs exercices (ou pas !) on gardera 2 chiffres après la virgule Expression de l’intensité de la force gravitationnelle 1: F1?2=G×
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2 mar 2007 · D'apr`es la formule de la force de Lorentz ?? FB = q??v ? ?? B la force sera toujours perpendiculaire `a la vitesse donc pas de
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FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES - corrigé des exercices A EXERCICES DE BASE I Fréquence cyclotron 1 Méthode analytique • La force de Lorentz peut s?écrire
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aux exercices III IV et V en utilisant le théor`eme de Gauss sous sa forme locale 1?) Exercice III 4?) En régime permanent la force de Lorentz
Forces de Lorentz et Laplace Exercices supplémentaires 1) 2) Dans
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Chaque chapitre est illustré par des exercices qui constituent une application de la notion du champ magnétique de la force de Lorentz et des lois
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? = ° par rapport aux lignes de champ magnétique 1) Calculer la longueur du conducteur électrique 2) Calculer l'intensité de la force de Laplace dans le
Comment calculer la force de Lorentz ?
- Cette force se décompose ainsi : [ overrightarrow { f } = q left ( overrightarrow { E } + overrightarrow { v } wedge overrightarrow { B } right) ] avec : [ overrightarrow { E } ] le champ électrique. Celui-ci décrit dans ce cas la partie de la force de Lorentz qui est indépendante de la vitesse de la charge,
Qu'est-ce que la force de Lorentz?
- La force de Lorentz, ou force électromagnétique, est la force que va subir une particule chargée dans un champ électromagnétique (électrique ou magnétique). C'est la principale manifestation de l'interaction électromagnétique.
Qu'est-ce que la courbe de Lorenz ?
- La courbe de Lorenz en est la représentation graphique. L?indice de Gini va alors déterminer l?écart entre la droite d?égalité parfaite et la courbe de Lorenz, qui représente une situation réelle.
Comment calculer la courbe de Lorenz ?
- Pour obtenir la courbe de Lorenz, on commence par calculer le bien possédé total. On prend le milieu des classes comme référence. On cherche ensuite les points de la courbe. La courbe de Lorenz est due à l'économiste américain Max Otto Lorenz (en 1905), qu'il ne faut pas confondre avec le physicien Hendryk Lorentz.
CORRIG
ES DES EXERCICES
D'ELECTROMAGN
ETISME
Christian Carimalo
Calculs directs de champs electrostatiques crees par des distributions continues de chargesI. Distribution lineique 1 ) Tout plan contenantOzest unP. Donc en tout point en dehors de la spire,E'0; de plus, en chacun des points deOz, intersection d'une innite deP,E0. Le plan xOyest aussi unP. En chacun de ses points en dehors de la spire,Ez0. Pour cette distribution, on a invariance par rotation autour deOz:EEp;zq,EzEzp;zq. 2 )ÝÑEpMpzqq ÝÑezaz20rz2a2s3{2. 3 )ÝÑEÝÑez140qz2pzqoupzq 1siz¡0etpzq 1siz 0;q2aest la
charge totale de la spire. Comme attendu, a tres grande distance la spire est vue comme une charge ponctuelleqsituee au pointOet le champ devient celui de cette charge.II. Deux spires circulairesC1etC2...1
) Le planxOzest unP:Eypx;0;zq 0. 2 ) Le planzOyest unPet le planxOyest unP:Expx;zq Expx;zq,Expx;zq Expx;zq,Ezpx;zq Ezpx;zq,Ezpx;zq Ezpx;zq. Par suite,Ezest une fonction paire dexet une fonction paire dez, tandis queExest une fonction impaire dexet une fonction impaire dez. D'ouEzpx;zq a1c1z2c3x2; Expx;zq c12xz 3 )BExBzBEzBx, d'ouc122c3. 4 )E1zp0;zq R20zarR2 pzaq2s3{2,E2zp0;zq R20zarR2 pzaq2s3{2; E zE1zE2z, d'oua1 Ra0rR2a2s3{2. Il faut eectuer soit un developpement deEz
au second ordre suivantz{a, soit, plus simplement, une double derivation deEzpar rapport az, pour obtenirc13aR403R22a2rR2a2s7{2. On voit qu'au voisinage deO,Ezp0;zqne depend dezqu'au 4eme ordre suivantz{asiaRc3 2III. Distributions surfaciques
Disque -1
) Voir I. 1). 2 )ÝÑEEpzqÝÑezavecEpzq z201|z|1?z
2a2 . Lorsqueztend vers zero par valeursChristian Carimalo3Calculs directs de champs positives,Epzqtend versEp0q 20. Lorsqueztend vers zero par valeurs negatives,Epzq tend versEp0q 20. La discontinuite du champ enz0estEp0q Ep0q 0. 3 ) Prenantzpositif etz"a, le champ devientEpzq Q401z2ouQa2est la charge
totale du disque. Ici encore, a tres grande distance, la distribution de charge totale non nulle est vue comme une charge ponctuelle. 4 ) Lorsqueatend vers l'inni, le choix de l'origine des coordonnees devient arbitraire. En utilisant l'expression precedente deEpzq, on trouve, pour tout point de l'espace :Epzq 20 siz¡0, etEpzq 20siz 0.Sphere -1
) Etant donne un pointMen dehors de la distribution, tout plan conte- nantOMest unP. Le champ enMest donc porte par l'intersection de tous ces plans, c'est-a-dire parÝÑOM: il est radial au sens des coordonnees spheriques denies par rap- port a un triedreO;x;y;z. Le choix des axes du triedre est arbitraire car la distribution est invariante sous une rotation quelconque autour deO. Il s'ensuit que la composante ra- diale du champ ne doit dependre que derOM:ÝÑEEprqÝÑer, avecÝÑercosÝÑez sin cos'ÝÑexsin'ÝÑey 2 )ÝÑE40¼ sphereÝÑ PMPM 3d.Pour l'integration, on peut choisir
ÝÑOzsuivantÝÑOM, cela ne fait aucune dierence. Posons hOM,ÝÑOPRÝÑer; on a alorsÝÑPMhÝÑezRÝÑer,PM2h2R22Rhcos, dR2sindd'. D'ouEÝÑez40R22»
11duhRurR2h22Rhus3{2avecucos
Or,I»
11duhRurR2h22Rhus3{2 BBh»
11durR2h22Rhus1{2et
11durR2h22Rhus1{2 1Rh
aR2h22Rhu1
11Rh rRh |Rh|s.Pourh R, on aI BBh2R
0, tandis que pourh¡R,I BBh2h
2h2. Ainsi,
ÝÑEÝÑ0pour tout point interieur a la sphere etÝÑEQ40ÝÑ OMOM3pour tout point exterieur
a la sphere, ouQ4R2est la charge totale de la sphere. Dans ce dernier cas, la sphere appara^t comme une charge ponctuelleQenO. Au passage a travers la sphere, le champ subit une discontinuite egale aÝÑErOMÑR0sÝÑErOMÑR0s0ÝÑeravecÝÑerÝÑOM{R.
=================================================Christian Carimalo4Calculs directs de champs IV.Champ du planxOycharge en entier avec la densite: ÝÑE1 20ÝÑezpourz¡0; 20ÝÑezpourz 0 Champ en un point de l'axez1zd'un disque de centreOet de rayonRcharge avec la densiteE220ÝÑezz|z|z?z
2R2 On obtient la distribution proposee en superposant les deux distributions ci-dessus. On trouve le champ total en un point de l'axez1z:ÝÑE20z?z
2R2ÝÑez
Il ne presente aucune discontinuite enz0.Christian Carimalo5Calculs directs de champs Symetries et utilisation du theoreme de Gauss pour des calculs de champs electrostatiquesI. Distribution lineique. Une ligne innie... 1 ) Invariance par rotation autour dez1z; invariance par translation parallele az1z. Tout plan contenantz1zest unP; tout plan perpendiculaire az1zest unP. Le systeme de coordonnees cylindriques;';zconstruit autour dez1zest le plus approprie pour etudier le champ. 2 ) Au sens de ces coordonnees cylindriques, le champ est radial :ÝÑEEÝÑeet du fait des invariances,Ene depend que de('etzne sont pas des variables sensibles). 3 ) 4) Les equipotentielles sont des cylindres d'axez1zet donc denies parconstante. L'amplitude du champ reste constante sur une equipotentielle. On constitue une surface de Gauss en prenant un morceau d'equipotentielle de rayon, que l'on ferme par deux disques d'axez1zet de m^eme rayon. Le champ etant radial, son ux a travers les deux disques est nul, tandis que son ux a travers le morceau d'equipotentielle est2hEpq. D'apres le theoreme de Gauss applique a cette surface fermee, ce ux est aussi egal a h0. On en deduit
E pq 20pour tout0.II. Distributions surfaciques1
) Plan inni uniformement charge... On fait le choix d'utiliser un systeme de coordonnees cartesiennes ou le plan charge est pris comme planxOy. Du fait de l'extension innie de la distribution, la position de l'origine Opeut ^etre choisie arbitrairement : on a une invariance par translation parallele au plan charge. Cela signie que les variablesxetyne sont pas des variables sensibles. Tout plan contenantz1z(et donc perpendiculaire au plan charge) est unP. En un point donne en dehors des charges, etant a l'intersection de tous cesP, le champ est donc oriente suivant z1z,ÝÑEÝÑezEz, ou, du fait de ladite invariance, on doit avoirEzEpzq. Le planxOy
est lui-m^eme unP. On en deduitEpzq Epzq. Les surfaces equipotentielles sont des plans paralleles au plan charge, donc denies parzconstante. On voit que sur une equipotentielle, l'amplitude du champ reste constante. Une surface de Gauss utilisant ces symetries est astucieusement constituee comme suit : un morceau de surface cylindrique de rayonaet d'axez1z, fermee a ses extr^emites par deux disques d'axez1zet de rayona, l'un a la cotez¡0, l'autre a la cotez. Compte tenu de son orientation, le ux du champ a travers la surface cylindrique est nul, tandis que son ux total a travers les deux disques est a2rEpzq Epzqs 2Epzqa2. D'apres le theoreme de Gauss, le
ux du champ a travers ladite surface de Gauss est a20. D'ouEpzq 20 Epzqpour toutz¡0.
=================================================Christian Carimalo6Symetries et Theoreme de Gauss 2 ) Sphere uniformement chargee... SoitOle centre de la sphere,Rson rayon. Le centreOest privilegie et est chois naturellement comme origine d'un systeme de coordonnees. La densite de charges sur la sphere etant uniforme, cette distribution possede la symetrie spherique. Etant donne un pointM, tout plan contenantOMest unPet le champ doit donc ^etre porte parÝÑOM. Choisissantle reperage de l'espace au moyen de coordonnees spheriques construit autour deO, on aÝÑEpMq ÝÑerErpr;;'q. Comme une rotation quelconque de la sphere autour de son centre
laisse la distribution invariante vis-a-vis deM, les coordonneeset'ne sont pas des variables sensibles (ce qui signie que le choix des axes est arbitraire). Par consequent,ErEprq. Les equipotentielles sont des spheres de centreO. Ce sont des surfaces de Gauss. Sur chacune d'elles, le champ garde une amplitude constante et le ux du champ a travers celle de rayon rvaut ainsi4r2Eprq. D'un autre c^ote, le theoreme de Gauss indique que ce ux est aussi egal a :0sir RetQ0sir¡R, ouQ4R2est la charge totale de la sphere chargee.
On a donc :Eprq 0 pourr R; Eprq Q40r2R2
0r2pourr¡R
Comme pour toute distribution supercielle de charges, le champ subit une discontinuite au passage a travers cette distribution :EpR0qEpR0q0. Par ailleurs, pour un point
a l'exterieur de la sphere chargee, celle-ci lui appara^t comme une charge ponctuelleQenO.III. Distribution volumique a symetrie spheriqueLa symetrie est la m^eme que celle de l'exercice precedent et la demarche pour calculer le
champ est aussi la m^eme. On trouve4r2Eprq 43R3sir¥R, ou
est la densite volumique de charges. D'ou ouQ43 R3est la charge totale de la boule. Ici, le champ est continu pourrR (distribution volumique). Pour un point a l'exterieur de la boule, celle-ci lui appara^t comme une charge ponctuelleQenO.IV. Distribution volumique a symetrie cylindriqueLa symetrie est la m^eme que celle de l'exercice I et la demarche pour calculer le champ est
aussi la m^eme. On trouveErEprq(ici,rest la distance du point considere a l'axez1z) avecEprq 1r 0» rm ou20R33arepresente la charge contenue dans une portion du cylindre charge ayantpour hauteur l'unite de longueur, c'est-a-dire, une grandeur representant une densite lineiqueChristian Carimalo7Symetries et Theoreme de Gauss
de la distribution de charges. On voit alors que pour un point exterieur a la distribution, cette derniere appara^t comme un l inni charge avec la densite lineique constante. V. Distribution volumique a symetrie planeÝÑ EÝÑexEpxq;Epxq Epxq; comme il s'agit d'une distributionvolumique,Epxqest une fonction continue dexet doncEp0q 0. On prend comme surface de Gauss une portion de cylindre d'axex1x, de rayona, de hauteurx¥0, fermee par deux disque d'axex1x, de rayona, l'un a l'abscissex, l'autre a l'abscissex0. Le ux du champ a travers cette surface, d'une part est egal aa2Epxq, et d'autre part egal aa21 0» xm0dupuqouxmx
ou Aa3120est la charge par unite de surface parallele au planzOy, grandeur qui s'apparente a une densite surfacique. Pour un point exterieur a la distribution, celle-ci appara^t comme un planzOyuniformement charge avec la densite. VI. Divergence du champ electrostatiqueUne distribution de charges remplit une boule..... 2 )4prdrq2Eprdrq4r2Eprq 4dr2E104r2drprq, d'ouprq 0r
2ddr rr2Es soitprq 0. 3 )ÝÑEpMq 030R 3r2ÝÑer,prq 4r2Eprq 43
R30constante.
4 )Qtot0. 5 )ÝÑEÝÑ0pourr¥R. VII.Retrouver les expressionsdes champs crees en tout point par les distributions etudiees aux exercices III, IV et V, en utilisant le theoreme de Gauss sous sa forme locale. 1 ) Exercice III. 2ddr rr2Es0, d'our2Eprq r330constante, doncEprq
r30constanter2. Le second terme correspondrait au champ d'une charge ponctuelle enO.
Pourr¥R,1r
2ddr rr2Es 0, doncEprq Kr2ou la constanteKdoit ^etre ajustee pour queChristian Carimalo8Symetries et Theoreme de Gauss
Eprqsoit continu enrR. On obtientKR330.
2 ) Exercice IV. ddr rrEs 0ra0, d'ourE03a0r3K1,K1etant une constante, soit
Eprq 03ar2K1r
. Le dernier terme ne doit pas exister car la distribution ne comporte aucune distribution laire sur l'axez1zqui donnerait une telle contribution. On doit donc poserK10et par suiteEprq 03a0r2.Pourr¥R,1r
ddr rrEs 0, soitEprq K2r . La constanteK2est ajustee de telle sorte a assurer la continuite deEprqpourrR(distribution volumique), soitK20R33a0. 3 ) Exercice V. A 0 x 2a24 , d'ouEpxq A 0 x33 a24 x en tenant compte du fait queEp0q 0.Pourx¥a{2, on adEdx
0, d'ouEpxq K1. La constanteK1est telle queEpa{20q
Epa{20q, soitK1 Aa3120.
VIII.1Soit le champÝÑ
EpMq Ar2R
3ÝÑercosr
ÝÑesin'rsinÝÑe'
1) On verie facilement queÝÑrotÝÑEÝÑ0. Ce champ derive donc d'un potentiel. Il pourrait
^etre un champ electrostatique. Dans ce cas, la constanteAdevrait s'exprimer en Volt. 2 )pMq 0divÝÑE0A4rR 31r2sincos21r
2sin2cos'
3 )Q40AR(par application du theoreme de Gauss).IX.Deux charges ponctuellesqetq...1
)ÝÑEq40ÝÑABrx2y2a2s3{2
2 ) En utilisant les coordonnees polairesax2y2et'(xcos';ysin'), le
ux du champ a travers le planxOyoriente suivantÝÑezest q40p2aqp2q» 80dr2a2s3{2 q
0. Ce resultat etait previsible pour la raison
suivante. A tres grande distance, le champ cree par les deux charges s'identie a celui d'undip^ole dont on sait qu'il varie comme1{r3. Constituons une surface fermee comprenantChristian Carimalo9Symetries et Theoreme de Gauss
le planxOyet la demi-sphere de centreOet de rayon inni orientee vers lesznegatifs. L'element de surface sur une demi sphere de rayonrest9r2. Le ux du champ a travers cette demi-sphere sera donc9r2{r31{ret tend donc vers zero quandrtend vers l'inni.Ainsi, le
ux du champ a travers ladite surface revient au ux du champ a travers le plan xOyoriente suivantÝÑez. La surface fermee entourant la chargeq, le ux cherche est donc, d'apres le theoreme de Gauss, egal aq{0. 3 ) D'apres le theoreme de Gauss, le ux en question est10pqqq 0. Cela ne signie
nullement que le champ est nul sur cette sphere car il n'y est pas porte par la normale et ne garde pas un module constant en tous ses points. On peut seulement dire du champ qu'il presente une propriete de parite particuliere qui fait que ce ux est nul. X.Une charge ponctuelleq¡0se trouve enO...Utilisons le theoreme de Gauss. Le ux doit rester constant dans la region0 r 2Rcar alors seule la chargeqest entouree. Les courbes (a) et (d) doivent donc ^etre rejetees. La distribution volumique se trouve exclusivement dans la region2R r 3R. Dans cette region, a mesure queraugmente,etant constant, le ux ne peut que cro^tre si¡0(plus de charges positives incluses) ou decro^tre si 0(plus de charges negatives incluses), et en tout cas ne peut pas rester constant. La courbe (b) est donc a rejeter. Seule la courbe (c) est ainsi la plus probable et revele queest negatif. Comme le ux est nul pourr¥3R, la charge totale de la distribution volumique estq.Christian Carimalo10Symetries et Theoreme de GaussTheoreme de superposition
X.1)VpMq 140»
CpPqd`pPqPM
. 2)VpO;zq a20?z 2a2. 3 npzqdz VpO;zq N20» hR hRdz?z2a2N20»
1 1du?R2h22Rhu
0hsih¡R.
b)ÝÑEÝÑ0pourh R,ÝÑEÝÑezNR
0h2pourh¡R.
b) Les cercles decrivent une sphere de centrep0;0;hqet de rayonR. La distribution obtenueest une distribution supercielle de charges sur cette sphere, avec la densiteN{R.Christian Carimalo11Theoreme de superposition-E
Les conducteurs en electrostatique
I. In uence electrostatiqueLa regionx 0est remplie...1
) A l'equilibre, le champ cree para l'interieur du conducteur est oppose au champ inducteurÝÑEE0ÝÑexpourx 0. On peut des lors prevoir que la densite surfacique induite est uniforme (independance vis-a-vis des coordonneesyetz). En outre, on sait qu'une telle distribution surfacique uniforme cree en dehors de la surface le champÝÑex{p20qpourx 0 etÝÑex{p20qpourx 0. On a donc{p20q E0. 2 ) La densiteetant uniforme, le planx0est manifestement unP. 3 ) On a donc, pourx¡0,Eypxq Eypxq 0,Ezpxq Ezpxq 0etExpxq Expxq E0. Pourx¡0le champ electrostatiquetotalest doncÝÑEtot 2E0ÝÑex. En appliquant le theoreme de Gauss comme au paragraphe 5.2 du cours, on trouve2E0{0.Au lieu d'^etre plonge...1
) 2) : voirx5.3 du cours;Qtot qh2¼ dd'rh22s3{2 q, comme prevu... 3 )ÝÑF q240ÝÑ ex4h2.Une sphere conductrice...1
140QR qh , et ce potentiel doit ^etre nul; d'ouQ Rh q. 2 ) On a|Q| qcar les lignes de champ ne vont pas toutes de la charge vers le conducteur : certaines partent de la charge en allant vers l'inni ou le potentiel est aussi nul.
II. Condensateur plan1
) Nous pouvons supposer iciV0¡0. Les eets de bord sont completement ignores.Le champ, suppose uniforme, est donne par
ÝÑEV0`
ÝÑex(dans le sens des potentiels
decroissants). En vertu du theoreme de Coulomb, il est aussi donne par0ÝÑexouest
la densite supercielle de charges sur l'armaturep1q. En appliquant le theoreme de Gauss a la surface fermee, en tenant compte de l'orientation du champ entre les conducteurs et du fait que le champ est nul a l'interieur des conducteurs, on obtient le resultat0S1p2q. La densite supercielle de charges sur l'armaturep2qest donc egale a(ce que l'on retrouveaussi en appliquant le theoreme de Coulomb au voisinage de cette armature).Christian Carimalo12Les conducteurs en elec
1V0- ssS
S x l0(1) (2)EE=0 E=0Figure 1
2 )Qetant la charge totale dep1q,QSV0{p0`q, d'ou la capacite du condensateurCQ{V00S{`.
3 ) Considerees separement, les armaturesp1qetp2qproduisent les champsE1etE2tels quexE 1E2EE1E2 0
20 2000 x ` 20 20
0¡`
20 200La force s'exercant sur l'armaturep2q(pourx`0) estÝÑF1{2 pSqE1ÝÑex, soit F
1{2 S220, attractive comme il se doit.
4 )Ep12 ¸Q iVi12 CV20. On peut aussi calculer cette energie potentielle a partir de la formuleEp02 espaceÝÑE2dv: l'integrale est ici limitee a l'espace inter-conducteurs, ce qui donneEp02E2pS`q 02
V 20`2pS`q 12
CV20. La forceF1{2s'obtient aussi par la
formuleF1{2 BEpB` Q . EcrivantEpQ22CQ2`20S, il vientF1{2 Q220S S220.Par in
uence totale de l'armature chargeep1qappara^t la densite supercielle de charge sur la face de la lame en regard de cette armature. La lame etant isolee, il appara^t sur la face en regard de l'armaturep2qune charge opposee, se distribuant sur cette face avec la densite. Par inuence totale, l'armaturep2qprend une charge avec la densiteChristian Carimalo13Les conducteurs en elec
. Le champ est encore suppose uniforme dans les espaces inter-conducteurs. Calculons sa circulation entre les armaturesp1qetp2q. On a maintenantEpd1d2q V0car le champ est nul a l'interieur de la lame conductrice. DoncE1 0Q1S 0V0d1d2, d'ou la nouvelle
capaciteC1Q1V 00Sd1d20S`e.e
d1d2s s -s-slame (1)(2)Figure 2On notera que
1C 11C 11C2ouC10Sd
1etC20Sd
2, sont les capacites des deux
condensateurs constitues l'un par l'armaturep1qet la face de la lame qui lui est presentee, l'autre par l'armaturep2qet l'autre face de la lame. On a construit ici un systeme de deux condensateurs en serie. La capacite totale de l'ensemble est telle que son inverse est la somme des inverses des capacites des condensateurs constitutifs.III. C^able coaxial1
) Prenons l'axe du cable comme axez1z. Tout plan contenant cet axe est plan de symetrie positive pour le champ. Par ailleurs, dire que la longueurhdu c^able est consideree comme inniment grande devantR2, signie qu'on neglige les eets de bords. Dans ces conditions, tout plan perpendiculaire az1zest aussi plan de symetrie positive pour le champ. Il s'ensuit qu'en tout point, le champ est radial au sens des coordonnees cylindriques :ÝÑEp;';zq E p;';zqÝÑe. En outre, les variables'etzne sont pas des variables sensibles (les relations BVB'E'0,BVBzEz0montrent que le potentielVne peut dependre de'et dez). Par suite,Ene depend que de. Dans l'espace inter-conducteur,divÝÑE1BpEqB0,
doncEK ouKest une constante. On en deduit le potentielVpq KlnK1 ouK1est une autre constante. Les deux constantesKetK1sont determinees par les deux conditions aux limitesVpR1q V0 KlnR1K1,VpR2q 0 KlnR2K1: K1KlnR2; KV0{lnR2R
1Ainsi,Vpq V0lnR2
{lnR2R1,Epq V0ln
R2R 11 . La densite supercielle de charges surChristian Carimalo14Les conducteurs en elec l'armature centrale est donnee par10EpR10q 0V0R1lnR2R
1. Celle sur la face interne
de la gaine est2 0EpR20q 0V0R2lnR2R
1. 2 ) La charge portee par l'^ame estQ12R1h1CV0ouC20h{lnR2R1est la
capacite du c^able. La charge portee par la face interieure de la gaine,Q22R2h2 Q1, est bien l'opposee deQ1.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] exercices corrigés de marketing de base
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