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Exo7

Espaces vectoriels

Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

1 Définition, sous-espaces

Exercice 1Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (surR) :

•E1=f:[0;1]!R: l"ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur l"intervalle[0;1], muni de

l"additionf+gdes fonctions et de la multiplication par un nombre réellf. •E2=(un):N!R: l"ensembledessuitesréellesmunidel"additiondessuitesdéfiniepar(un)+(vn)= (un+vn)et de la multiplication par un nombre réell(un) = (lun).

•E3=P2R[x]jdegP6n: l"ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

nmuni de l"additionP+Qdes polynômes et de la multiplication par un nombre réellP. Déterminer lesquels des ensemblesE1,E2,E3etE4sont des sous-espaces vectoriels deR3. E

1=f(x;y;z)2R3j3x7y=zg

E

2=f(x;y;z)2R3jx2z2=0g

E

3=f(x;y;z)2R3jx+yz=x+y+z=0g

E

4=f(x;y;z)2R3jz(x2+y2) =0g

1. Décrire les sous-espaces v ectorielsde R; puis deR2etR3. 2. Dans R3donner un exemple de deux sous-espaces dont l"union n"est pas un sous-espace vectoriel. Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels. E

1=(x;y;z)2R3jx+y+a=0 etx+3az=0

E

2=ff2F(R;R)jf(1) =0g

E

3=ff2F(R;R)jf(0) =1g

E

4=(x;y)2R2jx+ay+1>0

SoitEun espace vectoriel.

1.

Soient FetGdeux sous-espaces deE. Montrer que

F[Gest un sous-espace vectoriel deE()FGouGF:

1

2.Soit Hun troisième sous-espace vectoriel deE. Prouver que

GF=)F\(G+H) =G+(F\H):

Exercice 61.Soient v1= (2;1;4),v2= (1;1;2)etv3= (3;3;6)des vecteurs deR3, trouver trois réels non tous nuls

a;b;gtels queav1+bv2+gv3=0. 2.

On considère deux plans v ectoriels

P

1=f(x;y;z)2R3jxy+z=0g

P

2=f(x;y;z)2R3jxy=0g

trouver un vecteur directeur de la droiteD=P1\P2ainsi qu"une équation paramétrée. SoientdansR4lesvecteursv1=(1;2;3;4)etv2=(1;2;3;4). Peut-ondéterminerxetypourque(x;1;y;1)2

Vectfv1;v2g? Et pour que(x;1;1;y)2Vectfv1;v2g?

SoitEle sous-espace vectoriel deR3engendré par les vecteursv1= (2;3;1)etv2= (1;1;2)etFcelui engendré parw1= (3;7;0)etw2= (5;0;7). Montrer queEetFsont égaux. Soita2Retfa:R!R,x7!eax. Montrer que la famille(fa)a2Rest libre. Exercice 10Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes : 1. Deux droites v ectoriellesde R3sont-elles supplémentaires ? 2. Deux plans v ectorielsde R3sont-ils supplémentaires ? 3. A quelle condition un plan v ectorielet une droite v ectoriellede R3sont-ils supplémentaires ? On considère les vecteursv1=(1;0;0;1),v2=(0;0;1;0),v3=(0;1;0;0),v4=(0;0;0;1),v5=(0;1;0;1)dans R 4. 2

1.V ectfv1;v2get Vectfv3gsont-ils supplémentaires dansR4?

2. V ectfv1;v2get Vectfv4;v5gsont-ils supplémentaires dansR4? 3. V ectfv1;v3;v4get Vectfv2;v5gsont-ils supplémentaires dansR4? 4. V ectfv1;v4get Vectfv3;v5gsont-ils supplémentaires dansR4? Soientv1= (0;1;2;1);v2= (1;0;2;1);v3= (3;2;2;1);v4= (0;0;1;0)etv5= (0;0;0;1)des vecteurs de R

4. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.

1.

V ectfv1;v2;v3g=Vectf(1;1;0;0);(1;1;4;2)g.

2.(1;1;0;0)2Vectfv1;v2g\Vectfv2;v3;v4g.

3. dim (Vectfv1;v2g\Vectfv2;v3;v4g) =1 (c"est-à-dire c"est une droite vectorielle). 4.

V ectfv1;v2g+Vectfv2;v3;v4g=R4.

5. V ectfv4;v5gest un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vectfv1;v2;v3gdansR4. SoitE=D1(R;R)l"espace des fonctions dérivables etF=ff2Ejf(0) =f0(0) =0g. Montrer queFest un sous-espace vectoriel deEet déterminer un supplémentaire deFdansE. Soit

E=(un)n2N2RNj(un)nconverge:

Montrer que l"ensemble des suites constantes et l"ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espaces

supplémentaires dansE: Indication pourl"exer cice1 NOn vérifiera sur ces exemples la définition donnée en cours.

Indication pour

l"exer cice

2 N1.E1est un sous-espace vectoriel.

2.E2n"est pas un sous-espace vectoriel.

3.E3est un sous-espace vectoriel.

4.E4n"est pas un sous-espace vectoriel.Indication pourl"exer cice3 N1.Discuter sui vantla dimension des sous-espaces.

2.

Penser aux droites v ectorielles.Indication pourl"exer cice4 N1.E1est un sous-espace vectoriel deR3si et seulement sia=0.

2.E2est un sous-espace vectoriel.

3.E3n"est pas un espace vectoriel.

4.E4n"est pas un espace vectoriel.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour le sens ): raisonner par l"absurde et prendre un vecteur deFnGet un deGnF. Regarder la

somme de ces deux vecteurs. 2.

Raisonner par double inclusion, re veniraux v ecteurs.Indication pourl"exer cice6 N1.On pensera à poser un système.

2.

T rouverun v ecteurnon-nul commun aux deux plans. Indication pourl"exer cice7 NOn ne peut pas pour le premier, mais on peut pour le second.

Indication pour

l"exer cice

8 NMontrer la double inclusion. Utiliser le fait que de manière générale pourE=Vect(v1;:::;vn)alors :

EF() 8i=1;:::;n vi2F:

4

Indication pourl"exer cice9 NSupposer qu"il existe des réelsl1;:::;lnet des indicesa1>a2>>an(tout cela en nombre fini !) tels que

l

1fa1++lnfan=0:

Ici le 0 est la fonction constante égale à 0. Regarder quel terme est dominant et factoriser.Indication pourl"exer cice10 N1.Jamais.

2.

Jamais.

3. Considérer un v ecteurdirecteur de la droite. Indication pourl"exer cice11 N1.Non. 2. Oui. 3. Non. 4.

Non. Indication pourl"exer cice12 N1.Vrai.

2. Vrai. 3.

F aux.

4.

F aux.

5.

Vrai. Indication pourl"exer cice13 NSoit

G=x7!ax+bj(a;b)2R2:

Montrer queGest un supplémentaire deFdansE.Indication pourl"exer cice14 NPour une suite(un)qui converge vers`regarder la suite(un`).5

Correction del"exer cice1 NPour qu"un ensembleE, muni d"une additionx+y2E(pour toutx;y2E) et d"une multiplication par un

scalairelx2E(pour toutl2K,x2E), soit unK-espace vectoriel il faut qu"il vérifie les huit points suivants.

1.x+(y+z) = (x+y)+z(pour toutx;y;z2E)

2. il e xisteun v ecteurnul 0 2Etel quex+0=x(pour toutx2E) 3. il e xisteun opposé xtel quex+(x) =0 (pour toutx2E)

4.x+y=y+x(pour toutx;y2E)

Ces quatre premières propriétés font de(E;+)un groupe abélien. 5.

1 x=x(pour toutx2E)

6.l(x+y) =lx+ly(pour toutl2K=, pour toutx;y2E)

7.(l+m)x=lx+mx(pour toutl;m2K, pour toutx2E)

8.(lm)x=l(mx)(pour toutl;m2K, pour toutx2E)

Il faut donc vérifier ces huit points pour chacun des ensembles (iciK=R).

Commençons parE1.

1.f+(g+h)=(f+g)+h; en effet on bien pour toutt2[0;1]:f(t)+g(t)+h(t)=f(t)+g(t)+h(t)

d"où l"égalité des fonctionsf+(g+h)et(f+g)+h. Ceci est vrai pour toutf;g;h2E1. 2.

le v ecteurnul est ici la fonction constante ég aleà 0, que l"on note encore 0, on a bien f+0=f(c"est-à-

dire pour toutx2[0;1],(f+0)(t) =f(t), ceci pour toute fonctionf). 3. il e xisteun opposé fdéfinie parf(t) =f(t)tel quef+(f) =0

4.f+g=g+f(carf(t)+g(t) =g(t)+f(t)pour toutt2[0;1]).

5.

1 f=f; en effet pour toutt2[0;1],(1f)(t) =1f(t) =f(t). Et une fois que l"on compris quelf

vérifie par définition(lf)(t) =lf(t)les autres points se vérifient sans peine.

6.l(f+g) =lf+lg

7.(l+m)f=lf+mf

8.(lm)f=l(mf); en effet pour toutt2[0;1],(lm)f(t) =l(mf(t))

Voici les huit points à vérifier pourE2en notantula suite(un)n2N

1.u+(v+w) = (u+v)+w

2. le v ecteurnul est la suite dont tous les termes sont nuls. 3.

La suite uest définie par(un)n2N

4.u+v=v+u

5. 1 u=u

6.l(u+v) =lu+lv: montrons celui-ci en détails par définitionu+vest la suite(un+vn)n2Net par

définition de la multiplication par un scalairel(u+v)est la suitel(un+vn) n2Nqui est bien la suitelun+lvn) n2Nqui est exactement la suitelu+lv.

7.(l+m)u=lu+mv

8.(lm)u=l(mu)

6

Voici ce qu"il faut vérifier pourE3, après avoir remarqué que la somme de deux polynômes de degré6nest

encore un polynôme de degré6n(même chose pourlP), on vérifie :

1.P+(Q+R) = (P+Q)+R

2. il e xisteun v ecteurnul 0 2E3: c"est le polynôme nul 3. il e xisteun opposé Ptel queP+(P) =0

4.P+Q=Q+P

5. 1 P=P

6.l(P+Q) =lP+lQ

7.(l+m)P=lP+mP

8.(lm)P=l(mP)Correction del"exer cice2 N1.(a) (0;0;0)2E1.

(b) Soient (x;y;z)et(x0;y0;z0)deux éléments deE1. On a donc 3x7y=zet 3x07y0=z0. Donc

3(x+x0)7(y+y0) = (z+z0), d"où(x+x0;y+y0;z+z0)appartient àE1.

(c) Soit l2Ret(x;y;z)2E1. Alors la relation 3x7y=zimplique que 3(lx)7(ly) =lzdonc quel(x;y;z) = (lx;ly;lz)appartient àE1.

2.E2=f(x;y;z)2R3jx2z2=0gc"est-à-direE2=f(x;y;z)2R3jx=zoux=zg. Donc(1;0;1)

et(1;0;1)appartiennent àE2mais(1;0;1)+(1;0;1) = (2;0;0)n"appartient pas àE2qui n"est en conséquence pas un sous-espace vectoriel deR3.

3.E3est un sous-espace vectoriel deR3. En effet :

(a)(0;0;0)2E3. (b) Soient (x;y;z)et(x0;y0;z0)deux éléments deE3. On a doncx+yz=x+y+z=0 etx0+y0z0= x

0+y0+z0=0. Donc(x+x0)+(y+y0)(z+z0) = (x+x0)+(y+y0)+(z+z0) =0 et(x;y;z)+

(x0;y0;z0) = (x+x0;y+y0;z+z0)appartient àE3. (c) Soit l2Ret(x;y;z)2E3. Alors la relationx+yz=x+y+z=0 implique quelx+lylz= lx+ly+lz=0 donc quel(x;y;z) = (lx;ly;lz)appartient àE3. 4. Les v ecteurs(1;0;0)et(0;0;1)appartiennent àE4mais leur somme(1;0;0)+(0;0;1) = (1;0;1)ne lui

appartient pas doncE4n"est pas un sous-espace vectoriel deR3.Correction del"exer cice3 N1.L "espacev ectorielRa deux sous-espaces : celui formé du vecteur nulf0getRlui-même.

L"espace vectorielR2a trois types de sous-espaces:f0g, une infinité de sous-espaces de dimension 1 (ce

sont les droites vectorielles) etR2lui-même. Enfin, l"espaceR3a quatre types de sous-espaces: le vecteur nul, les droites vectorielles, les plans vectoriels et lui-même. 2.

On considère deux droites v ectoriellesde R3dont des vecteurs directeursuetvne sont pas colinéaires

alors le vecteuru+vn"appartient à aucune de ces deux droites, l"union de celles-ci n"est pas un espace

vectoriel. 7

Correction del"exer cice4 N1.E1: non sia6=0 car alors 0=2E1; oui, sia=0 car alorsE1est l"intersection des sous-espaces vectoriels

f(x;y;z)2R3jx+y=0getf(x;y;z)2R3jx=0g.

2.E2est un sous-espace vectoriel deF(R;R).

3.E3: non, car la fonction nulle n"appartient pas àE3.

4.E4: non, enfaitE4n"estmêmepasunsous-groupede(R2;+)car(2;0)2E4mais(2;0)=(2;0)=2E4.Correction del"exer cice5 N1.Sens (. SiFGalorsF[G=GdoncF[Gest un sous-espace vectoriel. De même siGF.

Sens). On suppose queF[Gest un sous-espace vectoriel. Par l"absurde supposons queFn"est pas inclus dansGet queGn"est pas inclus dansF. Alors il existex2FnGety2GnF. Mais alors x2F[G,y2F[Gdoncx+y2F[G(carF[Gest un sous-espace vectoriel). Commex+y2F[G alorsx+y2Foux+y2G. Si x+y2Falors, commex2F,(x+y)+(x)2Fdoncy2F, ce qui est absurde. Si x+y2Galors, commey2G,(x+y)+(y)2Gdoncx2G, ce qui est absurde. Dans les deux cas nous obtenons une contradiction. DoncFest inclus dansGouGest inclus dansF. 2.

Supposons GF.

Inclusion . Soitx2G+(F\H). Alorsilexistea2G,b2F\Htelsquex=a+b. CommeGF alorsa2F, de plusb2Fdoncx=a+b2F. D"autre parta2G,b2H, doncx=a+b2G+H.

Doncx2F\(G+H).

Inclusion . Soitx2F\(G+H).x2G+Halors il existea2G,b2Htel quex=a+b. Maintenantb=xaavecx2Feta2GF, doncb2F, doncb2F\H. Doncx=a+b2

G+(F\H).Correction del"exer cice6 N1.

av1+bv2+gv3=0 ()a(2;1;4)+b(1;1;2)+g(3;3;6) = (0;0;0)

2a+b+3g;ab+3g;4a+2b+6g

= (0;0;0) 8 :2a+b+3g=0 ab+3g=0

4a+2b+6g=0

() (on résout le système) ()a=2t;b=t;g=t t2R Si l"on prendt=1 par exemple alorsa=2,b=1,g=1 donne bien2v1+v2+v3=0. Cette solution n"est pas unique, les autres coefficients qui conviennent sont les(a=2t;b=t;g=t) pour toutt2R. 8

2.Il s"agit donc de trouv erun v ecteurv= (x;y;z)dansP1etP2et donc qui doit vérifierxy+z=0 et

xy=0 : v= (x;y;z)2P1\P2 ()xy+z=0 etxy=0 xyz=0 xy=0 () (on résout le système) ()(x=t;y=t;z=0)t2R

Donc, si l"on fixe par exemplet=1, alorsv= (1;1;0)est un vecteur directeur de la droite vectorielleD,

une équation paramétrique étantD=f(t;t;0)jt2Rg.Correction del"exer cice7 N1. (x;1;y;1)2Vectfv1;v2g () 9l;m2R(x;1;y;1) =l(1;2;3;4)+m(1;2;3;4) () 9l;m2R(x;1;y;1) = (l;2l;3l;4l)+(m;2m;3m;4m) () 9l;m2R(x;1;y;1) = (l+m;2l2m;3l+3m;4l4m) =) 9l;m2R1=2(lm)et 1=4(lm) =) 9l;m2Rlm=12 etlm=14 Ce qui est impossible (quelque soientx;y). Donc on ne peut pas trouver de telsx;y. 2.

On f aitle même raisonnement :

(x;1;1;y)2Vectfv1;v2g if f9l;m2R(x;1;1;y) = (l+m;2l2m;3l+3m;4l4m) () 9l;m2R8 >>>:x=l+m

1=2l2m

1=3l+3m

y=4l4m () 9l;m2R8 >>>:l=512 m=112 x=13 y=2:

Donc le seul vecteur(x;1;1;y)qui convienne est(13

;1;1;2).Correction del"exer cice8 N 9 Montrons d"abord queEF. On va d"abord montrer quev12Fetv22F. Tout d"abordv12F()v12Vectfw1;w2g () 9l;mv1=lw1+mw2.

Il s"agit donc de trouver cesl;m. Cela se fait en résolvant un système (ici on peut même le faire de tête) on

trouve la relation 7(2;3;1) =3(3;7;0)(5;0;7)ce qui donne la relationv1=37 w117 w2et doncv12F.

De même 7v2=w1+2w2doncv22F.

Maintenantv1etv2sont dans l"espace vectorielF, donc toute combinaison linéaire dev1etv2aussi, c"est-à-dire

: pour toutl;m, on alv1+mv22F. Ce qui impliqueEF.

Il reste à montrerFE. Il s"agit donc d"écrirew1(puisw2) en fonction dev1etv2. On trouvew1=2v1v2

etw2=v1+3v2. Encore une fois cela entraînew12Eetw22Edonc Vectfw1;w2g Ed"oùFE.

Par double inclusion on a montréE=F.Correction del"exer cice9 NÀ partir de la famille(fa)a2Rnous considérons une combinaison linéaire (qui ne correspond qu"à un nombre

finide termes).

Soienta1>a2>:::>andesréelsdistinctsquenousavonsordonnés, considéronslafamille(finie):(fai)i=1;:::;n.

Supposons qu"il existe des réelsl1;:::;lntels queåni=1lifai=0. Cela signifie que, quelque soitx2R, alors

ni=1lifai(x) =0, autrement dit pour toutx2R: l

1ea1x+l2ea2x++lneanx=0:

Le terme qui domine estea1x(cara1>a2>). Factorisons parea1x: e a1x l

1+l2e(a2a1)x++lne(ana1)x

=0:

Maisea1x6=0 donc :

l

1+l2e(a2a1)x++lne(ana1)x=0:

Lorsquex!+¥alorse(aia1)x!0 (pour touti>2, caraia1<0). Donc pouri>2,lie(aia1)x!0 et en passant à la limite dans l"égalité ci-dessus on trouve : l 1=0: Lepremier coefficientsestdoncnul. Onrepart delacombinaisonlinéaire quiestmaintenantl2f2++lnfn=

0 et en appliquant le raisonnement ci-dessus on prouve par récurrencel1=l2==ln=0. Donc la famille

(fa)a2Rest une famille libre.Correction del"exer cice10 N1.Si les deux droites v ectoriellessont distinctes alors elles engendrent un plan v ectorielet donc pas R3

tout entier. Si elles sont confondues c"est pire : elles n"engendrent qu"une droite. Dans tout les cas elles

n"engendrent pasR3et ne sont donc pas supplémentaires. 2. Si PetP0sont deux plans vectoriels alorsP\P0est une droite vectorielle siP6=P0ou le planPtout entier siP=P0. Attention, tous les plans vectoriels ont une équation du typeax+by+cz=0 et doivent

passer par l"origine, il n"existe donc pas deux plans parallèles par exemple. Donc l"intersectionP\P0

n"est jamais réduite au vecteur nul. AinsiPetP0ne sont pas supplémentaires. 3. Soit Dune droite etPun plan,uun vecteur directeur deD. Si le vecteuruappartient au planPalors

DPet les espaces ne sont pas supplémentaires (ils n"engendrent pas toutR3). Siu=2Palors d"une part

D\Pest juste le vecteur nul d"autre partDetPengendrent toutR3;DetPsont supplémentaires.

Détaillons un exemple : siPest le plan d"équationz=0 alors il est engendré par les deux vecteurs

v= (1;0;0)etw= (0;1;0). SoitDune droite de vecteur directeuru= (a;b;c). 10 Alorsu=2P()u=2Vectfv;wg ()c6=0. Dans ce cas on bien que d"une part queD=Vectfug

intersecté avecPest réduit au vecteur nul. AinsiD\P=f(0;0;0)g. Et d"autre part tout vecteur(x;y;z)2

R

3appartient àD+P=Vectfu;v;wg. Il suffit de remarquer que(x;y;z)zc

(a;b;c)=(xzac ;yzbc ;0)= (xzac )(1;0;0)+(yzbc )(0;1;0). Et ainsi(x;y;z) =zc u+(xzac )v+(yzbc )w. DoncD+P=R3.

Bilan on a bienDP=R3:DetPsont en somme directe.Correction del"exer cice11 N1.Non. T outd"abord par définition V ectfv1;v2g+Vectfv3g=Vectfv1;v2;v3g, Nous allons trouver un

vecteur deR4qui n"est pas dans Vectfv1;v2g+Vectfv3g. Il faut tâtonner un peu pour le choix, par exemple faisons le calcul avecu= (0;0;0;1).

u2Vectfv1;v2;v3gsi et seulement si il existe des réelsa;b;gtels queu=av1+bv2+gv3. Si l"on écrit

les vecteurs verticalement, on cherche donca;b;gtels que : 0 B B@0 0 0 11 C CA=a0 B B@1 0 0 11 C CA+b0 B B@0 0 1 01 C CA+g0 B B@0 1 0 01 C CA Ce qui est équivalent à trouvera;b;gvérifiant le système linéaire :

8>>>><

>>>:0=a1+b0+g0

0=a0+b0+g1

0=a0+b1+g0

1=a1+b0+g0qui équivaut à8

>>>:0=a 0=g 0=b 1=a

Il n"y a clairement aucune solution à ce système (les trois premières lignes impliquenta=b=g=0 et

cela rentre alors en contradiction avec la quatrième). Un autre type de raisonnement, beaucoup plus rapide, est de dire que ces deux espaces ne peuvent

engendrés toutR4car il n"y pas assez de vecteurs en effet 3 vecteurs ne peuvent engendrer l"espace

R

4de dimension 4.

2. Oui. Notons F=Vectfv1;v2getG=Vectfv4;v5g. Pour montrerFG=R4il faut montrerF\G= f(0;0;0;0)getF+G=R4. (a) Montrons F\G=f(0;0;0;0g. Soitu2F\G, d"une partu2F=Vectfv1;v2gdonc il existe a;b2Rtels queu=av1+bv2. D"autre partu2G=Vectfv4;v5gdonc il existeg;d2Rtels que u=gv4+dv5. On a écritude deux façons donc on a l"égalitéav1+bv2=gv4+dv5. En écrivant les vecteurs comme des vecteurs colonnes cela donne a0 B B@1 0 0 11 C CA+b0 B B@0 0 1 01 C CA=g0 B B@0 0 0 11 C CA+d0 B B@0 1 0 11 C CA Donc(a;b;g;d)est solution du système linéaire suivant :

8>>>><

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