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concevoir que 2 est de nature différente mais surtout d'en donner une démonstration. Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les 



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La seconde partie est entièrement consacrée à l'algèbre linéaire C'est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche qui recouvre la notion de matrice 



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Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ?x ? E ?p ? N? tel que f p(x) = 0 Montrer 



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Théorème fondamental de l'algèbre Théorème 2 d'Alembert–Gauss Soit P(z) = anzn +an?1zn?1 +···+a1z+a0 un polynôme à coefficients complexes et de degré



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Exercice 3 Pour chaque couple de matrices (Aibi) 1 ? i ? 5 ci-dessous 1 donner la nature de l'ensemble des solutions du système AiX = bi ; 2



Exo7 : Cours et exercices de mathématiques

Exo7 propose aux étudiants des cours de maths des exercices avec corrections et des vidéos livre-algebre-1 pdf 360 questions - niveau L1 - partie 2



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2 Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace vectoriel Indication ? Correction ?



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    Comment comprendre l'alg?re

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    Les conseils de base pour débuter en alg?re

    1Les opérations simples ne doivent pas vous poser de problème. 2Connaître les règles de priorité de calculs : parenthèses, crochets, puissances, multiplication, division et soustraction.3Il est important d'organiser vos calculs pour ne pas vous perdre.
  • L'alg?re linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des si?les durant.

Espaces vectoriels

propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents. Par exemple, on peut additionner deux

vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l"agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi

additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le

but est d"obtenir des théorèmes généraux qui s"appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l"espace, aux espaces

de fonctions, aux polynômes, aux matrices,... La contrepartie de cette grande généralité de situations est que la notion

d"espace vectoriel est difficile à appréhender et vous demandera une quantité conséquente de travail! Il est bon d"avoir

d"abord étudié le chapitre " L"espace vectorielRn».

1. Espace vectoriel (début)

Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réelsR.

1.1. Définition d"un espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l"on puisse additionner (et soustraire) deux

vecteursu,vpour en former un troisièmeu+v(ouuv) et aussi afin que l"on puisse multiplier chaque vecteuru

d"un facteurpour obtenir un vecteuru. Voici la définition formelle :Définition 1. UnK-espace vectorielest un ensemble non videEmuni : d"une loi de composition interne, c"est-à-dire d"une application deEEdansE: EE!E (u,v)7!u+v d"une loi de composition externe, c"est-à-dire d"une application deKEdansE: KE!E (,u)7!u qui vérifient les propriétés suivantes :

1.u+v=v+u(pour tousu,v2E)

ESPACES VECTORIELS1. ESPACE VECTORIEL(DÉBUT)22.u+(v+w) = (u+v)+w(pour tousu,v,w2E) 3. Il existe un élément neutre0E2Etel queu+0E=u(pour toutu2E) 4. T outu2Eadmet unsymétriqueu0tel queu+u0=0E. Cet élémentu0est notéu. 5.

1 u=u(pour toutu2E)

6.(u) = ()u(pour tous,2K,u2E)

7.(u+v) =u+v(pour tous2K,u,v2E)

8.(+)u=u+u(pour tous,2K,u2E)Nous reviendrons en détail sur chacune de ces propriétés juste après des exemples.

1.2. Premiers exemples

Exemple 1(LeR-espace vectorielR2).PosonsK=RetE=R2. Un élémentu2Eest donc un couple(x,y)avecxélément deRetyélément deR. Ceci

s"écrit R

2=(x,y)jx2R,y2R.

Définition de la loi interne.Si(x,y)et(x0,y0)sont deux éléments deR2, alors : (x,y)+(x0,y0) = (x+x0,y+y0). Définition de la loi externe.Siest un réel et(x,y)est un élément deR2, alors : (x,y) = (x,y).

L"élément neutre de la loi interne est le vecteur nul(0,0). Le symétrique de(x,y)est(x,y), que l"on note aussi

(x,y).uu vu+vu0

L"exemple suivant généralise le précédent. C"est aussi le bon moment pour lire ou relire le chapitre " L"espace vectoriel

Rn».

Exemple 2(LeR-espace vectorielRn).

Soitnun entier supérieur ou égal à1. PosonsK=RetE=Rn. Un élémentu2Eest donc unn-uplet(x1,x2,...,xn)

avecx1,x2,...,xndes éléments deR. Définition de la loi interne.Si(x1,...,xn)et(x0

1,...,x0

n)sont deux éléments deRn, alors : (x1,...,xn)+(x0

1,...,x0

n) = (x1+x0

1,...,xn+x0

n). Définition de la loi externe.Siest un réel et(x1,...,xn)est un élément deRn, alors : (x1,...,xn) = (x1,...,xn).

ESPACES VECTORIELS1. ESPACE VECTORIEL(DÉBUT)3L"élément neutre de la loi interne est le vecteur nul(0,0,...,0). Le symétrique de(x1,...,xn)est(x1,...,xn), que

l"on note(x1,...,xn).

De manière analogue, on peut définir leC-espace vectorielCn, et plus généralement leK-espace vectorielKn.

Exemple 3.

Tout plan passant par l"origine dansR3est un espace vectoriel (par rapport aux opérations habituelles sur les vecteurs).

SoientK=RetE=Pun plan passant par l"origine. Le plan admet une équation de la forme : ax+by+cz=0 oùa,betcsont des réels non tous nuls.0 Un élémentu2Eest donc un triplet (noté ici comme un vecteur colonne)€ xyzŠ tel queax+by+cz=0. x y z‹ x0 y 0 z 0‹ deux éléments deP. Autrement dit, ax+by+cz=0, etax0+by0+cz0=0. x+x0 y+y0 z+z0‹ est aussi dansPcar on a bien : a(x+x0)+b(y+y0)+c(z+z0) =0.

Les autres propriétés sont aussi faciles à vérifier : par exemple l"élément neutre est

€000Š

; et si

€xyzŠ

appartient àP, alorsax+by+cz=0, que l"on peut réécrirea(x)+b(y)+c(z) =0 et ainsi€ xyzŠ appartient àP.

Attention! Un plan ne contenant pas l"origine n"est pas un espace vectoriel, car justement il ne contient pas le vecteur

nul€000Š

1.3. Terminologie et notations

Rassemblons les définitions déjà vues.

On appelle les éléments deEdesvecteurs. Au lieu deK-espace vectoriel, on dit aussi espace vectoriel surK.

Les éléments deKseront appelés desscalaires.

L"élément neutre0Es"appelle aussi levecteur nul. Il ne doit pas être confondu avec l"élément0deK. Lorsqu"il

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