[PDF] UNIVERSITÉ DE BORDEAUX Master 1 Théorie des Groupes

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UNIVERSIT

E DE BORDEAUX

Master 1

Theorie des Groupes

Corrige du Devoir Surveille du 24 novembre 2014

Exercice 1.SoitGun groupe et soienta;bdeux elements deG:Supposons que abest d'ordre nin= ord(ab):Prouver que ord(ba) =n: Supposons que (ab)n=e:Comme (ab)n=a(ba)n1bon aa(ba)n1b=e: En multipliant cette egalite a gauche para1et a droite paraon obtient que (ba)n1(ba) =a1a=e:Donc (ba)n=e:Le m^eme argument montre que (ba)n=e implique (ab)n=e:Donc ord(ba) = ord(ab) =n: Exercice 2.SoitGun groupe ni et soitHun sous-groupe distingue deGd'ordre net d'indicem:Supposons quemetnsont premiers entre eux. Prouver queHest l'unique sous-groupe deGd'ordren: SoitH0un sous-groupe deGd'ordren:Soitx2H0:Alorsxn=e:D'autre part, commeHest distingue dansGet (G:H) =mon aym2Hpour touty2G(on a ym= edansG=H). Commemetnsont premiers entre eux il existea;b2Ztels que 1 =am+bn:Donc x=xam+bn= (xa)mxnb= (xa)m2H:

On en deduit queH0H:CommejH0j=jHj;on aH0=H:

Exercice 3.Donner tous les endomorphismes du groupe (Q;+): Il est facile de voir que pour touta2Ql'applicationfa:Q!Qdenie parfa(x) =axest un endomorphisme du groupe (Q;+):Soitf:Q!Qun endomorphisme quelconque et soita=f(1):On va prouver quef=fa:Comme f(1) =a;on af(n) =f(1 ++ 1) =f(1) ++f(1) =napourn2Net f(n) = (n)a:Soit maintenantx=n=mun nombre rationnel. Alorsmf(x) = f(mx) =f(n) =na;d'ouf(x) =na=m=xa=fa(x): Exercice 4.Soitpun nombre premier et soitGun groupe d'ordrepn(n>1).

SoitNun sous-groupe distingue non trivial deG:

1) Expliciter la formule des classes pour l'action deGsurNpar conjugaison.

L'orbite d'un elementx2Nest reduite axsi et seulement six2N\Z(G): Donc jNj=jN\Z(G)j+X x ijGjjGxij; ouxiparcourt un systeme complet des representants des orbites non ponctuelles.

2) En deduire queN\Z(G)6=feg:Quel theoreme connu vient-on de generaliser?

CommepdivisejNjetjGj=jGxij(puisqueGxi6=G) on obtient quepdivise N\Z(G):DoncN\Z(G)6=feg:En posantN=Gon obtient queZ(G)6=feg (theoreme du cours). 2 Exercice 5.1) SoitGun groupe ni d'ordrenet soitn=pm11pm22pmkkla decomposition denen produit de facteurs premiers. Montrer que siGadmet un uniquepi-sous-groupe de SylowGpipour chaquei= 1;2;::: ;kalorsG= G p1Gp2 Gpk: Pour toutg2Gle sous-groupeg1Gpigest unpi-sous-groupe de Sylow, d'ou g

1Gpig=Gpi:Donc les sous-groupesGpisont distingues.

Soientx2Gpiety2Gpjoupi6=pj:Commex1y1x2Gpjety1xy2Gpion a x

1y1xy2Gpi\Gpj=feg:

Doncxy=yx:Alors l'application

':Gp1Gp2 Gpk!G denie par '(x1;x2;;xk) =x1x2xk; xi2Gpi; est un homomorphisme. On va prouver que'est un isomorphisme. Comme jGj=jGp1j jGp2jjGpkj; il sut de montrer que'est injective. Supposons que '(x1;x2;;xk) =x1x2xk=e: Alorsx1= (x2xk)1:SoitM=pm22pmkk:On axM1= (x2xk)M=eet x pm111=e:CommeMetpm11sont premiers entre eux, on en deduit quex1=e:

Donc ker(') =feget'est injective.

Dans le reste de cet exercice on se propose de demontrer que tout groupe d'ordre

255 est cyclique. SoitGun groupe d'ordre 255:

2) Prouver queGpossede un sous-groupe distingueHd'ordre 17 et un seul.

On a 255 = 3517:Soitn17le nombre de 17-sous groupes de Sylow deG:Alors n

171 (mod 17) etn17divise 15;d'oun17= 1:

3) Prouver queG=Hest abelien et qu'il possede un sous-groupeKd'ordre 5 et un

seul. G=H= 15:On noten3le nombre de 3-sous-groupes de Sylow etn5le nombre de 5- sous-groupes de Sylow deG=Hrespectivemet. Alorsn3divise 5 etn31 (mod 3) etn5divise 3 etn31 (mod 5):Doncn3=n5= 1:Comme le 5-sous-groupe de Sylow deG=Hest un groupe d'ordre 5 il est isomorphe aZ=5Z:De m^eme, le

3-sous-groupe de Sylow deG=Hest isomorphe aZ=3Z:Il decoule maintenant de la

question 1) queG=Hest isomorphe aZ=5ZZ=3Z'Z=15Z:

4) Soit:G!G=Hla projection canonique. Prouver queC=1(K) est un

sous-groupe distingue deG: 3

Soitg2G:CommeKest distingue dansG=Hon a

(g1Cg) =(g)1(C)(g) =(g)1K(g) =K; d'oug1CgC:DoncCest distingue dansG:

5) Prouver queCest cyclique.

Comme ker() =H; Cest un groupe d'ordrejKj jHj= 85:Soientm17le nombre de 17-sous-groupes de Sylow etm5le nombre de 5-sous-groupes de Sylow deC:Commem51 (mod 5) etm5divise 17 on trouve quem5= 1:On a deja vu dans 2) queHest l'unique 17-sous groupe de Sylow deC:En appliquant 1) on obtient queCest isomorphe aZ=17ZZ=5Z:

6) Prouver que tous lesp-sous-groupes de Sylow (p= 3;5;17) deGsont distingues.

On sait deja queHest distingue. CommeCest abelien, il possede un unique

5-sous-groupe de SylowC5:Soitg2G:CommeCest distingue on ag1C5g

g

1Cg=C:Doncg1C5gest un 5-sous-groupe de Sylow deC;d'oug1C5g=C5:

Comme tous les 5-sous-groupes de Sylow sont conjugues on en deduit queC5est l'unique 5-sous groupe de Sylow deG: SoitNl'unique sous-groupe deG=Hd'ordre 3 et soitD=1(N):Alors les m^emes arguments montrent queDest un sous-groupe distingue dansGet que son unique 3-sous-groupe de Sylow est distingue dansG:

7) En deduire queGest abelien et conclure.

Il sut d'appliquer la question 1).

Exercice 6.Le but de cet exercice est de prouver qu'il existe un sous-groupeH deS6isomorphe aS5qui opere transitivement surf1;2;::: ;6g:

1) SoitHun sous-groupe distingue deSn(n>5). Prouver queH=feg; Anou

S n:(Vous pouvez utiliser la simplicite deAn). SoitHun sous-groupe distingue non trivial deSn(n>5:) AlorsH\Anest un sous-groupe distingue deAn:Par la simplicite deAnon en deduit queH\An=An ouH\An=feg:SiH\An=AnalorsAnHSnet comme [Sn:An] = 2 on aH=AnouH=Sn:SiH\An=feg;on a

H'H=H\An'HAn=An=Sn=An:

DoncjHj= 2:SoitG=fe;g:Alors pour tout2Snon a1=et donc

2Z(Sn) ce qui est impossible commeZ(Sn) =feg:

2) SoitPun 5-sous-groupe de Sylow deS5:On considere le normalisateurNdeP

dansS5:

N=fg2S5jgPg1Pg:

On posem= (S5:N):Prouver quemdivise 24 et quem1 (mod 5): Comme les 5-sous-groupes de Sylow deS5sont conjugues,m= (S5:N) est egal au nombren5de 5-sous-groupes de Sylow deS5:Orn51 (mod 5) etn5divise jS5j= 245: 4

3) Prouver quem6= 1:En deduire quem= 6 etjNj= 20:

Sim= 1 le groupePserait distingue dansS5ce qui contredit la question 1). Il decoule maintenant de la question 2) quem= 6 etjNj=jS5j=m= 20:

4) Montrer qu'il existe un homomorphisme injectif':S5!S(S5=N)'S6:

SoitS5=N=fxNjx2S5gl'ensemble des classes a gauche deS5selonN:On denit une action deS5surS5=Nen posant g(xN) = (gx)N: Cette action induit un homomorphisme injectif':S5!S(S5=N) (voir le cours) et par la question precedente l'ensembleS5=Nest de cardinal 6:

5) Conclure.

L'action deS5surS5=Nest transitive puisque pour tousx1;x22S5on a g(x1N) =x2Npourg=x2x11: FINquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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