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Master 1 - Mathématiques Fondamentales2019-2020Théorie des Groupes et Géométrie

Contrôle Continu n°1

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Questions de cours4pts

Soitpun nombre premier.

1.Rappeler la définition d"unp-groupe. 1pt

Unp-groupe est un groupe de cardinalpαavecα?N?.

2.Rappeler la définition du centre d"un groupe. 1ptLe centre d"un groupeGest l"ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments

deG, c"est-à-direZ(G):={x?G:?y?G,xy=yx}. 3. Montrer que le centre d"unp-groupe est non trivial.Indication: on pourra faire agir le groupe sur lui-même par conjugaison. 2pts SoitGunp-groupe. On fait agitGsur lui-même par conjugaison. Pour toutx?G, on remarque que l"orbiteG·x={yxy-1:y?G}dexest de taille1si et seulement si x?Z(G). La formule des classes donne donc #G= #Z(G) +? x?G\G #(G·x)>1#(G·x).(1) Maintenant, par la relation orbite-stabilisateur on sait que le cardinal de chaque orbite divise le cardinal du groupe, i.e.#(G·x)|#G. Puisque#G=pαavecα?N×, on en déduit que si#(G·x)>1alorsp|#(G·x). On déduit ainsi de(1)quep|#Z(G). On a donc#Z(G)>p(on a#Z(G)>0car1?Z(G)) et en particulierZ(G)n"est pas trivial.

Exercice 17pts

SoitGun groupe d"ordre56. Le but de cet exercice est de montrer queGest résoluble non-simple. On commence par montrer queGn"est pas simple. Raisonnons par l"absurde et supposons queGest simple.

1.Compter le nombre d"éléments deGd"ordre7. 2pt

On a56 = 8·7 = 23·7. Le nombren7de7-Sylows deGvérifie doncn7≡1 (mod7)et n7|8, d"oùn7? {1,8}. Si on avaitn7= 1alorsGpossèderait un unique7-Sylow, qui serait donc distingué, ce qui est impossible puisqueGest simple (un7-Sylow étant non trivial et non égal àGtout entier puisqueGn"est pas un7-groupe). On a doncn7= 8. Finalement, siSetS?sont deux7-Sylows, on a#S= 7(c"est bien la plus grande puissance de7divisant#G) donc puisqueS∩S?est un sous-groupe deSet que7est premier,

1/5 TSVP→

par le théorème de Lagrange on en déduit queS∩S?={1}ouS. Ainsi, deux7-Sylow distincts se rencontrent seulement en l"identité. On en conclut que chaque7-Sylow est

composé de l"identité et de6éléments qui ne sont dans aucun autre7-Sylow, ces6éléments

étant tous d"ordre7par le théorème de Lagrange. On en déduit queGpossède exactement

6·n7= 6·8 = 48éléments d"ordre7(il n"y en a pas plus car chaque élément d"ordrepest

dans unp-Sylow). 2. Toujours en comptant le nombre d"éléments, en déduire queGpossède un unique2-Sylow. 1pt D"après la question précédente, les éléments des (ou du) 2-Sylow(s) deGsont dans un ensemble à56-48 = 8éléments. Il y a donc la place juste pour un seul2-Sylow (ils sont de cardinal23= 8), doncn2= 1. (On peut être plus précis : le nombren2de2-Sylows deGvérifien2≡1 (mod2)etn2|7 d"oùn2? {1,7}. Supposons quen2= 7et soientSetS?deux2-Sylows distincts. On a propres (un2-Sylow étant de cardinal23= 8). On obtient donc4·n2= 28éléments différents. Ces éléments n"étant dans aucun7-Sylow, c"est absurde puisque28>8. On a doncn2= 1.)

3.Conclure à la non-simplicité deG. 2pt

Par la question précédente, le groupeGpossède un unique2-Sylow, qui est donc distingué. Ce2-Sylow étant de cardinal8<56 = #G, c"est un sous-groupe deGstrict non trivial et distingué doncGn"est pas simple. Cela contredit l"hypothèse de symplicité deG. Ainsi, l"hypothèse est absurde et doncGn"est pas simple.

4.Montrer que tout groupe d"ordre56est résoluble. 2pt

SoitGun groupe d"ordre56. Comme précédemment, par les théorèmes de Sylow on obtient n7? {1,8}etn2? {1,7}. En comptant comme avant le nombre d"éléments1, on trouve que le casn7= 8etn2= 7est impossible. On est donc dans un des cas suivants (non

nécessairement disjoints), où l"on rappelle la propriété suivante : un groupeHest résoluble

si et seulement s"il possède un sous-groupe distinguéHavecHetG/Hrésolubles.

Cas 1 :n7

= 1. Le groupeGpossède un unique7-SylowS, qui est donc distingué. De plus, le groupe quotientG/Sest un2-groupe (de cardinal23). Ainsi, les groupesSet G/Ssont desp-groupes, donc résolubles, doncGest résoluble.

Cas 2 :n2

= 1. Même raisonnement où cette foisSest l"unique2-Sylow deGetG/S est un7-groupe.

(On rappelle que le fait qu"unp-groupe est résoluble peut se montrer à partir de la propriété

rappelée ci-avant et du fait que le centre d"unp-groupe est non trivial (cf. question 3 des

Questions de cours).)

Exercice 22pts

SoitGun groupe dans lequel tout élément est d"ordre au plus2. Montrer queGest abélien. Pour toutg?Gon ag2= 1doncg-1=g. Ainsi, pour tousx,y?Gon a xy=x-1y-1 = (yx)-1 =yx,

finalementGest abélien.1. Il faut faire attention ici car avant le groupeGétait supposé simple.

2/5 TSVP→

Exercice 310pts

Le but de cet exercice est de classifier les groupes d"ordre8.

1.Lister les groupes abéliens d"ordre8. 2ptsPar le théorème de structure, tout groupe abélien d"ordre8est isomorphe à une somme

directen? i=1Z/diZ, oùn?N?etdi?N>2avecd1| ··· |dn. On a nécessairement8 =d1···dn, ainsidi|8 Cas 1 :n= 3. L"unique possibilité estd1=d2=d3= 2, et on obtient(Z/2Z)3.

Cas 2 :n

= 2. Puisque8n"est pas un carré le casd1=d2est impossible, doncd1< d2. On a ainsid1= 2puisd2= 4, et on obtient doncZ/2Z×Z/4Z.

Cas 3 :n= 1. On ad1= 8et on obtientZ/8Z.

Finalement, il y a exactement trois groupes abéliens d"ordre8à isomorphisme près : (Z/2Z)3,Z/2Z×Z/4ZetZ/8Z.

SoitGun groupe non abélien d"ordre8.

2. Montrer queGpossède un élémentrd"ordre4et aucun élément d"ordre8.Indication: on pourra utiliser le résultat de l"Exercice 2. 2pts SiGpossède un élément d"ordre8alorsGest cyclique, ce qui contredit l"hypothèse surG. Ainsi,le groupeGne possède aucun élément d"ordre8. Par l"Exercice 2, puisqueG n"est pas abélien il existe un élémentr?Gqui n"est pas d"ordre2. Par le théorème de Lagrange, l"ordre derest donc4ou8, mais ce dernier cas est exclus par ce qui précède doncrest d"ordre4.

3.Montrer que?r?est distingué dansG. 1pt

Le sous-groupe?r?est d"indice2dansGdonc est distingué.

4.Soits?G\ ?r?.

a.Montrer quesrs-1? {r,r-1}. 1pt L"élémentsrs-1a le même ordre quer, de plus il est dans?r?par la question précédente. On conclut car les seuls éléments d"ordre4dans?r?sontretr-1(l"élément r2étant d"ordre2). b.Montrer quesrs-1=r-1. 2pts Montrons tout d"abord queG=?r,s?(le sous-groupe engendré parrets). Puisque s /? ?r?, on a?r,s?!?r?. Puisque?r?est d"indice2dansG, le sous-groupe?r,s?est nécessairement d"indice1dansGi.e.?r,s?=G, comme annoncé. Supposons maintenant quesrs-1=r. On a doncsr=rs, donc puisqueG=?r,s? cela implique queGest commutatif, ce qui est absurde. On a doncsrs-1=r-1. 5. En déduire que siG\ ?r?possède un élément d"ordre2alorsGest isomorphe au groupe diédralD4d"ordre8. 1pt SiGpossède un éléments?G\ ?r?d"ordre2, par ce qui précède on asrs=r-1. Ainsi, le groupeGest engendré par les élémentsretsavecr4=s2= 1etsrs=r-1, donc G?D4.

6.Sit?G\ ?r?n"est pas d"ordre2, montrer quet2=r2. 2pts

Puisque?r? ?Gest (distingué et) d"indice2, le groupe quotientG/?r?est isomorphe à Z/2Z. Si maintenant on notetla classe d"un élémentt?Gmodulo?r?, l"image dansZ/2Z det 2=t

2est nécessairement0(car pour toutx?Z/2Zon a2x= 0). Ainsi, on at2? ?r?.

3/5 TSVP→

Finalement, sit?G\ ?r?n"est pas d"ordre2, puisquet2? ?r?on at2? {r,r2,r-1}. Mais par la question 2 on sait quetn"est pas d"ordre8donct2/? {r,r-1}, ainsi finalement t2=r2. Commentaire : on montre facilement que le groupe suivant, défini par générateurs et relations, H :=?r,t:r4= 1,r2=t2,trt-1=r-1?, appelégroupe des quaternions, est d"ordre8. On a alors montré queG?H.

Exercice 49pts

Soitn>2. Le but de cet exercice est de montrer que tout sous-groupe d"indicendeSnest isomorphe àSn-1. SoitGun sous-groupe deSnd"indicen.

1.Traiter les casn? {2,3}. 1pt

Le groupeS2est de cardinal2donc un sous-groupe d"indice2est trivial donc isomorphe àS1. Le groupeS3est de cardinal6donc un sous-groupe d"indice3est de cardinal2, nécessairement isomorphe àS2?Z/2Z. 2. On rappelle qu"un groupe d"ordre6est soit cyclique soit isomorphe àS3. En déduire le casn= 4.2pts Un sous-groupe d"indice4deS4est de cardinal3! = 6, donc est isomorphe àZ/6Zou

àS3(d"après le rappel de l"énoncé). Or, le groupeS4ne possède aucun élément d"ordre

6(en regardant la décomposition en cycles, on voit que l"ordre d"un élément deS2est1

(élément trivial),2(transpositions et doubles transpositions),3(3-cycles) ou4(4-cycles)) donc nécessairement un sous-groupe d"indice4deS4est isomorphe àS3. On suppose maintenant quen>5. On considère l"action (à gauche) deSnsur les classes à droitesSn/G={σG:σ?Sn}et on noteφ:Sn→S(Sn/G)le morphisme associé. 3. Montrer que l"action est fidèle. (On pourra utiliser sans justification que, puisquen>5, les seuls sous-groupes distingués deSnsontSn,Anet{1}.) 2pts Puisquekerφest un sous-groupe distingué deSnet quen>5, d"après l"indication on a kerφ? {Sn,An,{1}}. Par cardinalité, on en déduit quekerφ= 1(on a bien(n-1)!2). Ainsiφest injective et l"action est donc fidèle.

4.En déduire queφest un isomorphisme. 1pt

Le morphismeφest une injection entre deux ensembles de même cardinal (on a bien |S(Sn/G) =n!puisque|Sn/G|=ncarGest d"indicendansSn) doncφest un surjective et donc un isomorphisme. 5. Montrer queGest le stabilisateur de la classeG?Sn/Get en déduire queGagit sur un ensemble àn-1éléments. 2pts

Pour toutσ?Snon a

σ?StabSn(G)??σG=G

??σ?G doncGest bien le stabilisateur dansSnde la classeG?Sn/G. Ainsi, le groupeGagit sur l"ensemble(Sn/G)\ {G}(le sous-groupeG?Snagissant surSn/Gpar restriction de l"action deSn), qui possède bienn-1éléments.

6.En déduire queG?Sn-1. 1pt

Soitψ:G→S(Sn/G\ {G})l"action précédente. Un élémentσ?Gest danskerψssi σx=xpour toutx?Sn/G\ {G}et donc ssiσx=xpour toutx?Sn/G(puisque

4/5 TSVP→

σ?G=StabSn(G)). Ainsi, pour toutσ?Gon aσ?kerψ??σ?kerφd"oùσ= 1par la question3. Ainsiψest injective et on a donc une injectionG ?→S(Sn/G\{G})?Sn-1, qui est une bijection car|G|=|Sn-1|= (n-1)!. 5/5quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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