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Comment comprendre l'algèbre facilement ?
Selon l'historien Ahmed Djebbar, l'acte de naissance officiel de l'alg?re en tant que discipline vient avec le savant perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850). Dans un premier ouvrage, il expose le système décimal et les règles du calcul indien.Qui est le père fondateur de l'algèbre ?
Les conseils de base pour débuter en alg?re
1Les opérations simples ne doivent pas vous poser de problème. 2Connaître les règles de priorité de calculs : parenthèses, crochets, puissances, multiplication, division et soustraction.3Il est important d'organiser vos calculs pour ne pas vous perdre.Comment s'améliorer en algèbre ?
C'est ainsi qu'Al-Khwarizmi a créé de nouvelles façons de résoudre les problèmes mathématiques. L'un des livres qu'il a écrits explique le système de solutions de problème mathématique, que l'on appelle aujourd'hui l'alg?re.
Pierre COLMEZ
ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET
D"ALGÈBRE
Pierre COLMEZ
C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET D"ALGÈBRE
Pierre COLMEZ
SYNOPSIS
Introduction...................................................................... 1 Vocabulaire Mathématique..................................................... 9 I. Représentations des groupes finis...........................................245 II. Espaces de Banach...........................................................283 III. Intégration..................................................................315 IV. Transformée de Fourier.....................................................351 V. Fonctions holomorphes......................................................377 VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy).................403 VII. Séries de Dirichlet.........................................................427 A. Le théorème des nombres premiers........................................459 B. Volume deSLn(R)=SLn(Z)...................................................481 C. Groupes finis et représentations : exemples...............................497 D. Fonctions d"une variablep-adique..........................................513 E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1)....................................531 F. Le problème des nombres congruents......................................541 G. Introduction au programme de Langlands................................559 H. Problèmes corrigés...........................................................595TABLE DES MATIÈRES
Introduction....................................................................................... 1
Vocabulaire Mathématique...................................................................... 91. Grammaire élémentaire........................................................................ 10
2. Structures algébriques......................................................................... 17
3. Groupes finis................................................................................... 40
4. Polynômes..................................................................................... 51
5. Algèbre linéaire................................................................................ 65
6. Déterminants.................................................................................. 76
7. Matrices ...................................................................................... 79
8. Fragments de théorie des corps (commutatifs)................................................. 94
9. Systèmes d"équations..........................................................................106
10. Réduction des endomorphismes...............................................................116
11. Topologie.....................................................................................135
12. Compacité....................................................................................146
13. Connexité.....................................................................................155
14. Complétude...................................................................................159
15. Séries numériques.............................................................................164
16. Convergence de fonctions.....................................................................174
17. Espaces vectoriels normés.....................................................................176
18. Espaces préhilbertiens........................................................................181
19. Tératologie...................................................................................193
20. Construction de nombres.....................................................................200
21. Corrigé des exercices..........................................................................212
I. Représentations des groupes finis............................................................245
I.1. Représentations et caractères.................................................................247
I.2. Décomposition des représentations...........................................................254
I.3. Construction de représentations..............................................................270
II. Espaces de Banach............................................................................283 II.1. Espaces de Banach..........................................................................283II.2. Espaces de Hilbert...........................................................................299
II.3. Exercices....................................................................................307
TABLE DES MATIÈRESvii
II.4. Espaces de Banachp-adiques................................................................310III. Intégration....................................................................................315
III.1. Intégrale de Lebesgue.......................................................................315
III.2. Quelques espaces fonctionnels..............................................................329
III.3. Intégrales multiples.........................................................................335
III.4. Construction de l"intégrale de Lebesgue....................................................343
IV. Transformée de Fourier.....................................................................351
IV.1. Intégrales dépendant d"un paramètre.......................................................351
IV.2. Transformée de Fourier dansL1............................................................354
IV.3. Formules d"inversion........................................................................359
IV.4. Transformée de Fourier dansL2............................................................370
V. Fonctions holomorphes.......................................................................377 V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes..................................377 V.2. Exemples de fonctions holomorphes.........................................................383V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes.............................................385
V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences.........................................389
V.5. Construction de fonctions holomorphes......................................................396V.6. Inversion globale et image ouverte...........................................................400
VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy).................................403 VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy..................................................403VI.2. Indice d"un lacet par rapport à un point....................................................410
VI.3. La formule des résidus de Cauchy...........................................................416
VII. Séries de Dirichlet..........................................................................427
VII.1. Séries de Dirichlet.........................................................................427
VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin................................................431
VII.3. La fonction zêta de Riemann..............................................................437
VII.4. FonctionsLde Dirichlet...................................................................444 VII.5. Autres exemples...........................................................................451 VII.6. Formes modulaires.........................................................................452A. Le théorème des nombres premiers.........................................................459
A.1. Introduction.................................................................................459
A.2. Les fonctions et 1........................................................................463A.3. Formules explicites..........................................................................466
A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers..........................................474
A.5. Compléments................................................................................477
B. Volume deSLn(R)=SLn(Z)...................................................................481B.1. Volume d"objets arithmétiques...............................................................481
B.2. La mesure de Haar deSLn(R)..............................................................491 C. Groupes finis et représentations : exemples...............................................497 C.1. p-Groupes...................................................................................497C.2. Représentations du groupe symétriqueSn...................................................499
viiiTABLE DES MATIÈRES C.3. Représentations deGL2(F).................................................................503 D. Fonctions d"une variablep-adique...........................................................513D.1. Analyses fonctionnelles réelle etp-adique....................................................513
D.2. Fonctionsk-fois uniformément dérivables....................................................515
D.3. Fonctions localement analytiques surZp.....................................................519D.4. La fonction zêtap-adique....................................................................523
E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1).....................................................531
E.1. Indépendance linéaire de nombres réels......................................................531
E.2. Transcendance deet indépendance linéaire des(n).......................................533 F. Le problème des nombres congruents.......................................................541 F.1. Courbes elliptiques et nombres congruents...................................................541F.2. Équations diophantiennes....................................................................551
G. Introduction au programme de Langlands.................................................559G.1. La conjecture d"Artin........................................................................561
G.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité...................................................572
G.3. Le programme de Langlands................................................................588H. Problèmes corrigés...........................................................................595
H.1. Exercices d"examen..........................................................................596H.2. Table des caractères deA5..................................................................610
H.3. Représentations deGL2(F3)................................................................616H.4. Table des caractères deGL3(F2)............................................................621
H.5. Coefficients de Fourier des fonctions continues...............................................629
H.6. Fonctions d"Hermite et transformée de Fourier dansL2......................................631
H.7. Transformée de Fourier et convolution.......................................................635
H.8. Loi d"addition sur une courbe elliptique.....................................................639
H.9. Coefficients de Fourier des fonctions analytiques.............................................645
H.10. Prolongement analytique d"intégrales et de séries...........................................647
H.11. La fonctionde Dedekind.................................................................654H.12. Irrationalité de(3)........................................................................665
H.13. Le critère de Borel.........................................................................670
H.14. Le théorème de Mordell-Weil...............................................................673
TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE
Introduction.................................................................................................. 1
Bibliographie sommaire.................................................................................. 3
Préface de la seconde édition............................................................................. 5
Notations standard....................................................................................... 7
Vocabulaire Mathématique................................................................................. 9
1. Grammaire élémentaire................................................................................... 10
1.1. Coefficients binomiaux............................................................................... 11
1.2. L"anneauZdes entiers relatifs....................................................................... 11
1.3. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste....................................... 14
1.4. Ensembles dénombrables............................................................................ 15
2. Structures algébriques.................................................................................... 17
2.1. Lois de composition................................................................................. 17
2.2. Exemples de structures algébriques.................................................................. 18
2.3. Sous-trucs de trucs.................................................................................. 22
2.4. Morphismes.......................................................................................... 23
2.5. Noyau et image...................................................................................... 25
2.6. Produits et sommes.................................................................................. 26
2.7. Relations d"équivalence.............................................................................. 28
2.8. L"anneauZ=DZdes entiers relatifs moduloD....................................................... 31
2.9. Quotients d"espaces vectoriels et deA-modules..................................................... 34
2.10. Anneaux quotients, idéaux......................................................................... 35
2.11. Groupes quotients.................................................................................. 37
3. Groupes finis............................................................................................. 40
3.1. Groupes cycliques................................................................................... 40
3.2. Groupes abéliens finis............................................................................... 43
3.3. Le théorème de Lagrange et ses variantes........................................................... 44
3.4. Le groupe symétriqueSn............................................................................ 45
3.5. Les théorèmes de Sylow............................................................................. 50
4. Polynômes................................................................................................ 51
4.1. Polynômes en une variable.......................................................................... 51
4.2. Anneaux euclidiens et principaux................................................................... 54
4.3. Polynômes en plusieurs variables.................................................................... 60
4.4. Polynômes symétriques.............................................................................. 62
4.5. Anneaux noethériens................................................................................ 63
5. Algèbre linéaire........................................................................................... 65
xTABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE5.1. Espaces vectoriels.................................................................................... 65
5.2. Morphismes d"espaces vectoriels..................................................................... 66
5.3. Familles libres, familles génératrices, bases.......................................................... 68
5.4. Espaces vectoriels de dimension finie................................................................ 70
5.5. Dualité............................................................................................... 74
6. Déterminants............................................................................................. 76
6.1. Formes multilinéaires alternées...................................................................... 76
6.2. Déterminant denvecteurs.......................................................................... 77
6.3. Déterminant d"un endomorphisme................................................................... 78
7. Matrices ................................................................................................. 79
7.1. Matrices à coefficients dans un corps................................................................ 79
7.2. Produit de matrices................................................................................. 80
7.3. Le théorème fondamental de l"algèbre linéaire....................................................... 80
7.4. Matrice d"une application linéaire................................................................... 81
7.5. Matrices carrées..................................................................................... 83
7.6. Déterminant d"une matrice carrée................................................................... 84
7.7. Matrices à coefficients dans un anneau.............................................................. 88
7.8. Matrices par blocs................................................................................... 92
8. Fragments de théorie des corps (commutatifs)........................................................... 94
8.1. Sous-extensions finies................................................................................ 94
8.2. Algébricité, transcendance........................................................................... 96
8.3. Extensions algébriques, clôture intégrale............................................................ 97
8.4. Constructions à la règle et au compas............................................................... 99
8.5. Degré de transcendance.............................................................................100
8.6. Constructions d"extensions algébriques..............................................................101
8.7. Corps finis...........................................................................................103
8.8. La clôture algébrique d"un corps....................................................................104
9. Systèmes d"équations.....................................................................................106
9.1. Systèmes linéaires...................................................................................106
9.2. Systèmes d"équations polynomiales..................................................................110
10. Réduction des endomorphismes.........................................................................116
10.1. Généralités.........................................................................................116
10.2. Modules de torsion surK[X]et réduction des endomorphismes....................................119
10.3. Modules de torsion sur les anneaux principaux....................................................125
10.4. Modules sur les anneaux principaux................................................................127
10.5. Extension des scalaires.............................................................................131
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