[PDF] Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

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Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (moyenne arithmétique),g=pxy(moyenne géométrique) et 1h =12 (1x +1y )(moyenne harmonique). Montrer quex6h6g6m6y. qu"avec les deux opérations+et) que pourn2N,(1+1n )n<3.

Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn

ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12

Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a

1+:::+1a

n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k:

(Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances

décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat

de l"exercice 4 inférieur ou égal à 14 1

2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).

3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap;

oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen

fonction den. 2. 1. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 1 et n? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 0 et n? entre 0 etx? 3.

Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0

etx? 4.

Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?

5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7.

(***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle

de couples solutions ? ) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn). (n+2E(n25 ))) =E(8n+2425 1. Montrer qu"il e xiste(an;bn)2(N)2tel que(2+p3)n=an+bnp3, puis que 3b2n=a2n1. 2. Montrer que E((2+p3)n)est un entier impair (penser à(2p3)n)). 2 ) =E(x).

Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24

(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a déjà x=x+x2 6x+y2 =m6y+y2 =yet doncx6m6y. (on peut aussi écrire :mx=x+y2 x=yx2 >0). 2.

On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.

3.mg=x+y2

pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4.

D"après 1), la mo yennearithmétique de

1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C.

On se sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm. Onaccolledeuxsegmentsdelongueursrespectivesxety. Onconstruitalorsuntrianglerectangled"hypothénuse

ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur

(BC)vérifiantBA0=xetCA0=y.x+ym g x y A

B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2

, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA

0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4

Pourn2N,(1+1n

)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12

12n<12

Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612

uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1:

En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,

(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j!

16i;j6na

ia j=nå i=1a ia i+å

16i j+aja i) =n+å

16i j+aja i)

Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x

.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x

2=(x1)(x+1)x

2.f

est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en

1. Par suite,

8x>0;f(x)>f(1) =1+11

=2:

(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :

12 (x+1x )>rx:1x =1:)quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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