[PDF] Exercice I On se propose d'étudier

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Les deux exercices qui suivent sont indépendants et peuvent donc être abordés dans un ordre laissé

au libre choix du candidat. Chaque exercice est lui-même divisé en deux parties pouvant être traitées

indépendamment, à l"exception de la question numéro 14 du deuxième exercice. Dans l"ensemble du

sujet, pour répondre à une question, le candidat pourra admettre les résultats des questions précédentes,

du moment qu"il l"aura clairement indiqué.

Il est demandé de soigneusement numéroter les questions. Il sera fait grand cas lors de la correction

de la clarté, de la concision et de la précision de la rédaction.

Exercice I

Soitn>1un entier. On se propose d"étudier deux façons de résoudre l"équation Ax=b enx2Rn, oùA2 Mn(R)est une matrice carrée ànlignes etb2Rnest un vecteur (colonne).

On noteInla matrice identité deMn(R).

(A) Première méthode : résolution du système par pivot de Gauss 1.

On supp osedans cette question n= 3,

A=A1=0

B @5 11 2 42 11 31 C

Aetb=b1=0

B @0 2 21
C A: Résoudre l"équationAx=bpar la méthode du pivot de Gauss. 2.

On supp osedans cette question que n= 2

A=A2= 1 1 1 1! etb=b2= 1 1! Déterminer et représenter graphiquement l"ensemble desx2R2tels queAx=b. (B) Deuxième méthode : résolution approchée par une méthode itérative

Étant donnéx02Rnet(k)k2Nune suite de réels, on définit la suite(xk)k2N(à valeurs dansRn)

par

8k2N; xk+1=xkktA(Axkb);

où tAdésigne la transposée deA. 3. On supp osequ"il existe au moin sun v ecteurx?2Rntel queAx?=b, et l"on pose pour tout entierk,yk=xkx?. Pour tout entierk, trouver une matriceMktelle queyk+1=Mkyk. 1

On suppose dans les questions 4 à 10 quen= 2et

A=A3= 1 1 0 1! Pour toute suite(uk)k2Nà valeurs dansR2, on dit que (uk)k2N= u(1) k u(2) k! k2Nconverge vers`= 1 2! 2R2 si(u(1) k)k2Nconverge vers`1et(u(2) k)k2Nconverge vers`2. 4. La matrice A3est-elle inversible? Est-elle diagonalisable? 5. On p oseC3=tA3A3. Montrer que l"ensemble des valeurs propres deC3peut s"écriref;g, avec0< <1< <3. 6.

P ourc hacunedes v aleurspropre sde C3, trouver un vecteur propre associé qui s"écrivent sous la

forme u v! avecu2+v2= 1. 7. Déterminer un coup lede matrices (P;D)2 M2(R) M2(R)tel que C

3=tPDPavectPP=I2; D=

0 0! 8.

On note

z k= s k t k! =Pyk;

oùPest la matrice introduite à la question 7, et(yk)k2Nest la suite définie à la question 3.

Montrer que pour tout entierk,zk+1= (I2kD)zk.

9. On supp ose,dans cette question seulemen t,que la suite (k)k2Nest constante égale à >0. Déterminer l"ensembleDdes valeurs detelles que la suite(zk)k2Nconverge. Pour tout2 D, quelle est la limite de la suite(xk)k2N? 10. On supp ose,dans cette question seulemen t,que 0= 0et pour toutk>1,k=13 kavec >0. (a) Mon trerque p ourtout >0, la suite(zk)k2Nconverge lorsquektend vers l"infini. (b) Discuter, en fonction de la v aleurde , la convergence de la sérieP k>1ln(1ck)où c2]0;1[est une constante quelconque. (c) En déduire la limite de la su ite(zk)k2Nen fonction de la valeur de. (d) Si l"on calcule la suite (xk)k2Nen vue de résoudre l"équationAx=b, quelle suite(k)k2N conseilleriez-vous parmi les suites de la formek= >0etk=13 kavec >0? 2 On considère pour finir le casn= 2,A=A2etb=b2comme à la question 2. 11. Si k== 1=5pour tout entierk, montrer que la suite(xk)k2Nconverge vers un vecteurx2R2 tel queAx=b. Indication:adapter le raisonnement des questions 4 à 9 en remplaçantA3parA2.

Commentxdépend-il dex0?

3

Exercice II

(A) Loi de la partie fractionnaire d"une variable aléatoire SoitXune variable aléatoire admettant la fonctionf:R!R, dérivable surRet de dérivée continue par morceaux, comme densité. On suppose quefest telle quejf0jest intégrable surR. Pour tout entiernpositif ou nul, on définitfn:]0;+1[!Rpar la relation f n(x) =xnexp(x)n!; oùn! = 12net où par convention0! = 1. On rappelle l"équivalent de Stirling : quandntend vers l"infini, n!ne np2n :

On rappelle que la fonction de répartition deXest la fonction qui à tout nombre réeltassocieP(X6t).

1. Quelle est la fonction de répartition d"une v ariableuniforme sur [0;1[? 2. Mon trerque f0etf1sont des densités de probabilité, puis que pour tout entiernpositif ou nul, f nest une densité de probabilité. 3. S"il existe un réel atel quefsoit croissante sur] 1;a]et décroissante sur[a;+1[, exprimerR

Rjf0(x)jdxà l"aide def(a).

Indication : on pourra préalablement démontrer quef(x)tend vers0quandxtend vers+1. 4. Soit gune fonction dérivable définie sur[0;1[telle queg(0) =g(1) = 0, et telle qu"il existe un nombre réelCtel que pour toutx2[0;1[,jg0(x)j6C. Montrer :

8t2[0;1[;jg(t)j6C2

Pour tout réelx, on notebxcsa partie entière (c"est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal àx)

etfrac(x)2[0;1[sa partie fractionnaire, de sorte quex=bxc+ frac(x). Par exemple,b12;34c= 12et frac(12;34) = 0;34. 5.

Mon trerque p ourtout t2[0;1[:

P(frac(X)6t) =X

k2ZP(k6X6k+t): 6.

En déduire que p ourtout t2[0;1[:

P(frac(X)6t)t=X

k2Zg k(t); 4 oùgk: [0;1[!Rest la fonction définie par : g k(t) =Z k+t k f(x)dxtZ k+1 k f(x)dx : 7. Mon trerque gkest dérivable sur[0;1[, puis que :

8t2[0;1[;jg0k(t)j6Z

k+1 k jf0(x)jdx 8.

En déduire que :

sup t2[0;1]jP(frac(X)6t)tj612 Z R jf0(x)jdx : 9. P ourtout en tiernpositif ou nul, soitZnune variable aléatoire de densitéfn. Montrer que : sup t2[0;1]jP(frac(Zn)6t)tj !0 quandntend vers l"infini. (B) Loi de Benford Dans cette section, on notelog10la fonction définie surR+définie par la relationlog10(x) =

ln(x)=ln(10). On a donc pour tous réelsaetbstrictement positifs les relationslog10(ab) = log10(a) +

log

10(b)etlog10(10a) =a. On appelleloi de Benfordla loi de probabilité sur l"ensembleRdont la

fonction de répartition coïncide, sur l"intervalle[1;10[, avec la fonctionlog10. 10. Si Xest une variable aléatoire suivant la loi de Benford et siF=bXcest sa partie entière (la partie entière est définie juste avant la question 5 de la partie A), montrer que : P

F= 1=PF2 f2;3g=PF2 f5;6;7;8;9g:

11. Si Xest une variable aléatoire suivant la loi de Benford, quelle est la loi delog10(X)? Indication : on pourra penser à calculer sa fonction de répartition.

On appellemantissed"un réel strictement positifxl"unique réelM(x)appartenant à l"intervalle[1;10[

tel qu"il existe un entier relatifkpour lequel on puisse écrirex=M(x)10k. Par exemple,M(123) =

1;23etM(0;25) = 2;5.

12. Soit kun entier strictement positif. SiXest une variable aléatoire de loi uniforme sur]1;10k[, quelle est la loi deM(X)? 13.

On rapp elleque frac(x), défini juste avant la question 5, désigne la partie fractionnaire d"un

réelx. Montrer que pour toute variable aléatoire strictement positiveXon a :

P(M(X)6x) =P(frac(log10(X))6log10(x)):

5

14.P ourt outen tiernpositif ou nul, soitYn= 10Zn, oùZnest une variable aléatoire de densitéfn

(fonction définie au début de la partie A). Montrer que : sup t2[1;10]

PM(Yn)6tlog10(t)!0

quandntend vers l"infini. 15. Soit Yune variable aléatoire réelle strictement positive telle queM(Y)suit la loi de Benford. Montrer que pour tout réelcstrictement positif,M(cY)suit également la loi de Benford. 6quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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