Chapitre 1.2b – La dynamique du mouvement harmonique simple
Note de cours rédigée par : Simon Vézina Le pendule simple est constitué d'une masse m attachée à une corde tendue de longueur L et de masse.
Objectif général de lexpérience 1 Introduction
Cette expérience est liée aux chapitres suivants du cours de Physique Générale: Les équations du mouvement du pendule simple et du pendule physique ont ...
Cours de mécanique - M13-Oscillateurs
à deux dimensions le pendule simple. Cela permettra l'introduction de la base de projection polaire. 2 Système solide-ressort horizontal sans frottement.
ETUDE DUN PENDULE SIMPLE
varie au cours du temps: (t). •. varie entre deux valeurs extrêmes – m et m où m est l'amplitude des oscillations. La période propre T0 du pendule
PROF :Zakaryae Chriki Matière: Physique Résumé N:17 Niveaux
Le mouvement du pendule pesant est un mouvement de rotation oscillatoire Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil ...
pendule simple. 1. Étude énergétique. 1.1. Le système étudié est la
+ m.g.L.(1 – cos ? ). Les frottements sont négligés dans cette étude donc l'énergie mécanique se conserve au cours du mouvement du pendule. 1.3.
TS pendule simple oscillations période vi
- L'énergie mécanique EM ne se conserve pas : elle diminue au cours du temps. aucun frottement frottements faibles frottements importants régime périodique.
PROF :Zakaryae Chriki Matière: Physique Résumé N:17 Niveaux
Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil Em est constante et il y a une échange d'énergie au cours des oscillations.
Etude du pendule simple
La résolution de l'équation différentielle du mouvement du pendule simple n'est étudiée ordinairement que dans le cas de petites oscillations car la résolu-.
M4 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
Cf Cours. I.2 Définition. ? Définition : Un oscillateur harmonique `a un degré de liberté Cf. Poly : dans le cas du pendule simple la modélisation de ...
[PDF] Pendules mecaniquespdf - UniNE
La nature ponctuelle du pendule simple permet de décrire son mouvement par la 2ème loi de Newton de la dynamique Pour le pendule physique le volume fini
[PDF] Etude du pendule simple
Le pendule simple est constitué par un point matériel suspendu à l'extré- mité d'un fil (ou une tige théoriquement sans masse) astreint à se mouvoir sans
[PDF] La dynamique du mouvement harmonique simple : le pendule simple
Note de cours rédigée par : Simon Vézina Le pendule simple est constitué d'une masse m attachée à une corde tendue de longueur L et de masse
[PDF] le pendule simple
On s'intéresse dans ce texte au mouvement d'un pendule simple On considère ainsi une bille de masse m assimilée à un point matériel reliée à un fil rigide
[PDF] ETUDE DUN PENDULE SIMPLE
C'est un pendule pesant idéal: une masse m (de petites dimensions) accrochée à un point fixe par un fil inextensible de masse négligeable et de longueur L Si
[PDF] Oscillateurs Mécaniques :Pendule ppPesant - Chimie Physique
Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil Em est constante et il y a une échange d'énergie au cours des oscillations
[PDF] Cours de mécanique - M13-Oscillateurs - Physagreg
à deux dimensions le pendule simple Cela permettra l'introduction de la base de projection polaire 2 Système solide-ressort horizontal sans frottement
[PDF] pendule simple - 9alami
PENDULE DE TORSION PENDULE PESANT Un pendule pesant est un solide mobile autour d'un axe D ne passant pas par son centre d'inertie PENDULE SIMPLE
[PDF] II – Lois du pendule simple 1- Loi disochronisme des petites
Rappel du cours Introduction : Que suis-je ? • Il a permis à HUYGENS de concevoir la première horloge en 1657 • Il a permis à RICHER de montrer en 1671
Quels sont les 4 lois du pendule simple ?
le théorème de l'énergie mécanique 2. le principe fondamental de la dynamique 3. le théorème du moment cinétique Méthode 1 : le théorème de l'énergie mécanique L'énergie cinétique du pendule simple.Quel est le principe du pendule simple ?
Un pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil inextensible ou d'une tige rigide, tous deux de masse nulle. Au contraire, le pendule physique tient compte de la répartition spatiale de la masse du corps suspendu.Comment calculer un pendule ?
La période dépend de la longueur l du pendule et de l'intensité de la pesanteur g. [T] = k x [l]a x [g]b (1) (équation aux dimensions). [l] est homogène à une longueur L et [g] est homogène à une accélération, c'est-à-dire à une longueur par temps au carré : [g] = L x T-2.On peut établir l'équation différentielle du mouvement de trois façons différentes:
1par l'application du Principe Fondamental de la Dynamique, on trouve: T ? + P ? = m ? ?2par la conservation de l'énergie en exprimant : U ( ? ) ? U ( 0 ) = m g l ( 1 ? cos ? T ( ? ) = 1 2 mv 2 = 1 2 m l 2 ? ? 2.
Cours de mécanique
M13-Oscillateurs
1 IntroductionNous étudierons dans ce chapitre en premier lieu l"oscillateur harmonique solide-ressort
horizontale, nous introduirons donc la force de rappel du ressort et nous découvrirons l"équation
différentielle de l"oscillateur harmonique et sa solution. L"oscillateur solide-ressort vertical sera ensuite abordé : tout d"abord, ce sera l"occasion deretrouver l"équation différentielle de l"oscillateur harmonique, puis nous introduirons des frotte-
ments fluides pour voir le comportement du système. Enfin, nous aborderons un oscillateur à deux dimensions, le pendule simple. Cela permettra l"introduction de la base de projection polaire.2 Système solide-ressort horizontal sans frottement
2.1 Problème 4
Soit un point M de massemaccroché à l"extrémité d"un ressort horizontal sans masse. Le point M se déplace sans frottement sur le plan horizontal. At= 0, on écarte ce point de sa position d"équilibre d"une grandeurxmpuis on le lâche sans vitesse initiale. Quel est son mouvement, quels sont ses caractéristiques?2.2 Système
Le point M de massem.
2.3 Référentiel et base de projection
Référentiel lié au plan horizontal sur lequel se déplace le point M, référentiel terrestre
considéré comme galiléen. On prendra une base cartésienne à une dimension : un axe Ox horizontal permettra de repérer le point M.2.4 Bilan des forces
Le point M est soumis :
à son p oids-→P, force verticale vers le bas;à la réaction-→Rdu support, réaction verticale vers le haut car il n"y a pas de frottement
avec le plan horizontal. à la force de rapp eldu ressort ----→Frappel, force horizontale.Cette force est proportionnelle à l"allongement du ressort et à une constante qui caractérise
sa raideur et qui s"exprime enN.m-1. F rappel=k×allongement(1) 1Mécanique M13-Oscillateurs 2.5 PFD
L"allongement du ressort à un instanttest défini par :allongement =?-?0(2)Si?est la longueur du ressort à l"instanttet?0sa longueur à vide c"est à dire au repos.
Observons deux situations pour connaître l"expression vectorielle de la force de rappel du ressort : Ici, l"origine de l"axe des abscisse coïncide avec la longueur à vide du ressort. Ainsi, l"allongement du ressort est égal à l"abscissex: x=?-?0(3) 1. si le ressort est comprimé, l"allongement est négatif, la force-→Fest dirigé dans le sens de l"axe Ox donc : -→F=-k(?-?0)-→ex=-kx-→ex 2. si le ressort est étiré, l"allongement est positif, mais la force-→Fest dirigé dans le sens inverse de l"axe-→ex, donc : ex? 0O1 x <0?P-→
R-→
FO2x >0?
P-→
R-→
FFigure1 - Forces s"exerçant sur la
masse accrochée au ressort horizontalA retenirLa force de rappel d"un ressort s"écrit :
quel que soit l"état du ressort.2.5 2ème Loi de Newton : obtention de l"équation différentielle
Appliquons la deuxième loi de Newton puis projetons-la sur la base de projection choisie : projection suivant Ox=? -kx=m¨x(6) ??¨x+km x= 0(7)2.6 Solution de l"équation différentielle : oscillations harmoniques et carac-
téristiques2.6.1 Notion de pulsation
L"équation différentielle précédente s"écrit généralement de la manière suivante :
¨x+ω20x= 0(8)
avecω0nommée pulsation propre. 2Mécanique M13-Oscillateurs 2.6 Solution
2.6.2 Expression de la solution
Mathématiquement, cette équation a pour solution une fonction sinusoïdale :x(t) =Acos(ω0t+φ)(9)oùAetφsont des constantes déterminées à partir des conditions initiale.Aest appelé amplitude
et s"exprime en mètre (m) etφphase à l"origine exprimée en radian (rad).Utilisation des conditions initiales
A t= 0,x(t= 0) =xm=?Acosφ=xm
On a : v(t) =-ω0Asin(ω0t+φ)
Alors àt= 0,v(t= 0) =-ω0Asin(φ) = 0.
Aetω0ne peuvent être nuls doncsinφ= 0 =?φ= 0 [π].Et finalementA=xm.
La solution s"écrit donc :
x(t) =xmcosω0t2.6.3 Allure de la solutionLes oscillations du point M sont sinusoïdales
d"amplitudexmet de période propre : T0=2πω
0= 2π?m
k L"oscillateur est qualifié d"harmonique car ses oscillations sont d"amplitude constante, et de période propreégalement constante dont la valeurne dépend que des caractéristiques du système solide-ressort.tx T 0x m-xmFigure2 - Oscillations harmoniquesA retenir L"équation différentielle de l"oscillateur harmonique a pour expression :¨x+ω20x= 0avecω20=km
Les oscillations ont pour expression :
x(t) =xmcos(ω0t) =xmcos?2πT 0t? avecT0= 2π?m k 3 Mécanique M13-Oscillateurs 3. Système solide-ressort vertical sans frottement3 Système solide-ressort vertical sans frottement
Problème 5Soit un point M de massemaccroché à l"extrémité d"un ressort vertical sans masse. At= 0,
on écarte ce point de sa position d"équilibre d"une grandeurxmpuis on le lâche sans vitesse initiale. Quel est son mouvement, quels sont ses caractéristiques?3.1 Résolution
Le système est toujours le point M de massem, le référentiel toujours terrestre et galiléen
et le bilan des forces est identique. On choisira aussi une base cartésienne à une dimension, un axe Ox, vertical descendant.Ici, l"origine de l"axe des abscisses ne
coïncide pas avec la longueur à vide du ressort : x=?-?éq(10)La force de tension s"écrit toujours :
F=-k(?-?0)-→ex(11)
elle n"est pas nulle à l"équilibre.O xx(t)l 0léq-→
P-→
Féql(t)-→
P-→
FFigure3 - Oscillations d"une masse suspendue
à un ressort vertical
PFD appliqué à la masse et projeté sur l"axe Ox : m¨x=mg-k(?-?0)(12) ??m¨x=mg-k(x+?éq-?0)(13) ??m¨x=mg-kx-k(?éq-?0)(14)Or à l"équilibre :
mg-k(?éq-?0) = 0(15)Donc (
14 ) devient : m¨x=-kx??¨x+km x= 0(16) On retrouve donc la même équation que celle obtenue pour le ressort horizontal, la solution sera identique ... On peut reprendre à ce niveau tout le paragraphe 2.64 Pendule simple
4.1 Problème 6
Un enfant, assimilé à un point matériel M de massem, est assis sur une balançoire. Lescordes de la balançoire sont inextensibles, de longueur?et n"ont pas de masse. Un adulte écarte
d"un petit angle l"enfant de sa position d"équilibre puis la lâche sans vitesse initiale. On néglige
tous les frottements. Quel est le mouvement de l"enfant? les caractéristiques de celui-ci? 4Mécanique M13-Oscillateurs 4.2 Système
4.2 Système
L"enfant de massem.
4.3 Référentiel et base
4.3.1 RéférentielOn choisira un référentiel lié à un observateur posé, par exemple, sur le support de la
balançoire. C"est un référentiel terrestre supposé galiléen le temps du mouvement de l"enfant.
4.3.2 Base : présentation de la base polaire
Lorsque l"on a à faire à un mouvement de rotation autour d"un axe fixe, par exemple lorsque le solide en mouvement peut être repéré facilement par un angle ; l"utilisation de labase polaire (2D)est judicieuse. Cette base est une basemobilecomposée de deux vec- teurs perpendiculaires entre eux :un vecteur unitaire-→urcolinéaire et dirigé suivant--→OM; on l"appelle vecteur radial.
un vecteur unitaire-→uθperpendiculaire au vecteur--→OMet dirigé comme l"angleθ, de l"axe Ox vers
l"axe Oy; on l"appelle vecteur orthoradial. On repère alors le point M par une longueur, ici?, et par un angleθ.θOy uyx-→ ux? M ur-→ uθFigure4 - Pendule simple et base polaire Liens entre la base polaire et la base cartésienne à deux dimensionsComme le montre les pointillés sur la figure
4.3.2 , il est facile de passer de la base polaire à la base cartésienne et inversement : x=?cosθ y=?sinθ(17) ?=?x2+y2tanθ=yx
(18)De la même manière, les vecteurs unitaires (-→ur;-→uθ) peuvent s"exprimer en fonction des
vecteurs unitaires de la base cartésienne (-→ux;-→uy) : ur= cosθ-→ux+ sinθ-→uy-→uθ=-sinθ-→ux+ cosθ-→uy(19) 5 Mécanique M13-Oscillateurs 4.4 Bilan des forcesPosition, vitesse, accélération en base polaireLa difficulté par rapport au travail avec une base cartésienne est que les vecteur de la base
polaire sont mobiles, ils sont donc une dérivée par rapport au temps qui est non nulle.V ecteurp osition: --→OM=?-→ur(20)
V ecteurvitesse :
Regardons ce que vaut
d-→urdt: dOr d"après la relation
19 d -→urdθ=-sinθ-→ux+ cosθ-→uy=-→uθ(23)Donc :
d-→urdt=θ-→uθ(24) Et :Remarque
La grandeurdθdt=θpourra être notéeωet être appelée vitesse angulaire.V ecteuraccélération :
-→a=dvdt=d2--→OMdt2(26) On procède de la même manière que pour le vecteur vitesse pour obtenir : a= (¨?-?θ2)-→ur+ (2?θ+?¨θ)-→uθ(27)4.4 Bilan des forces
Sur le point M s"exerce deux forces :
son p oids-→P, force verticale vers le bas; la tension du fil-→T, force colinéaire au fil et dirigée vers l"axe de rotation.θO MP-→
T-→
ur-→ uθFigure5 - Forces s"exerçant sur le pendule simple 6 Mécanique M13-Oscillateurs 4.5 Deuxième loi de Newton4.5 Deuxième loi de Newton
On applique le PFD au point M, on le projette sur la base polaire ( -→ur,-→uθ) :4.6 Equation différentielle du mouvement
Mais le fil est inextensible :
?= 0, d"où : ?Sur-→ur:mgcosθ-T=-m?θ2 Sur-→uθ:-mgsinθ=m?¨θ(29)La première équation est celle qui décrit le mouvement de l"enfant, la deuxième donne la
tension du fil en fonction de l"angleθ. Enfin, on se place dans l"approximation des petites angles,θest petit etsinθ?θ. Alors :θ+g?
θ= 0(30)
4.7 Solution
L"équation obtenue précédemment ressemble étrangement à celle du pendule élastique. La
solution s"écrit : 0=?g ?(31) avecθmetφdes constantes déterminées grâce aux conditions initiales. L"enfant oscille donc indéfiniment (pas de frottement) à la période : T0= 2π??
g(32)Le pendule simple est un oscillateur harmonique.
5 Système solide-ressort avec frottements fluides
5.1 Problème 7
On reprend l"exemple des oscillateurs précédents : système masse-ressort horizontal ou vertical, ou balançoire. Mais cette fois-ci, des frottements fluides viennent freiner le point M dans son mouvement. Comment ce mouvement est-il modifié? quelles sont ces nouvelles caractéristiques?5.2 Equation différentielle
La masse accrochée au ressort est maintenant soumise en plus des forces déjà évoquées à
une force de frottement fluide d"expression-→f=-α-→v(lekest déjà pris, nous sommes dans le
cas de petites vitesses donc de frottements linéaires). L"équation différentielle (issue du PFD
7quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] équation différentielle pendule simple avec frottement
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