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ALGORITHME SECONDE Exercice 5.1 Ecrire un algorithme qui

Exercice 5.1. Ecrire un algorithme qui demande à l'utilisateur un nombre compris entre 1 et 3 jusqu'à ce que la réponse convienne. corrigé - retour au cours.



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  • Comment corriger un algorithme ?

    Pour s'assurer qu'un algorithme est correct, il faut démontrer deux choses: il faut démontrer que l'algorithme se termine (terminaison), autrement dit qu'il ne boucle pas ou ne diverge pas, produisant au moins un résultat et que le résultat de l'algorithme est effectivement de la forme énoncée par la spécification (

  • Comment apprendre l'algorithme facilement ?

    Préoccupez-vous d'abord du fond puis de la forme du problème. Concentrez-vous uniquement sur le problème donné et ne pas vous préoccupez de ce que vous ne maîtrisez pas encore très bien. Rédigez directement votre algorithme dans votre langage de programmation comme vous le penser et au feeling.

  • Comment trouver le bon algorithme ?

    Résumé des étapes de la méthode

    1Lisez bien le sujet, et reformulez-le.2Faites la liste des dimensions du sujet.3Cherchez une bonne représentation visuelle du problème.4Générez des exemples, et résolvez-les entièrement à la main.5Décrivez la solution naïve, puis essayez de l'améliorer.
  • Pour prouver qu'un algorithme termine, il suffit de montrer qu'il ne boucle pas à l'infini.

Master BioInformatiqueAnn

ee :2013/2014Semestre de decembre 2013

PARCOURS :Master 1

UE J1BS7202 :Algorithmique et Programmation

Epreuve :Examen

Date :Jeudi 19 decembre 2013

Heure :9 heures

Duree :2 heures

Documents : autorises

Epreuve de M. AlainGriffaultSUJET + CORRIGE

Avertissement

La plupart des questions son tind ependantes.

A chaque question, vous pouvez au choix

repondre par un algorithme ou bien par un programme python.

Les inden tationsdes f onctions ecritesen Python

doivent ^etre respectees. L'espace laiss ep ourles r eponsesest susan t(sauf si vous utilisez ces feuilles comme brouillon, ce qui est fortement deconseille).QuestionPointsScore

Mise en bouche7

Algorithmes de rang14

Liste doublement chainee9

Total:30

Exercice 1 : Mise en bouche (7 points)

(a) (1 p oint)Deux nom bresson topp osessi le ursom meest egale a0. Deux nombres sont inverses si leur produit est egal a1.Ecrire un algorithmesontInvOuOpp(a,b)ouaetbsont deux nombres, qui retourneVraisiaetbsont inverses ou opposes,Fauxsinon.

Solution:Deux solutions parmi d'autres.

defsontInvOuOpp(a ,b): returna+b==0orab==1Algorithme 1:SontInvOuOpp(a,b)Donnees:Deux nom bresa et b retourner(a+b=0) OU (a*b=1);(b)(2 p oints) Ecrire un algorithmeexisteInvOuOppConsecutifs(T)ouTest un tableau de nombres, qui retourneVraisiTcontient deux nombresconsecutifsopposes ou inverses,Fauxsinon.

Solution:Deux solutions parmi d'autres.

defexisteInvOuOppConsecutifs (T): foriinrange ( len (T)1): ifsontInvOuOpp(T[ i ] ,T[ i +1]): returnTrue returnFalseAlgorithme 2:ExisteInvOuOppConsecutifs(T)Donnees:Un tabl eauT de n ombres pouri=0alen(T)-2fairesisontInvOuOpp(T[i],T[i+1])alorsretournerTrue;retournerFalse;(c)(2 p oints) Ecrire un algorithmeexisteInvOuOpp(T)ouTest un tableau de nombres, qui retourne VraisiTcontient deux nombres,ayant des indices dierents, opposes ou inverses,Fauxsinon. UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013

Solution:Deux solutions parmi d'autres.

defexisteInvOuOpp(T): foriinrange ( len (T)1): forjinrange ( i +1,len (T)): ifsontInvOuOpp(T[ i ] ,T[ j ] ) : returnTrue returnFalseAlgorithme 3:ExisteInvOuOpp(T)Donnees:Un tableau T de nom bres

pouri=0alen(T)-2fairepourj=i+1alen(T)-1fairesisontInvOuOpp(T[i],T[j])alorsretournerTrue;retournerFalse;(d)(2 p oints)

Ecrire un algorithmenbInvOuOpp(T)ouTest un tableau de nombres, qui retourne le nombre de paires d'indices(i,j)telles que : d'une partiSolution:Deux solutions parmi d'autres. defnbInvOuOpp(T): nb = 0 foriinrange ( len (T)1): forjinrange ( i +1,len (T)): ifsontInvOuOpp(T[ i ] ,T[ j ] ) : nb = nb+1 returnnbAlgorithme 4:NbInvOuOpp(T)Donnees:Un tableau T de nom bres nb 0;

pouri=0alen(T)-2fairepourj=i+1alen(T)-1fairesisontInvOuOpp(T[i],T[j])alorsnb nb+1;retournernb;Exercice 2 : Algorithmes de rang (14 points)

Le probleme de la selection consiste a trouver dans un tableau de nombres l'element dit de rangi. Pour cet exercice, du fait que les indices d'un tableauTsont compris entre0etlongueur(T)-1, nous admettrons que l'element de rang0est le plus petit element du tableau, et que l'element de rang longueur(T)-1est le plus grand.

Exemple :SoitT= [8;6;53;8;2;9;3;10], alors :

Les elementsde rang <0sont indenis.

L' elementde rang 0est 2.

L' elementde rang 1est 3.

L' elementde rang 2est 6.

L' elementde rang 3est 8.

L' elementde rang 4est 8.

L' elementde rang 5est 9.

L' elementde rang 6est 10.

L' elementde rang 7est 53.

Les elementsde rang >7sont indenis.

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UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 Remarque 1 :Une solution simple au probleme de la selection consiste a utiliser un algorithme

quelconque de tri, puis de retourner l'element de rang souhaite.Algorithme 5:Rang(T,rang)Donnees:Un tabl eauT de n ombres,et rang un en tier

Resultat:Si rang est un indice, alors T[rang] apr esa voirtri eT sirang<0 OU ranglongueur(T)alorsretournernil;Trier(T);

retournerT[rang];Remarque 2 :Il est facile de se persuader qu'il n'est pas utile de triertoutle tableau pour avoir une

solution au probleme de la selection. Dans cet exercice, nous allons adapter des algorithmes de tri vus

en cours an d'obtenir des algorithmes de rang plusecacesque le precedent.

Dans toute la suite de l'exercice, vous pourrez utiliser la fonction classiqueEchange(T,i,j)qui echange

les valeurs du tableauTindicees parietj. defechange(T, i , j ):

TMP = T[ i ]

T[ i ] = T[ j ]

T[ j ] = TMPAlgorithme 6:Echange(T,i,j)Donnees:Un tableau T de nom bres,et deux indices i et j

Resultat:T[i] et T[j] echanges

aux T[i];

T[i] T[j];

T[j] aux;(a)Solution adapt eedu tri par s electionvu en cours. deftriSelection (T): foriinrange ( len (T)): iMin = i forjinrange ( i +1,len (T)): ifT[ j]Resultat:Le tableau T tri een ordre croissant pouri=0alongueur(T)-1faireiMin i; pourj=i+1alongueur(T)-1fairesiT[j]Il semble evident qu'une fois la valeur desireebien placeedans le tableau, il est inutile de continuer

le tri.

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UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 i. (2 p oints) Ecrire un algorithmerangSelection(T,r)fortement inspire de l'algorithme ou du programme pythontriSelection(T)qui resout le probleme de la selection. Ne pas oublier de s'assurer que le rang desire correspond a un indice du tableau.

Solution:Deux solutions parmi d'autres.

defrangSelection (T, r ): ifr<0orr>=len (T): returnNone foriinrange ( r+1): iMin = i forjinrange ( i +1,len (T)): ifT[ j]Resultat:L' elementde rang r du tableau T sir<0 OU rlongueur(T)alorsretournernil;pouri=0arfaireiMin i; pourj=i+1alongueur(T)-1fairesiT[j]retournerT[r];ii.(1 p oint)Compl eterle tableau des complexit esen fonction d en=longueur(T)et du rangr.

Rappel : Les complexites ne dependent pas de valeurs particulieres des parametres netr, mais de valeurs particulieres contenues dans le tableau.

Temps (meilleur des cas)

(n2) (nr)Temps (pire des cas)O(n2)O(nr)Espace (meilleur des cas) (1) (1)

Espace (pire des cas)O(1)O(1)Non demande :Il est facile d'ameliorer (un peu) la solution en selectionnant les valeurs minimales

(comme ici) lorsquer < n=2, et en selectionnant les valeurs maximales lorsquern=2. Les complexites s'expriment alors en remplacantrparmin(r;nr).(b)Solution adapt eedu tri abulle vu en cours. deftriBulle (T): foriinrange ( len (T)1,0,1): forjinrange ( i ): ifT[ j]>T[ j +1]: echange(T, j , j+1)Algorithme 9:TriBulle(T)Donnees:Un tableau T de nom bres

Resultat:Le tableau T tri een ordre

croissant pouri=len(T)-1a1 decroissantfairepourj=0ai-1fairesiT[j]>T [j+1]alorsEchange(T,j,j+1);

Il semble evident qu'une fois la valeur desireebien placeedans le tableau, il est inutile de continuer

le tri. i. (2 p oints) Ecrire un algorithmerangBulle(T,r)fortement inspire de l'algorithme ou du programme pythontriBulle(T)qui resout le probleme de la selection. Ne pas oublier de s'assurer que le rang desire correspond a un indice du tableau.

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UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013

Solution:Deux solutions parmi d'autres.

defrangBulle (T, r ): ifr<0orr>=len (T): returnNone foriinrange ( len (T)1,r1,1): forjinrange ( i ): ifT[ j]>T[ j +1]: echange(T, j , j+1) returnT[ r ]Algorithme 10:RangBulle(T,r)Donnees:Un tableau T de nom breset un indice r

Resultat:L' elementde rang r du tableau T

sir<0 OU rlongueur(T)alorsretournernil;pouri=len(T)-1ar, decroissantfairepourj=0ai-1fairesiT[j]>T [j+1]alorsEchange(T,j,j+1);

retournerT[r];ii.(1 p oint)Compl eterle tableau des complexit esen fonction d en=longueur(T)et du rangr.

Solution:TriBulle(T)RangBulle(T,r)

Temps (meilleur des cas)

(n2) (n(nr))Temps (pire des cas)O(n2)O(n(nr))Espace (meilleur des cas) (1) (1)

Espace (pire des cas)O(1)O(1)Non demande :Il est facile d'ameliorer (un peu) la solution en faisant monter les grosses bulles

(comme ici) lorsquern=2, et en faisant descendre les petites bulles lorsquer < n=2. Les complexites s'expriment alors en remplacantnrparmin(r;nr).(c)Solution adapt eedu tri rapide vu e ncours. Soit la variante suivante de l'algorithme de partition basee sur l'algorithme du drapeau Hollandais vu en cours. Cet algorithmepartitionnele tableau en trois zones : la premiere contient des valeurs strictement inferieures a la valeur du pivot; la seconde contient des valeurs egales a la valeur du pivot; et la troisieme des valeurs strictement superieures a la valeur du pivot.

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UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 deftroisPartitionner (T,g ,d): pivot = T[ g ] i = g j = i k = d whilej<= k: ifT[ j ] == pivot : j += 1 elifT[ j ]Resultat:i,j,k tel que T[g..i-1]