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Résolution de l'équation du second degré
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Introduction : quelques éléments mathématiquesOn veut résoudre une équation de la forme
20ax bx c où les coefficients a, b et c sont
réels et a non nul.A une telle équation est associé un réel appelé " discriminant » et traditionnellement noté
Il s'exprime comme suit en fonction des coefficients de l'équation : 2 4bacOn a alors :
Si0, l'équation n'admet pas de racine réelle mais admet deux racines complexes
conjuguées : 2bi a et 2bi a Si0, l'équation admet une seule solution, le réel :
2b a Si0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
2b a et 2b a L'algorithme correspondant conduit donc essentiellement la mise en oeuvre de tests sur le réel Dans l'algorithme proposé, on a choisi de calculer et afficher les racines complexes correspondant au cas 0. Ce choix conduit à quelques difficultés de traitement etd'affichage supplémentaires par rapport au choix qui aurait consisté à afficher le message :
" L'équation n'admet pas de racine réelle ». www.panamaths.netRésolution de l'équation du 2
nd degré à coefficients réelsPanaMaths [2-7] Mai 2012
Organigramme
Non Oui DEBUT FINLire a, b et c
Calculer
Afficher et
NonCalculer
Calculer Calculer
Afficher et
Afficher
Oui www.panamaths.netRésolution de l'équation du 2
nd degré à coefficients réelsPanaMaths [3-7] Mai 2012
Au niveau de la mise en oeuvre de cet algorithme, on devra penser à ajouter à la lecture de la variable a un test pour garantir, avant de poursuivre par la lecture des autres coefficients, que le nombre saisi est bien non nul (cf. l'algorithme AlgoBox fourni ci-après).On pourra également inclure des lignes pour un affichage soigné de l'équation (après saisie
des coefficients par l'utilisateur) et des solutions obtenues. C'est ce qui a été fait dans l'algorithme proposé.L'algorithme AlgoBox
Voici l'algorithme que vous pouvez tester en ligne :2ndDegre - 01.05.2012
Résolution de l'équation du second degré à coefficients réels.1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE
3 b EST_DU_TYPE NOMBRE
4 c EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DELTA EST_DU_TYPE NOMBRE
6 RAC EST_DU_TYPE NOMBRE
7 RAC2 EST_DU_TYPE NOMBRE
8 RE_SOL EST_DU_TYPE NOMBRE
9 IM_SOL EST_DU_TYPE NOMBRE
10 ABS_b EST_DU_TYPE NOMBRE
11 ABS_c EST_DU_TYPE NOMBRE
12 DEBUT_ALGORITHME
13 //Saisie des coefficients a, b et c.
14 AFFICHER "Saisissez les coefficients a, b et c (Rappel :
a doit être non nul !)"15 //Première saisie du coefficient a
16 LIRE a
17 TANT_QUE (a==0) FAIRE
18 DEBUT_TANT_QUE
19 AFFICHER "ATTENTION ! Le coefficient a doit être non
nul !"20 LIRE a
21 FIN_TANT_QUE
22 //Le coefficient a saisi est non nul.
23 AFFICHER "a = "
24 AFFICHER a
www.panamaths.netRésolution de l'équation du 2
nd degré à coefficients réelsPanaMaths [4-7] Mai 2012
25 LIRE b
26 AFFICHER "b = "
27 AFFICHER b
28 LIRE c
29 AFFICHER "c = "
30 AFFICHER c
31 //Affichage "naturel" de l'équation à résoudre.
32 AFFICHER "Résolution de l'équation "
33 SI (a!=1) ALORS
34 DEBUT_SI
35 SI (a==-1) ALORS
36 DEBUT_SI
37 AFFICHER "-"
38 FIN_SI
39 SINON
40 DEBUT_SINON
41 AFFICHER a
42 FIN_SINON
43 FIN_SI
44 AFFICHER "x²"
45 SI (b!=0) ALORS
46 DEBUT_SI
47 SI (b==1) ALORS
48 DEBUT_SI
49 AFFICHER "+x"
50 FIN_SI
51 SINON
52 DEBUT_SINON
53 SI (b==-1) ALORS
54 DEBUT_SI
55 AFFICHER "-x"
56 FIN_SI
57 SINON
58 DEBUT_SINON
59 ABS_b PREND_LA_VALEUR abs(b)
60 SI (b<0) ALORS
61 DEBUT_SI
62 AFFICHER "-"
63 FIN_SI
64 SINON
65 DEBUT_SINON
66 AFFICHER "+"
67 FIN_SINON
68 AFFICHER ABS_b
69 AFFICHER "x"
70 FIN_SINON
71 FIN_SINON
72 FIN_SI
www.panamaths.netRésolution de l'équation du 2
nd degré à coefficients réelsPanaMaths [5-7] Mai 2012
73 SI (c!=0) ALORS
74 DEBUT_SI
75 ABS_c PREND_LA_VALEUR abs(c)
76 SI (c<0) ALORS
77 DEBUT_SI
78 AFFICHER "-"
79 FIN_SI
80 SINON
81 DEBUT_SINON
82 AFFICHER "+"
83 FIN_SINON
84 AFFICHER ABS_c
85 FIN_SI
86 AFFICHER " = 0"
87 //Calcul du discriminant associé à l'équation
88 DELTA PREND_LA_VALEUR pow(b,2)-4*a*c
89 AFFICHER "Le discriminant Delta associé à votre équation
vaut "90 AFFICHER DELTA
91 //Résolution de l'équation suivant le signe de Delta.
92 SI (DELTA<0) ALORS
93 DEBUT_SI
94 //Cas où le discriminant est strictement négatif.
95 //Calcul des deux racines complexes conjuguées.
96 RE_SOL PREND_LA_VALEUR -b/(2*a)
97 IM_SOL PREND_LA_VALEUR sqrt(-DELTA)/(2*a)
98 AFFICHER "Votre équation n'admet pas de solution
réelle."99 AFFICHER "L'équations admet deux racines complexes
conjuguées : "100 SI (RE_SOL==0) ALORS
101 DEBUT_SI
102 SI (IM_SOL!=1) ALORS
103 DEBUT_SI
104 AFFICHER IM_SOL
105 FIN_SI
106 AFFICHER "i"
107 FIN_SI
108 SINON
109 DEBUT_SINON
110 AFFICHER RE_SOL
111 AFFICHER "+"
112 AFFICHER IM_SOL
113 AFFICHER "i"
114 FIN_SINON
115 AFFICHER " et "
www.panamaths.netRésolution de l'équation du 2
nd degré à coefficients réelsPanaMaths [6-7] Mai 2012
116 SI (RE_SOL==0) ALORS
117 DEBUT_SI
118 AFFICHER "-"
119 SI (IM_SOL!=1) ALORS
120 DEBUT_SI
121 AFFICHER IM_SOL
122 FIN_SI
123 AFFICHER "i"
124 FIN_SI
125 SINON
126 DEBUT_SINON
127 AFFICHER RE_SOL
128 AFFICHER "-"
129 AFFICHER IM_SOL
130 AFFICHER "i"
131 FIN_SINON
132 FIN_SI
133 SINON
134 DEBUT_SINON
135 SI (DELTA==0) ALORS
136 DEBUT_SI
137 //Cas où le discriminant est nul.
138 RAC PREND_LA_VALEUR -b/(2*a)
139 AFFICHER "Votre équation admet pour unique
solution : "140 AFFICHER RAC
141 FIN_SI
142 SINON
143 DEBUT_SINON
144 //Cas où le discriminant est strictement
positif.145 RAC PREND_LA_VALEUR (-b-sqrt(DELTA))/(2*a)
146 RAC2 PREND_LA_VALEUR (-b+sqrt(DELTA))/(2*a)
147 AFFICHER "Votre équation admet deux solutions
réelles : "148 AFFICHER RAC
149 AFFICHER " et "
150 AFFICHER RAC2
151 FIN_SINON
152 FIN_SINON
153 FIN_ALGORITHME
www.panamaths.netRésolution de l'équation du 2
nd degré à coefficients réelsPanaMaths [7-7] Mai 2012
Remarques :
Quelques commentaires ont été ajoutés pour rendre l'algorithme plus lisible.Les lignes 31 à 86 servent à " reconstruire » l'équation à résoudre à partir des
coefficients fournis. On pourrait parfaitement s'en passer mais, outre le fait que l'affichage de l'équation rend l'exécution de l'algorithme plus " conviviale », il s'agit ici d'une bonne façon de pratiquer les tests du type " SI ... ALORS » ou " SI ... ALORS ... SINON ». Les lignes 92 à 132 correspondent au traitement du cas "0 ». Ici encore, un
affichage soigné des racines complexes requiert de distinguer diverses situations. Les lignes 135 à 141 correspondent au traitement du cas "0 ».
Les lignes 143 à 152 correspondent au traitement du cas "0 ».
Extensions
1. A titre de complément, on peut souhaiter, en fin d'algorithme, donner la forme factorisée
(dans et/ou ) du trinôme 2 ax bx c. Une fois les racines obtenues, il s'agit, ici encore, essentiellement, de construire des affichages corrects et élégants tenant compte d'une grande variété de situations.2. Un peu plus délicate serait l'adaptation de l'algorithme à la résolution de l'équation du
second degré à coefficients complexes. Plus délicate mais ... loin d'être impossible !quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31[PDF] exercices corrigés algorithme pdf
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