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Universite de Nantes { UFR des Sciences et Techniques

Departement de Mathematiques

Master 2 Ingenierie mathematique 2012-2013

TD de Series Temporelles

F. Lavancier, A. Philippe

Ex 1.Indices descriptifs d'ordre deux

On considere une serie chronologique (x1;;xn) de longueurnet on note ^xn(h) la suite des auto-correlations empiriques

1) Sixj=aj+bpourj2 f1;;ngouaetbsont des constante eta6= 0, montrer

que la suite (xj) n'est pas stationnaire et que : lim n!1^n(h) = 1

2) Siyj=acos(!j) pourj2 f1;;ngouaet!sont des constante aveca6= 0,

!6= 0 et!2];[, montrer que la suite (yj) n'est pas stationnaire et que : lim n!1^n(h) =cos(!h)

Indication :

n X j=1cos((j+l)) = cosn+ 12 +l sin(n=2)sin(=2)

3) Soit (n) un bruit blanc centre et de variance 1. Calculer l'esperance des cova-

riances empiriques ^n(h) pour les serieszj=j+jpourj2 f1;;ng(modele additif) etwj=jjpourj2 f1;;ng(modele multiplicatif).

4) Commentez les resultats obtenus dans cet exercice.

Ex 2.Stationarite

Soit (n)n2Zun bruit blanc fort (suite iid) de variance2. Etudier la stationarite des processus suivants :

1.Xn=a+bn+cn1aveca,b,cdes reels non nuls.

2.Xn=nn1

3.Xn=ncos(!n) +n1sin(!n) avec!6= 0.

Ex 3.Stationarite

Soit (n)n2Zun bruit blanc fort (suite iid) de variance2. Soit X n=an+b+n

1) A quelle condition le processus (Xn) est-il stationnaire?

2) Etudier la stationarite deYn=XnXn1.

Ex 4.La somme de deux processus stationnaires est-elle necessairement un processus stationnaire? La somme de deux processus non stationnaires est-elle necessairement un processus non stationnaire? La somme d'un processus stationnaire et d'un processus non stationnaire est-elle ne- cessairement un processus non stationnaire? Ex 5. Soit (n)n2Zun bruit blanc fort (suite iid) de variance2. Soit X n=nn1 oujj 1.

1) Calculer l'autocorrelogramme de (Xn).

2) Soit la fonction :Z7!Rsuivante :

(h) =8 :1 sih= 0 sih2 f1;1g

0 sinon:

(a) Lo rsquejj 1=2, preciser un processus stationniare dont est l'autocorrelo- gramme. (b) L orsquejj>1=2, montrer que n'est pas denie positive et donc ne peut representer un autocorrelogramme. 2

Ex 6.Etude de quelques ltres classiques

1) Montrer que le ltre

Hx(n) =112

xn62 +xn5++xn+5+xn+62 annule toute serie de periode 12, de moyenne nulle sur sa periode. Montrer qu'il laisse invariant toute tendance lineaire.

2) Montrer (par recurrence) que le ltre (1B)d, oudest un entier positif, reduit

a une constante toute tendance polynomiale de degre inferieur ou egal ad.

3) Montrer que le ltre (1Bs), ousest un entier positif, annule toute tendance

lineaire et toute saisonalite d'ordres.

4) SoitXn=an+b+Sn+Ynouaetbsont des constantes reelles non nulles et

ouSnest une serie periodique de periode 12, de moyenne nulle sur sa periode.Ynest un residu stationnaire centre. Quels ltres peut-on appliquer aXnpour

Est imerl at endance

Est imerl asa isonaliteSn

Est imerl ap arties tationnaireYn

El iminerl at endanceet l asa isonalitep ourn ega rderqu 'unes eries tationnaire?( en vue d'une prevision par exemple).

5) Soit les ltresA= (1B)HetF= 1B12. Calculer le pouvoir de reduction de

variance deA, i.e. le rapportV(An)=V(n) lorsque (n) est un bruit blanc de variance

2. Comparer avec le pouvoir de reduction de variance deF.

Ex 7.

Soit les ltres moyennes mobiles suivants :

M 3=13

B2(I+F+F2)

M

4= 2M3(M3M3)

1) Montrer queM4laisse invariantes les tendances lineaires.

2)M4annule-t-il les series periodiques de periode 3, de moyenne nulle sur leur pe-

riode?

3) Calculer le pouvoir de reduction de variance deM4, i.e. le rapportV(M4n)=V(n)

lorsque (n) est un bruit blanc de variance2. 3 Universite de Nantes { UFR des Sciences et Techniques

Departement de Mathematiques

Master 2 Ingenierie mathematique 2012-2013

TD de Series Temporelles

F. Lavancier, A. Philippe

Processus ARMA. ProcessusL2

Ex 8. Soit (n)nun bruit blanc de variance2. Soit (Xn) le processus suivant la representation X n=12 Xn114

Xn2+n:

1) Montrer qu'il existeXnstationnaire et que la representation precedente est cano-

nique.

2) Montrer que les termes d'autocovariance(h) deXnverient l'equation de recur-

rence suivante (h) =12 (h1)14 (h2):

3) Exprimer(1) et(2) en fonction de(0).

4) Resoudre l'equation de recurrence et exprimer(h) en fonction de(0).

5) Calculer(0) en fonction de2.

Ex 9. Soit (n)nune suite de i.i.d. suivant uneN(0;1) et soit le processus MA(1) suivant : X n=nn1 ou6= 0 etjj<1.

On considere le processus (Yn) suivant :

Y n=(

1 siXn>0

0 siXn0:

1) Quelle est la loi des variables aleatoiresYn?

2) Quelle est la loi jointe du vecteur (Xn;Xn1)?

3) Montrer que le processus (Yn) est stationnaire et donner sa fonction de covariance.

Indication :On admettra que

cov(Yn;Yn1) =K=1 arctan"

1 +21 +2+

1=2# 14

4) On peut deduire de ce qui precede (cf cours) que (Yn) admet une representation

du type : Y n=+nn1; ouest une constante et (n) est un bruit blanc de variance2. Preciseret proposer une methode pour calculeret2.

5) Ayant observe (Yn), peut-on retrouver une estimation de?

Ex 10.

Soit (n)nune suite de i.i.d. suivant uneN(0;2) et soit le processus AR(1) suivant : X n=Xn1+n;(1) ou6= 0 etjj<1.

1) CalculerE(Xn) etV ar(Xn).

2) Calculer la fonction d'autocovariance et d'autocorrelation de (Xn).

3) Calculer la fonction d'autocorrelation partielle de (Xn).

4) On observe (X1;:::;Xn). On suppose pour simplier queX1=1, la relation (1)

n'etant valable qu'a partir den= 2. Estimeret2par la methode du maximum de vraisemblance. Indication :Ecrire la vraisemblance de (X1;:::;Xn) a l'aide de celle de (1;:::;n) Ex 11.Soit (n)nun bruit blanc de variance 1. Soit (Xn) le processus suivant la repre- sentation X n= 4Xn14Xn2+n:

1) Existe-t-il une solution stationnaire a l'equation precedente? La representation

est-elle canonique?

2) Determiner la representation canonique de (Xn) en notant (n) le bruit blanc

associe. CalculerV ar(n).

3) Quelle est l'ecriture moyenne mobile innie du processus (Xn)? En deduireE(Xn)

etV ar(Xn).

4) Calculer l'autocorrelation (simple) de (Xn). Calculer explicitement(h) pourh2

f0;1;2;3;4g.

5) Calculer l'autocorrelation partielle de (Xn).

6) Soit le processus (Yn) suivant :

Y n=34

Yn1+14

Xn1+n;

ou (n) est un bruit blanc de variance 1, non correle avec (n).

Soit le processus (!n) deni par

n= 134
L 112
L 2 Y n: (a) CalculerE(!n) etV ar(!n). (b) Calculer l'autocorrelation simple!de (!n). (c) En deduire que (!n) est solution de l'equation n=n+1n1+2n2; ou (n) est un bruit blanc. (d) En deduire que (Yn) est un processus ARMA dont on precisera les ordres.

Indication :Pour 0< <1, on a

1 X i=0i i=(1)2;1X i=0i

2i=(+ 1)(1)3:

5 Ex 12.On considere le processus (Yn) deni parYn= 2Yn1+unou (un) est un bruit blanc centre de variance 5=18. On suppose que l'observation deYnest entachee d'une erreur et qu'on observeXn= Y n+nou (n) est un bruit blanc centre, de variance 1=6, non correle avec (un).

1) Montrer que le processus!n=un+n2n1est un processus moyenne mobile.

2) En deduire que (Xn) est un processus ARMA dont on precisera les ordres.

3) Donner la representation canonique de (Xn).

4) En deduire une representation du type :

X n=1X i=1 iXni+n;quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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