[PDF] Introduction aux séries temporelles

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MIDO MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUEDE LA DECISION ET DES ORGANISATIONS o2`bBQM ûH2+i`QMB[m2 +QKTQbû2 p2+ Gh1s H2 jy DMpB2` kyRd Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles

Examen partiel

Durée : 2 heures

Conditions : sans calculatrice ni documents

Exercice 1(Filtrage d"un bruit blanc).Soit(t)t2Zune suite de variables aléatoires

(réelles) indépendantes, identiquement distribuées, de carré intégrable, et telles que

E[t] = 0etE[2t] =2; t2Z:

Soit("t)t2Zle processus défini par

t=Ut; t2Z; oùUest une variable aléatoire de carré intégrable, indépendante de(t)t2Zet telle que

E[U2] =2:

1. Montrer que ("t)t2Zest un bruit blanc faible dont on explicitera la variance. 2.

Le processus ("t)t2Zest-il un bruit blanc fort?

On définit le filtre = ( k)k2Zpar k= 2kpourk1et k= 0pourk0. 3. Montrer que pour tout t2Z, la variable aléatoire X t=X k2Z k"tk est bien définie et de carré intégrable. 4.

Montrer que (Xt)t2Zest stationnaire et causal.

5.

Calculer l"autocovariance

X(h)de(Xt)t2Zen fonction de2et2.

Exercice 2(Modèle AR(1) bruité).Soit(Zt)t2Zun processus MA(1) s"écrivant Z t=Ut+Ut1; t2Z;(?) où2Ret(Ut)t2Zest un bruit blanc faible de variance2. 1. Justifier le fait que (Zt)t2Zest un processus stationnaire. 2.

Calculer la fonction d"autocovariance de (Zt)t2Z.

On admettra dans la suite qu"un processus stationnaire ayant la même fonction d"auto- covariance que(Zt)t2Zest un MA(1) admettant la représentation(?).

On considère le processus(Yt)t2Zdéfini par

Y t= 2Yt1+"t; t2Z où("t)t2Zest un bruit blanc faible de variance518 . On suppose que(Yt)t2Zest entaché d"une erreur d"observation : on observe X t=Yt+t; t2Z; où(t)t2Zest un bruit blanc faible de variance16 et non-corrélé1avec("t)t2Z.1. C"est-à-direE["t`] = 0pour toust;`2Z.

1/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles 3.

Montrer que le processus (Wt)t2Zdéfini par

W t="t+t2t1; t2Z est un processus MA(1), c"est-à-dire qu"il admet la représentation(?)pour des valeurset2que l"on déterminera. 4. En déduire que (Xt)t2Zest solution d"une équation ARMA que l"on explicitera. Exercice 3(Construction d"un processus stationnaire).SoientUune variable aléatoire surT= [;)de loiPU, etZune variable aléatoire réelle, indépendante deU, de carré intégrable et centrée. On pose X t=Zexp(itU); t2Z: 1. Montrer que (Xt)t2Zà valeurs dansCest stationnaire centré. 2. Montrer que la fonction d"autocovariance de (Xt)t2Zest donnée par

X(h) =E[Z2]Z

T eih!PU(d!); h2Z: 3.

Montrer que si la loi PUest symétrique2, alors

Xest réelle et paire.

4. Montrer que si est une variable aléatoire à valeurs dansT= [;), alors la fonc- tion caractéristique(t) =E[eit]dedéfinit pourt2Zla fonction de covariance

d"un processus stationnaire à valeurs dansC.2. La loiPUest symétrique si pour toute':T!Cbornée, on aR

T'(!)PU(d!) =R

T'(!)PU(d!).

2/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles

English version

Exercise 1(White noise filtering).Let(t)t2Zbe a sequence of (real-valued) square inte- grable, independent random variables, with same distribution, and such that

E[t] = 0andE[2t] =2; t2Z:

Let("t)t2Zbe the random process defined by

t=Ut; t2Z; whereUis a square integrable random variable, independent of(t)t2Zand such that

E[U2] =2:

1. Show that the process ("t)t2Zis a weak white noise and compute its variance. 2.

Is ("t)t2Za strong white noise?

Let us define = ( k)k2Zby k= 2kfork1and k= 0fork0. 3.

Show that for every t2Z, the random variable

X t=X k2Z k"tk is well-defined and square integrable. 4. Show that the process (Xt)t2Zis stationary and causal. 5.

Compute the autocovariance

Xof(Xt)t2Zand express it with2and2.

Exercise 2(Noisy AR(1) process).Let(Zt)t2Zbe a MA(1) process with representation Z t=Ut+Ut1; t2Z;(?) where2Ret(Ut)t2Zis a weak white noise with variance2. 1.

Show that (Zt)t2Zis stationary.

2.

Compute the autocovariance function of (Zt)t2Z.

We will admit in the sequel that a stationary process with the same autocovariance func- tion as(Zt)t2Zis a MA(1) process admitting representation(?). Let us consider the random process(Yt)t2Zdefined by Y t= 2Yt1+"t; t2Z where("t)t2Zis a weak white noise with variance518 . We assume that(Yt)t2Zis blurred by a systematic experimental noise: we observe X t=Yt+t; t2Z; where(t)t2Zis a weak white noise with variance16 and uncorrelated3with("t)t2Z. 3.

Show that the process (Wt)t2Zdefined by

W t="t+t2t1; t2Z

is a MA(1) process i.e. satisfies(?)for a set of valuesand2to be determined.3. This means thatE["tt] = 0for everyt2Z.

3/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles 4. Derive that (Xt)t2Zis a solution to an ARMA equation to be determined. Exercise 3(Constructing a stationary process).LetUbe a random variable onT= [;)with lawPU, and letZbe a square integrable, real-valued random variable, inde- pendent ofUand centred. Set X t=Zexp(itU); t2Z: 1. Show that the process (Xt)t2Zwith values inCis stationary and centred. 2. Show that the autocovariance function of (Xt)t2Zis given by

X(h) =E[Z2]Z

T eih!PU(d!); h2Z: 3.

Show that if the law PUis symmetric4, then

Xis real-valued and even.

4. Show that if is a random variable with values inT= [;), then the character- istic function(t) =E[eit]ofdefines for everyt2Zthe autocovariance function

of a stationary process with values inC.4. The lawPUis symmetric if, for every bounded':T!C, one hasR

T'(!)PU(d!) =R

T'(!)PU(d!).

4/4 Ĝ Ĝ Ĝ

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Examen final

Durée : 2 heures

Conditions : sans calculatrice ni documents

Il sera tenu grand compte de la présentation et de la rédaction Exercice 1.SoientX= (Xt)t2ZetY= (Yt)t2Zdeux processus liés par la relation suivante Y t=Yt1+Xt+"t; X t= Xt1+t; t2Z; où"= ("t)t2Zet= (t)t2Zsont deux bruit blancs faibles décorrélés1, de variance1, et et sont deux réels distincts dans]0;1[. 1.

Montrer que Xest bien défini et stationnaire.

2.

Montrer que W= (Wt)t2Zdéfini par

W t=Xt+"t; t2Z: est stationnaire. 3. En déduire que Yest bien défini et stationnaire. On noteBl"opérateur retard, défini parBXt=Xt1pourt2Z. 4.

Montrer que Z= (Zt)t2Zdéfini par

Z t= (1B)(1 B)Yt; t2Z; est stationnaire et calculer sa fonction d"autocovariance. 5. En déduire que Zest un processus MA(1), c"est-à-dire qu"il vérifie Z t=t+#t1; t2Z; où= (t)t2Zest un bruit blanc de variance2>0et#2R. 6. En déduire que Yest un processus ARMA(p;q)dont on précisera les ordrespetq. 7.

On suppose

#+6= 0et#+ 6= 0: Montrer sans calcul qu"il existe une représentation causale deY. 8. Montrer que l"on a la décomposition en éléments simples

1(1x)(1 x)=1

1x 1 x

9.

En déduire la représentation causale

Y t=X `0a `t` pour une suite(a`)`2Zde`1(Z)que l"on explicitera.1. C"est-à-dire pour touss;t2Z, on aE["ts] = 0.

1/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles Exercice 2.SoitY= (Yt)t2Zun processus vérifiant Y t=Yt1+"t; t2Z; où"= ("t)t2Zest un bruit blanc fort de variance2>0et2]1;1[. 1.

Montrer que Yest bien défini.

Soit2R. On pose

X t=+Yt; t2Z: 2. Montrer que X= (Xt)t2Zest stationnaire. Calculer sa moyenne et sa fonction d"autocovariance en fonction de,2et. 3. Justifier l"existence de la densité spectrale fXdeXet l"exprimer avec2et. Pour un entiern1, on observe (une réalisation) du vecteur aléatoire(X1;:::;Xn). 4.

Montrer que l"estimateur bn=n1Pn

i=1XiP!en probabilité lorsquen! 1. 5. En notant N(0;v2)la loi normale centrée de variancev2, montrer que pn bnloi! N(0;v2) lorsquen! 1, et expliciterv2en fonction de2et. 6. On suppose 2etconnus. Soit2]0;1[. Construire un intervalle de confiance pourasymptotiquement de niveau1. 7. P ourquelle valeur limite de obtient-on l"intervalle de confiance ayant la plus grande précision? 8. On ne suppose plus et2connus. Proposer la construction d"un intervalle de confiance pourasymptotiquement de niveau1.

2/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles

English version

Exercise 1.LetX= (Xt)t2ZandY= (Yt)t2Zbe two stochastic processes that satisfy Y t=Yt1+Xt+"t; X t= Xt1+t; t2Z; where"= ("t)t2Zand= (t)t2Zare two uncorrelated2weak white noises with unit variance, andand are two distinct real numbers in(0;1). 1.

Show that Xis well-defined and stationary.

2.

Show that W= (Wt)t2Zdefined by

W t=Xt+"t; t2Z: is stationary. 3.

Derive that Yis well-defined and stationary.

We writeBfor the delay operator, defined byBXt=Xt1fort2Z. 4.

Show that Z= (Zt)t2Zdefined by

Z t= (1B)(1 B)Yt; t2Z; is stationary and compute its autocovariance function. 5. Derive that Zis a MA(1)process, meaning that it can be written as Z t=t+#t1; t2Z; where= (t)t2Zis a white noise with variance2>0and#2R. 6. Derive that Yis a ARMA(p;q)process and identify its parameterspandq. 7.

W eassume that

#+6= 0and#+ 6= 0: Prove (with no calculation) that there exists a causal representation forY 8.

Prove the decomposition

1(1x)(1 x)=1

1x 1 x

9.

Derive the causal representation

Y t=X `0a `t` for a sequence(a`)`2Zof`1(Z)to be determined. Exercise 2.LetY= (Yt)t2Zbe a stochastic process such that Y t=Yt1+"t; t2Z;

where"= ("t)t2Zis a strong white noise with variance2>0and2(1;1).2. This means that for everys;t2Z, we haveE["ts] = 0.

3/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2012/2013 - Séries Temporelles 1.

Show that Yis well-defined.

Let2Rand

X t=+Yt; t2Z: 2. Show that X= (Xt)t2Zis stationary. Compute its mean and autocovariance func- tion as a function of,2and. 3. Prove the existence of a spectral density fXdeXand express it with2and. For an integern1, one observes (a realisation) of the random vector(X1;:::;Xn). 4.

Prove that the estimator bn=n1Pn

i=1Xiconverges toin probability asn! 1. 5.

Prove that pn

bnloi! N(0;v2) asn! 1, whereN(0;v2)denotes the centred Gaussian law with variancev2and computev2as a function of2and. 6. W eassume that 2andare known. Let2(0;1). Build a confidence interval for that is asymptotically of confidence level1. 7. F orwhich limiting value for do we have the best accuracy for this interval? 8. W edo not assume nor2known anymore. Give a suggestion for constructing a confidence interval forthat is asymptotically of confidence level1.

4/4 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2013/2014 - Séries Temporelles

Examen partiel

Durée : 2 heures

Date : mercredi 20 novembre 2013

Conditions : sans calculatrice ni documents

Note : il sera tenu compte de la qualité de la rédaction Dans toute la suite,Zest un bruit blanc de moyenne0et de variance2.

Exercice 1.

1. Qu"est-ce qu"un processus causal ?Donner une condition sur a;b;c2Rpour que le processus linéaireXt=aZt+1+bZt+cZt1soit causal; 2. Calculer (1B)2014XtoùBest l"opérateur retard et oùXt=t20131 +Zt; 3. Si Ztest de plus gaussienne pour toutt2Z, est-ce queXt=Z2test du second ordre? Stationnaire? 4. Trouver une solution de l"équation ARMA (1;1)Xt= 2Xt1+ZtZt1. Est-elle causale? Inversible?; 5.

Calculer la densité spectrale d"un MA (1).

Exercice 2.Soit2R, et pour toutk2Z,k=ksik0etk= 0sik <0. 1.

Si jj<1, montrer que le processusXt=P

k2ZkZtkest bien défini; 2. Calculer les fonctions moyenne et d"autocovariance du processus Xde la question précédente. Ce processus est-il stationnaire? Causal?; 3.

Que se passe-t-il si = 1?

Exercice 3.Soit l"équation AR(1)Xt=ZtP1

k=1kXtkoù0< <1. 1.

Écrire l"équation AR (1)sous la formeFX=FZ;

2. Trouver un processus linéaire solution de l"équation AR( 1).

1/1 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2013/2014 - Séries Temporelles

Examen final

Durée : 2 heures

Date : jeudi 23 janvier 2014

Conditions : sans calculatrice ni documents

Note : il sera tenu compte de la qualité de la rédaction Exercice 1.SoitZBB(0;2), etBl"opérateur retard. 1. Exprimer Yt= (1B)Xten fonction deZt, oùXt=t+ 1 +Zt; 2. Le processus Ytest-il stationnaire? Préciser sa moyenne et son autocovariance; 3.

Soit 2`2(Z), c"est-à-dire queP

k2Zjkj2<1. A-t-on2`1(Z)? (Justifier); 4. Montrer que si 2`2(Z), alors on peut définirFZdansL2.

Exercice 2.SoitZun BB(0;2).

1. On considère l"équation ARMA (1;1)Xt=Zt+2Zt1+(1=2)Xt1. Trouver une solu- tion stationnaireX. Est-elle unique? Causale? Inversible? 2. Exprimer l"équation et sa solution Xavec des filtres, et avec l"opérateur retardB; 3.

Exprimer l"autocovariance

XdeXen fonction detel queX=FZ;

4.

Comment se comporte Cov(Xs;Xt)quandjtsj ! 1?

5. Calculer le prédicteur proj(X2;H1;1), puis en déduireproj(Xt;Ht1;1),t2Z Exercice 3.SoitZBB(0;2)et;2]1;1[, etBl"opérateur retard. Trouver une solution stationnaire de l"équation ARMA(1;1)suivante :P1 k=0kBkX=P1 k=0kBkZ. Exercice 4.SoientAetBdes v.a.r. indépendantes de moyenne0et de variance2, et2 [;]une constante. On considère le processus "harmonique»Xt=Acos(t)+Bsin(t). 1. Montrer que Xest stationnaire et calculer son autocovariance X; 2. Calculer la matrice de covariance nde(X1;:::;Xn)lorsque=; 3. Calculer la mesure spectrale de X. Préciser la densité spectrale si possible; 4.

Est-ce que

X2`1(Z)?

5. Tracer une trajectoire du processus Yt=Acos(t)en figurantA(!)et; Exercice 5.SoitXun processus stationnaire réel de moyenneet d"autocovariance 1.

Donner la définition de la moyenne empirique X

n; 2.

Calculer le biais de X

nen fonction deet 3.

Calculer l"écart quadratique moyen de X

nen fonction deet 4.

Que se passe-t-il lorsque limh!1

(h) = 0? 5.

Que se passe-t-il lorsque

2`1(Z)?

1/1 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2013/2014 - Séries Temporelles

Examen de rattrapage

Durée : 2 heures

Date : lundi 1

erseptembre 2014

Conditions : sans calculatrice ni documents

Note : il sera tenu compte de la qualité de la rédaction Dans toute la suite,Zest un bruit blanc de moyenne0et de variance2. Ce sujet reprend des éléments de l"examen partiel et de l"examen final de l"année.

Exercice 1.

1. Qu"est-ce qu"un processus causal ?Donner une condition sur a;b;c2Rpour que le processus linéaireXt=aZt+10+bZt+cZt10soit causal; 2. Calculer (B1)2014XtoùBest l"opérateur retard et oùXt=t20131 +Zt; 3. Si Ztest de plus gaussienne pour toutt2Z, est-ce queXt=Z4test du second ordre? Stationnaire? Que se passe-t-il siZest un bruit blanc fort? 4. Trouver une solution de l"équation ARMA (1;1) 2Xt= 4Xt1+ 2Zt2Zt1. Est-elle causale? Inversible?; 5.

Calculer la densité spectrale d"un MA (1).

Exercice 2.Soit2R, et pour toutk2Z,k=ksik0etk= 0sik <0. 1.

Si jj<1, montrer que le processusXt=P

k2Z2kZtkest bien défini; 2. Calculer les fonctions moyenne et d"autocovariance du processus Xde la question précédente. Ce processus est-il stationnaire? Causal?; 3.

Que se passe-t-il si = 1?

Exercice 3.Soit l"équation AR(1)Xt=ZtP1

k=12kXtkoù0< <1. 1.

Écrire l"équation AR (1)sous la formeFX=FZ;

2. Trouver un processus linéaire solution de l"équation AR( 1). Exercice 4.SoientAetBdes v.a.r. indépendantes de moyenne0et de variance2, et2 [;]une constante. On considère le processus "harmonique»Xt=Acos(t)+Bsin(t). 1. Montrer que Xest stationnaire et calculer son autocovariance X; 2. Calculer la matrice de covariance nde(X1;:::;Xn)lorsque=; 3. Calculer la mesure spectrale de X. Préciser la densité spectrale si possible; 4.

Est-ce que

X2`1(Z)?

5. Tracer une trajectoire du processus Yt=Acos(t)en figurantA(!)et; Exercice 5.SoitXun processus stationnaire réel de moyenneet d"autocovariance 1.

Donner la définition de la moyenne empirique X

n; 2.

Calculer le biais de X

nen fonction deet 3.

Calculer l"écart quadratique moyen de X

nen fonction deet 4.

Que se passe-t-il lorsque limh!1

(h) = 0? 5.

Que se passe-t-il lorsque

2`1(Z)?

1/1 Ĝ Ĝ Ĝ

Université Paris-Dauphine - M1 MA 2014/2015 - Séries Temporelles

Examen partiel

Durée : 2 heures

Date : mercredi 19 novembre 2014

Conditions : sans calculatrice ni documents

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